Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 166
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(ω+εi)it
= Вещественная часть этой комплексной величины совпадает с выражением. Таким образом, мы можем представить любое гармоническое затухающее колебание как вещественную часть комплексного выражения вида = где α и β — комплексные числа. В случае формулы (45):
α = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i и = ω + В случае чисто гармонического колебания без затухания ε = 0 и β будет числом вещественным. Выражение (45) для ζ совпадает с выражением) при = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i
,
γ = (ω + εi)i = −ε + ωi и u = Отсюда видно, что при изменении t точка ζ описывает логарифмическую спираль, причем полярный угол θ есть линейная функция времени+ те. радиус-вектор изначала координат в точку ζ вращается вокруг начала с постоянной угловой скоростью ω. Проекция точки ζ
184]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . на ось OX совершает затухающие колебания (44). Если ε = то точка ζ движется по окружности ρ = A, и ее проекция на ось OX движется по закону гармонического колебания без затухания. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ. Алгебраическое уравнение. В настоящем параграфе мы будем заниматься исследованием целого многочлена полинома где a
0
, a
1
, . . . , a k
, a n
— данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент мы можем считать отличным от нуля. Основные действия с многочленами хорошо известны из элементарной алгебры. Мы напомним только основной результат, касающийся действия деления. Если f (z) и ϕ(z) — два многочлена и степень ϕ(z) не выше степени f (z), то f (z) можно представить в виде f (z) = ϕ(z) · Q(z) + где Q(z) и R(z) — также многочлены, причем степень R(z) ниже степени ϕ(z). Многочлены Q(z) и R(z) называются, соответственно,
частным и остатком при делении f (z) на ϕ(z). Частное и остаток суть вполне определенные многочлены, так что представление f (в указанном выше виде через ϕ(z) единственно.
Значения z, при подстановке которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом,
корни f (z) суть решения уравнения f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
= 0.
(1)
185]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . вовсе корней не имеет, так как модуль e левой части ни при одном значении x в нуль не обращается. Нов случае алгебраического уравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительный ответ, который и заключается в следующей основной теореме алгебры всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.
Мы примем здесь эту теорему без доказательства. В третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной мы дадим ее доказательство. Разложение многочлена на множители. Всякий многочлен согласно основной теореме, имеет корень z = z
1
, а потому делится на (z − z
1
), и мы можем написать [184]
f (z) = (z − z
1
)(a
0
z n−1
+ . . Второй множитель произведения, стоящего в правой части этого равенства, имеет, согласно упомянутой основной теореме, корень z = z
2
, а потому делится на (z − z
2
). И мы можем написать f (z) = (z − z
1
)(z − z
2
)(a
0
z n−2
+ . . Продолжая таким образом выделять множители первой степени, мы получим окончательно следующее разложение f (z) на множители те. всякий многочлен й степени разлагается на (n+1) множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные суть двучлены первой степени вида (z − При подстановке z = z s
(s = 1, 2, . . . , n) по крайней мере один из множителей в разложении (3) обратится в нуль, те. значения z = z суть корни f (Любое значение z, отличное от всех z s
, не может быть корнем f (z), так как при таком значении z ни одни из сомножителей в разложении (3) в нуль не обратится
186]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Сравнивая эти два разложения, можем написать тождество a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − Левая часть этого тождества обращается в нуль при z = следовательно, тоже должно иметь место и по отношению к правой части, те. по крайней мере одно из чисел z
′
k должно быть равным z
1
. Можно, например, считать, что z
′
1
= z
1
. Сокращая обе части написанного тождества на (z − z
1
), получим равенство a
0
(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
2
) . . . (z − справедливое при всех значениях z, кроме, может быть, z = Но при этом, в силу доказанного выше предложения, это равенство также должно быть тождеством. Рассуждая также, как и выше,
докажем, что z
′
2
= и т. д. и, наконец, что b
0
= a
0
, те. разложение 1
) должно совпадать с разложением (3).
186. Кратные корни. Среди чисел z s
, входящих в разложение, могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые. Соединяя в разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можем написать его в виде f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k где числа z
1
, z
2
, . . . , z различны и k
1
+ k
2
+ . . . + k m
= Если в написанном таким образом разложении имеется множитель, то корень z = z называют корнем кратности k и вообще корень z = a многочлена f (z) называется корнем кратности, если f (z) делится на (z − a)
k и не делится на (z − Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора. Заметим прежде всего, что можем определить производные от многочлена f (z) по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
;
1
(z) и f
2
(z) на D(x), мы
′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) разных знаков, то эта ломаная линия стремится к ξ, имея форму спирали (черт. 184). Мы не будем приводить условий и строгого доказательства того, что последовательность (30) стремится к ξ как к пределу.
