Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 146
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
199]
§ 19. Интегрирование функции
607
образовать написанное выражение к виду, y) Первое слагаемое есть рациональная дробь, интегрировать которую мы уже умеем. Выделяя из дроби
ω
7
(x)
ω
8
(x)
целую часть и разлагая оставшуюся правильную дробь на простейшие, мы придем к интегралам вида+ bx + c и − a)
n
√
ax
2
+ bx + где ϕ(x) — многочлен от При этом мы предполагаем, что многочлен от ω
8
(x) имеет лишь вещественные корни.
Прежде чем переходить к рассмотрению интегралов (9) и (отметим два простейших частных случая интеграла (9):
Z
dx
√
ax
2
+ bx + c
=
=
1
√
a lg x +
b
2a
+
r x
2
+
b a
x +
c a
!
+ C
(a > 0), (11)
Z
dx
√
−x
2
+ bx + c
=
Z
dx q
m
2
− x −
b
2
2
= arcsin x −
b
2
m
+ Формулу (11) нетрудно получить при помощи первой подстановки Эйлера. Интеграл (12) уже был нами разобран раньше Для вычисления интеграла (9) удобно пользоваться формулой+ bx + c dx = ψ(x)
p ax
2
+ bx + c + λ
Z
dx
√
ax
2
+ bx + c
,
(13)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . где ψ(x) — многочлен степени на единицу ниже, чем ϕ(x), и λ постоянная. На доказательстве формулы (13) мы останавливаться не будем. Дифференцируя соотношение (13) и освобождаясь от знаменателя, получим тождественное равенство двух многочленов,
откуда и можно определить коэффициенты многочленов ψ(x) и постоянную Интеграл (10) приводится к интегралу (9) при помощи подстановки Пример+ 1
(x − 1)
√
x
2
− x + 1
dx =
= x + lg(x − 1) −
Z
x
2
− x + 1
(x − 1)
√
x
2
− x + Но x
2
− x + 1
x − 1
= x +
1
x − а потому x + 1
(x − 1)
√
x
2
− x + 1
dx =
Z
x
√
x
2
− x + 1
dx +
Z
dx
(x − 1)
√
x
2
− x + Согласно формуле (13)
Z
x
√
x
2
− x + 1
dx = a p
x
2
− x + 1 + λ
Z
dx
√
x
2
− x + Дифференцируя это соотношение и освобождаясь от знаменателя, получим тождество = a(2x − 1) + откуда a = 1,
λ =
1 2
,
откуда и можно определить коэффициенты многочленов ψ(x) и постоянную Интеграл (10) приводится к интегралу (9) при помощи подстановки Пример+ 1
(x − 1)
√
x
2
− x + 1
dx =
= x + lg(x − 1) −
Z
x
2
− x + 1
(x − 1)
√
x
2
− x + Но x
2
− x + 1
x − 1
= x +
1
x − а потому x + 1
(x − 1)
√
x
2
− x + 1
dx =
Z
x
√
x
2
− x + 1
dx +
Z
dx
(x − 1)
√
x
2
− x + Согласно формуле (13)
Z
x
√
x
2
− x + 1
dx = a p
x
2
− x + 1 + λ
Z
dx
√
x
2
− x + Дифференцируя это соотношение и освобождаясь от знаменателя, получим тождество = a(2x − 1) + откуда a = 1,
λ =
1 2
,
199]
§ 19. Интегрирование функции
609
и, следовательно, в силу формулы (11),
Z
x
√
x
2
− x + 1
dx =
p x
2
− x + 1 +
1 2
lg
x −
1 2
+
p x
2
− x + 1
+ Подставляя x − 1 получим − 1)
√
x
2
− x + 1
= −
Z
dx
√
t
2
+ t + 1
=
= − lg
t +
1 2
+
p t
2
+ t + 1
+ C =
= − lg
1
x − 1
+
1 2
+
s
1
(x − 1)
2
+
1
x − 1
+ 1
!
+ C =
= − lg(x + 1 + 2
p x
2
− x + 1) + lg(x − 1) + окончательно x +
√
x
2
− x + 1
= x −
p x
2
− x + 1−
1 2
lg
x−
1 2
+
p x
2
− x + 1
+
+ lg(x + 1 + 2
p x
2
− x + 1) + Интеграл (8) является частным случаем абелева интеграла, который имеет вид, где R — рациональная функция своих аргументов и y — алгебраическая функция от x, те. функция от x, которая определяется из уравнения f (x, y) = левая часть которого есть целый многочлен относительно x и y. Если y =
p
P (где P (x) — многочлен третьей или четвертой степени от x, то абелев интеграл) называется эллиптическим интегралом. Мы займемся этими интегралами в третьем томе. Даже и этот последний, а тем более и общий абелев интеграл, вообще говоря, не выражается через элементарные
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . функции. Если степень многочлена P (x) выше четвертой, то интеграл) называется гиперэллиптическим.