Во многих случаях это можно непосредственно обнаружить из чертежа.
Рис. Рис. Особенно удобен для приложения указанный способ в том случае,
когда уравнение (29) имеет вид x = Пусть ξ есть корень этого уравнения, приближенное значение которого x
0
= ξ + h нам известно. Ряд последовательных приближений будет x
1
= f
2
(x
0
),
x
2
= f
2
(x
1
),
. . . ,
x n
= f
2
(x Можно показать, что действительно x n
→ ξ при n → ∞, если функция) имеет производную f
′
2
(x), которая удовлетворяет условию 6 q < 1
193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . в промежутке − h 6 x 6 ξ + Пример. Рассмотрим уравнение x
5
− x − 0, 2 = Рис. Его вещественные корни суть абсциссы точек пересечения линий
(рис. 185)
y = x
5
,
(34 1
)
y = x + 0, 2,
(34 и, как видно из рис. 185, уравнение) имеет один положительный и два отрицательных корня.
В точках пересечения A и соответствующих положительному корню и большему по абсолютному значению отрицательному корню, угловой коэффициент прямой 2
) меньше по абсолютному значению, чем угловой коэффициент касательной к кривой (34 1
), те. при вычислении этих корней методом итерации уравнение (33) надо представить в виде x
5
= x + 0, Принимая за первое приближение при вычислении положительного корня x
0
= 1, получим таблицу (I).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2 1,2
x
1
= 1, 037 1,237
x
2
= 1, 0434 1,2434
x
3
= 1, 0445 1,2445
x
4
= 1, 04472
(I)
197]
§ 19. Интегрирование функции
603
Формула Остроградского дает, таким образом, алгебраическую часть интеграла правильной рациональной дроби и тогда, когда корни знаменателя неизвестны. Знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла в правой части равенства (5), содержит только простые корни, и, разлагая эту дробь на простейшие, мы сумеем вычислить этот интеграл, причем, как это мы только что видели,
он выразится через логарифмы и арктангенсы. Для проведения последней операции на надо знать корни Пример. Согласно формуле Остроградского+ 1)
2
=
αx
2
+ βx + γ
x
3
+ 1
+
Z
δx
2
+ εx + η
x
3
+ Дифференцируем пои, освобождаясь от знаменателя, имеем = (2αx + β)(x
3
+ 1) − 3x
2
(αx
2
+ βx + γ) + (δx
2
+ εx + η)(x
3
+ Сравнивая коэффициенты при x
5
, получаем δ = 0, и сравнивая затем коэффициенты при x
2
, получим γ = 0. Подставляя в написанное тождество и сравнивая коэффициенты при остальных степенях,
будем иметь − α = 0,
η − 2β = 0,
2α + ε = 0,
β + η = откуда окончательно = γ = δ = ε = 0,
β =
1 3
,
η =
2 и, следовательно+ 1)
2
=
x
3(x
3
+ 1)
+
2 3
Z
dx x
3
+ Последний интеграл вычисляется разложением дробина простейшие+ 1
=
A
x + 1
+
M x + N
x
2
− x + 1
= Вещественная часть этой комплексной величины совпадает с выражением. Таким образом, мы можем представить любое гармоническое затухающее колебание как вещественную часть комплексного выражения вида = где α и β — комплексные числа. В случае формулы (45):
α = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i и = ω + В случае чисто гармонического колебания без затухания ε = 0 и β будет числом вещественным. Выражение (45) для ζ совпадает с выражением) при = Ae
(ϕ
0
−
π
2
)i
,
γ = (ω + εi)i = −ε + ωi и u = Отсюда видно, что при изменении t точка ζ описывает логарифмическую спираль, причем полярный угол θ есть линейная функция времени+ те. радиус-вектор изначала координат в точку ζ вращается вокруг начала с постоянной угловой скоростью ω. Проекция точки ζ
184]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . на ось OX совершает затухающие колебания (44). Если ε = то точка ζ движется по окружности ρ = A, и ее проекция на ось OX движется по закону гармонического колебания без затухания. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ. Алгебраическое уравнение. В настоящем параграфе мы будем заниматься исследованием целого многочлена полинома где a
0
, a
1
, . . . , a k
, a n
— данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент мы можем считать отличным от нуля. Основные действия с многочленами хорошо известны из элементарной алгебры. Мы напомним только основной результат, касающийся действия деления. Если f (z) и ϕ(z) — два многочлена и степень ϕ(z) не выше степени f (z), то f (z) можно представить в виде f (z) = ϕ(z) · Q(z) + где Q(z) и R(z) — также многочлены, причем степень R(z) ниже степени ϕ(z). Многочлены Q(z) и R(z) называются, соответственно,
частным и остатком при делении f (z) на ϕ(z). Частное и остаток суть вполне определенные многочлены, так что представление f (в указанном выше виде через ϕ(z) единственно.