Если соотношение (15), которое выражает y как алгебраическую функцию от x, обладает тем свойством, что x и y могут быть выражены в виде рациональных функций вспомогательного параметра t, то,
очевидно, абелев интеграл (14) приводится к интегралу от рациональной дроби. В указанном случае алгебраическая кривая, соответствующая соотношению, называется уникурсальной. В частности, подстановки
Эйлера служат доказательством уникурсальности кривой y
2
= ax
2
+ bx + c.
200. Интегралы вида x, cos x)dx. Интеграл вида x, cos где R — рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от рациональной дроби, если ввести новую переменную t = tg Действительно, согласно известным формулам тригонометрии,
получим sin x =
2t
1 + t
2
,
cos x =
1 − t
2 1 + и, кроме того = 2 arctg t,
dx =
2dt
1 + откуда и вытекает непосредственно наше утверждение.
Укажем теперь некоторые частные случаи, когда выкладки могут быть упрощены. Положим, что R(sin x,
cos x) не меняется при замене sin x и cos x, соответственно, на (− sin x) и (− cos x), те. предположим,
что R(sin x,
cos x) имеет период π. Так как sin x = cos x tg x,
Если соотношение (15), которое выражает y как алгебраическую функцию от x, обладает тем свойством, что x и y могут быть выражены в виде рациональных функций вспомогательного параметра t, то,
очевидно, абелев интеграл (14) приводится к интегралу от рациональной дроби. В указанном случае алгебраическая кривая, соответствующая соотношению, называется уникурсальной. В частности, подстановки
Эйлера служат доказательством уникурсальности кривой y
2
= ax
2
+ bx + c.
200. Интегралы вида x, cos x)dx. Интеграл вида x, cos где R — рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от рациональной дроби, если ввести новую переменную t = tg Действительно, согласно известным формулам тригонометрии,
получим sin x =
2t
1 + t
2
,
cos x =
1 − t
2 1 + и, кроме того = 2 arctg t,
dx =
2dt
1 + откуда и вытекает непосредственно наше утверждение.
Укажем теперь некоторые частные случаи, когда выкладки могут быть упрощены. Положим, что R(sin x,
cos x) не меняется при замене sin x и cos x, соответственно, на (− sin x) и (− cos x), те. предположим,
что R(sin x,
cos x) имеет период π. Так как sin x = cos x tg x,
200]
§ 19. Интегрирование функции
611
то R(sin x, cos x) оказывается рациональной функцией от cos x и tg x, не меняющейся при заменена, те. содержащей только четные степени cos x:
R(sin x, cos x) = R
1
(cos
2
x, tg В рассматриваемом случае для приведения интеграла (16) к интегралу от рациональной дроби достаточно положить t = tg Действительно, при этом dx =
dt
1 + t
2
,
cos
2
x =
1 1 + Итак, если R(sin x, cos x) не меняется при замене sin x и cos соответственно, на (− sin x) и (− cos x), то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки. Предположим теперь, что R(sin x, cos x) меняет лишь знак при заменена. Функция x, cos x)
sin x не будет вовсе меняться при указанной замене, те. будет содержать только четные степени sin x, а следовательно x, cos x) = R
1
(sin
2
x, cos x) · sin Подставляя t = cos x, получим x, cos x)dx = −
Z
R
1
(1 − t
2
, те. если R(sin x, cos x) при заменена) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки t = cos x.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[201 3. Точно также нетрудно показать, что если R(sin x, cos x) при заменена) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки. Интегралы вида ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx. Интеграл вида где ϕ(x) — многочлен й степени от x, интегрированием по частям можно упростить ax
ϕ(x)dx =
1
a e
ax
ϕ(x) −
1
a
Z
e Таким образом, выделяя из интеграла слагаемое, имеющее вид произведения e ax на многочлен й степени, мы можем понизить степень многочлена под знаком интеграла на единицу. Продолжая таким образом интегрировать по частями принимая во внимание,
что
Z
e ax dx =
1
a e
ax
+ получим ax
ϕ(x)dx = e ax
ψ(x) + где ψ(x) — многочлен той же й степени, что и ϕ(x), те. интеграл от произведения показательной функции e ax на многочлен й степени имеет вид такого же произведения.
Дифференцируя соотношение (18) и сокращая обе части полученного тождества на e ax
, можем определить коэффициенты полинома) по способу неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим теперь интеграл более общего вида ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin Для применения формулы интегрирования по частям необходимо внести e
ax под знак дифференциала по правилу e ax dx
=
1
a de ax
[201 3. Точно также нетрудно показать, что если R(sin x, cos x) при заменена) меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки. Интегралы вида ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx. Интеграл вида где ϕ(x) — многочлен й степени от x, интегрированием по частям можно упростить ax
ϕ(x)dx =
1
a e
ax
ϕ(x) −
1
a
Z
e Таким образом, выделяя из интеграла слагаемое, имеющее вид произведения e ax на многочлен й степени, мы можем понизить степень многочлена под знаком интеграла на единицу. Продолжая таким образом интегрировать по частями принимая во внимание,
что
Z
e ax dx =
1
a e
ax
+ получим ax
ϕ(x)dx = e ax
ψ(x) + где ψ(x) — многочлен той же й степени, что и ϕ(x), те. интеграл от произведения показательной функции e ax на многочлен й степени имеет вид такого же произведения.
Дифференцируя соотношение (18) и сокращая обе части полученного тождества на e ax
, можем определить коэффициенты полинома) по способу неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим теперь интеграл более общего вида ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin Для применения формулы интегрирования по частям необходимо внести e
ax под знак дифференциала по правилу e ax dx
=
1
a de ax
201]
§ 19. Интегрирование функции
613
где P (x) и Q(x) — многочлены от x. Пусть n — наибольшая из степеней этих двух многочленов. Вводя в качестве вспомогательного средства комплексные величины, можем привести интеграл (19) к интегралу (17), а именно, подставив вместо cos bx и sin bx их выражения по формулам Эйлера [176]:
cos bx =
e bxi
+ e
−bxi
2
,
sin bx =
e bxi
− получим ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx =
=
Z
e
(a+bi)x
ϕ(x)dx +где ϕ(x) и ϕ
1
(x) — многочлены степени не выше n. Применяя формулу+ где ψ(x) и ψ
1
(x) — многочлены степени не выше n, и подставляя e
±bxi
= cos bx ± i sin окончательно имеем ax
[P (x) cos bx + Q(x) sin bx]dx =
= e ax
[R(x) cos bx + S(x) sin bx] + где R(x) и S(x) — многочлены степени не выше n. Таким образом,
мы видим, что интеграл (19) имеет выражение того же вида, что и его подынтегральная функция, причем степень многочленов в
∗
Многочлены R(x) и S(x) должны содержать только вещественные коэффициенты Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . выражении интеграла надо брать равной наибольшей из степеней многочленов, стоящих в подынтегральной функции.
Дифференцируя соотношение (20), сокращая полученное тождество на e ax и приравнивая коэффициенты одинаковых членов вида и x s
sin bx (s = 0, 1, 2, . . . , n), стоящих в правой и левой частях, получим систему уравнений первой степени для определения коэффициентов многочленов R(x) и S(x). Заметим при этом,
что, если cos bx или sin bx под знак интеграла и не входят, в правой части формулы надо обязательно писать обе тригонометрические функции, помня высказанное выше правило определения степеней многочленов R(x) и К интегралам вида (19) приводятся непосредственно интегралы вида ax
ϕ(x) sin(a
1
x+b
1
) sin(a
2
x+b
2
) . . . cos(c
1
x+d
1
) cos(c
2
x+d
2
) . . . Действительно, пользуясь известными тригонометрическими формулами, выражающими сумму и разность синусов и косинусов в виде произведения, можно, наоборот, произведение каких-либо двух из вышеупомянутых тригонометрических функций выразить в виде суммы или разности синусов и косинусов. Применяя несколько раз это преобразование, можем довести число тригонометрических множителей под знаком интеграла до одного и таким образом получим интеграл вида Пример. Согласно формуле (20):
Z
e ax sin bxdx = e ax
(A cos bx + B sin bx) + Дифференцируем и сокращаем на e ax
:
sin bx = (aA + bB) cos bx + (−bA + aB) sin откуда aA + bB = 0, −bA + aB = 1, то есть A = −
b a
2
+ b
2
, B =
a a
2
+ и окончательно ax sin bxdx = e ax
−
b a
2
+ b
2
cos bx +
a a
2
+ b
2
sin bx
+ C.
(21)
Учебное издание
Смирнов Владимир Иванович Курс высшей математики Том Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 27.02.08. Формат 60
90 1
/
16
Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31. Тираж 2000 экз. Заказ №
"БХВ-Петербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, Б.
Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию
№ Дот г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП "Типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
Смирнов Владимир Иванович Курс высшей математики Том Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 27.02.08. Формат 60
90 1
/
16
Печать офсетная. Усл. печ. л. 50,31. Тираж 2000 экз. Заказ №
"БХВ-Петербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, Б.
Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию
№ Дот г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП "Типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12