Значения z, при подстановке которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом,
корни f (z) суть решения уравнения f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
= 0.
(1)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Написанное уравнение называется алгебраическим уравнением й степени.
При делении f (z) на двучлен (z − a) частное Q(z) будет многочленом й степени со старшим коэффициентом a
0
, остаток жене будет содержать z. По основному свойству деления имеет место тождество f (z) = (z − a)Q(z) + Подставляя это тождество z = a, получим = f (те. остаток, получаемый при делении многочлена f (z) на (z − равен f (a) (теорема Безу).
В частности, для того чтобы многочлен f (z) делился на (z − без остатка, необходимо и достаточно условие f (a) = те. для того, чтобы многочлен делился на двучлен (z − a) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы z = a было корнем этого многочлена.
Таким образом, зная корень z = a многочлена f (z), мы можем выделить из этого многочлена множитель (z − a):
f (z) = (z − где f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
(b
0
= нахождение остальных корней приводит к решению уравнения b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
= 0
(n − й степени.
Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ наследующий вопрос имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнение e
z
= 0 (z = x + yi)
При делении f (z) на двучлен (z − a) частное Q(z) будет многочленом й степени со старшим коэффициентом a
0
, остаток жене будет содержать z. По основному свойству деления имеет место тождество f (z) = (z − a)Q(z) + Подставляя это тождество z = a, получим = f (те. остаток, получаемый при делении многочлена f (z) на (z − равен f (a) (теорема Безу).
В частности, для того чтобы многочлен f (z) делился на (z − без остатка, необходимо и достаточно условие f (a) = те. для того, чтобы многочлен делился на двучлен (z − a) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы z = a было корнем этого многочлена.
Таким образом, зная корень z = a многочлена f (z), мы можем выделить из этого многочлена множитель (z − a):
f (z) = (z − где f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
(b
0
= нахождение остальных корней приводит к решению уравнения b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
= 0
(n − й степени.
Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ наследующий вопрос имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнение e
z
= 0 (z = x + yi)
185]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . вовсе корней не имеет, так как модуль e левой части ни при одном значении x в нуль не обращается. Нов случае алгебраического уравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительный ответ, который и заключается в следующей основной теореме алгебры всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.
Мы примем здесь эту теорему без доказательства. В третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной мы дадим ее доказательство. Разложение многочлена на множители. Всякий многочлен согласно основной теореме, имеет корень z = z
1
, а потому делится на (z − z
1
), и мы можем написать [184]
f (z) = (z − z
1
)(a
0
z n−1
+ . . Второй множитель произведения, стоящего в правой части этого равенства, имеет, согласно упомянутой основной теореме, корень z = z
2
, а потому делится на (z − z
2
). И мы можем написать f (z) = (z − z
1
)(z − z
2
)(a
0
z n−2
+ . . Продолжая таким образом выделять множители первой степени, мы получим окончательно следующее разложение f (z) на множители те. всякий многочлен й степени разлагается на (n+1) множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные суть двучлены первой степени вида (z − При подстановке z = z s
(s = 1, 2, . . . , n) по крайней мере один из множителей в разложении (3) обратится в нуль, те. значения z = z суть корни f (Любое значение z, отличное от всех z s
, не может быть корнем f (z), так как при таком значении z ни одни из сомножителей в разложении (3) в нуль не обратится
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если все числа z различны между собой, то f (z) имеет ровно n различных корней. Если среди чисел z есть одинаковые, то число различных корней f (z) будет меньше Таким образом, мы можем высказать теорему многочлен й степени (или алгебраическое уравнение й степени) не может иметь более n различных корней.
Непосредственным следствием этой теоремы является следующее предложение если известно, что некоторый многочлен степени не выше n имеет более n различных корней, то все коэффициенты этого многочлена и свободный член равны нулю, те. этот многочлен равен нулю тождественно.
Положим, что значения двух многочленов f
1
(z) и f
2
(z) степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z. Их разность f
1
(z) − f
2
(z) есть многочлен степени не выше n, имеющий более n различных корней, а потому эта разность обращается тождественно в нуль и f
1
(z) и f
2
(z) имеют одинаковые коэффициенты.
Если значения двух многочленов степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z, то все коэффициенты этих многочленов и свободные члены одинаковы, те. эти многочлены тождественно равны между собой.
Это свойство многочленов лежит в основе так называемого метода неопределенных коэффициентов, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Практически сущность этого метода сводится к тому, что из тождественного равенства двух многочленов вытекают равенства коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях Разложение (3) было нами получено путем выделения множителей первой степени из многочлена f (z) в определенном порядке.
Покажем теперь, что окончательный вид разложения не зависит оттого, каким образом мы выделяли указанные множители, т. е.
что многочлен имеет единственное разложение на множители вида (Положим, что, кроме разложения (3), имеет место разложение f (z) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − z
′
n
).
(3 1
)
Непосредственным следствием этой теоремы является следующее предложение если известно, что некоторый многочлен степени не выше n имеет более n различных корней, то все коэффициенты этого многочлена и свободный член равны нулю, те. этот многочлен равен нулю тождественно.
Положим, что значения двух многочленов f
1
(z) и f
2
(z) степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z. Их разность f
1
(z) − f
2
(z) есть многочлен степени не выше n, имеющий более n различных корней, а потому эта разность обращается тождественно в нуль и f
1
(z) и f
2
(z) имеют одинаковые коэффициенты.
Если значения двух многочленов степени не выше n совпадают более чем при n различных значениях z, то все коэффициенты этих многочленов и свободные члены одинаковы, те. эти многочлены тождественно равны между собой.
Это свойство многочленов лежит в основе так называемого метода неопределенных коэффициентов, которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Практически сущность этого метода сводится к тому, что из тождественного равенства двух многочленов вытекают равенства коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях Разложение (3) было нами получено путем выделения множителей первой степени из многочлена f (z) в определенном порядке.
Покажем теперь, что окончательный вид разложения не зависит оттого, каким образом мы выделяли указанные множители, т. е.
что многочлен имеет единственное разложение на множители вида (Положим, что, кроме разложения (3), имеет место разложение f (z) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − z
′
n
).
(3 1
)
186]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Сравнивая эти два разложения, можем написать тождество a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
1
)(z − z
′
2
) . . . (z − Левая часть этого тождества обращается в нуль при z = следовательно, тоже должно иметь место и по отношению к правой части, те. по крайней мере одно из чисел z
′
k должно быть равным z
1
. Можно, например, считать, что z
′
1
= z
1
. Сокращая обе части написанного тождества на (z − z
1
), получим равенство a
0
(z − z
2
) . . . (z − z n
) = b
0
(z − z
′
2
) . . . (z − справедливое при всех значениях z, кроме, может быть, z = Но при этом, в силу доказанного выше предложения, это равенство также должно быть тождеством. Рассуждая также, как и выше,
докажем, что z
′
2
= и т. д. и, наконец, что b
0
= a
0
, те. разложение 1
) должно совпадать с разложением (3).
186. Кратные корни. Среди чисел z s
, входящих в разложение, могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые. Соединяя в разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можем написать его в виде f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k где числа z
1
, z
2
, . . . , z различны и k
1
+ k
2
+ . . . + k m
= Если в написанном таким образом разложении имеется множитель, то корень z = z называют корнем кратности k и вообще корень z = a многочлена f (z) называется корнем кратности, если f (z) делится на (z − a)
k и не делится на (z − Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора. Заметим прежде всего, что можем определить производные от многочлена f (z) по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n−1
z + a n
;
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[186
f
′
(z) = na
0
z n−1
+(n−1)a
1
z n−2
+. . .+(n−k)a k
z n−k−1
+. . .+a n−1
;
f
′′
(z) = n(n − 1)a
0
z n−2
+ (n − 1)(n − 2)a
1
z n−3
+ . . .
. . . + (n − k)(n − k − 1)a k
z n−k−2
+ . . . + 2 · 1a Формула Тейлора. . +
(z − a)
k k!
f
(k)
(a) + . . . +
(z − a)
n n!
f
(n)
(a) (представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы a и z, справедливое не только при вещественных,
но и при комплексных значениях этих букв.
Выведем теперь условие для того, чтобы z = a было корнем f (кратности k. Перепишем (6) в виде (z) = (z−a)
k
1
k!
f
(k)
(a)+
z − a
(k+1)!
f
(k+1)
(a)+. . .+
(z −a)
n−k n!
f
(n)
(a)
+
+
f (a) +
z − a
1!
f
′
(a) + . . . +
(z − a)
k−1
(k − Многочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степень ниже степени (z − a)
k
, и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении f (z) на − a)
k
. Для того, чтобы f (z) делилось на (z − a)
k
, необходимо и достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю.
Рассматривая его как многочлен относительно переменной (z − получаем следующее условие (a) = f
′
(a) = . . . = f
(k−1)
(a) = К этому условию мы должны еще добавить условие
∗
Вообще говоря, дифференцирование функции комплексного переменного вопрос для отдельного изучения и будет рассмотрен в следующих томах
187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
573
f
(k)
(a) 6= ибо если бы и f
(k)
(a) = 0, то f (z) делился бы не только на (z − но и на (z − a)
k+1
. Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы z = a было корнем кратности k многочлена f (Положим ψ(z) = f
′
(z), следовательно) = f
′′
(z), ψ
′′
(z) = f
′′′
(z), . . . , ψ
(s−1)
(z) = Если z = a есть корень кратности k многочлена f (z), тов силу (и (8):
ψ(a) = ψ
′
(a) = . . . = ψ
(k−2)
(a) = и ψ
(k−1)
(a) 6= те будет корнем кратности (k − 1) для ψ(z) или, что то же,
для f
′
(z), те. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности (k −1) для производной этого многочлена.
Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будет корнем кратности (k − 2) для второй производной, корнем кратности) для третьей производной и т. д. и, наконец, корнем первой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной го порядка.
Таким образом, если для f (z) имеет место разложение f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k то для f
′
(z) будем иметь f
′
(z) = (z − z
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k где ω(z) — многочлен, не имеющей уже корней, общих с f (z).
187. Правило Горнера.
Укажем теперь практически удобное правило для вычисления значений f (z) и производных при заданном значении Пусть при делении f (z) на (z − a) получается частное f
1
(z) и остаток r
1
, при делении f
1
(z) на (z − a) — частное f
2
(z) и остаток и т. д (z) = (z − a)f
1
(z) + r
1
,
r
1
= f (a),
[186
f
′
(z) = na
0
z n−1
+(n−1)a
1
z n−2
+. . .+(n−k)a k
z n−k−1
+. . .+a n−1
;
f
′′
(z) = n(n − 1)a
0
z n−2
+ (n − 1)(n − 2)a
1
z n−3
+ . . .
. . . + (n − k)(n − k − 1)a k
z n−k−2
+ . . . + 2 · 1a Формула Тейлора. . +
(z − a)
k k!
f
(k)
(a) + . . . +
(z − a)
n n!
f
(n)
(a) (представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы a и z, справедливое не только при вещественных,
но и при комплексных значениях этих букв.
Выведем теперь условие для того, чтобы z = a было корнем f (кратности k. Перепишем (6) в виде (z) = (z−a)
k
1
k!
f
(k)
(a)+
z − a
(k+1)!
f
(k+1)
(a)+. . .+
(z −a)
n−k n!
f
(n)
(a)
+
+
f (a) +
z − a
1!
f
′
(a) + . . . +
(z − a)
k−1
(k − Многочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степень ниже степени (z − a)
k
, и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении f (z) на − a)
k
. Для того, чтобы f (z) делилось на (z − a)
k
, необходимо и достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю.
Рассматривая его как многочлен относительно переменной (z − получаем следующее условие (a) = f
′
(a) = . . . = f
(k−1)
(a) = К этому условию мы должны еще добавить условие
∗
Вообще говоря, дифференцирование функции комплексного переменного вопрос для отдельного изучения и будет рассмотрен в следующих томах
187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
573
f
(k)
(a) 6= ибо если бы и f
(k)
(a) = 0, то f (z) делился бы не только на (z − но и на (z − a)
k+1
. Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы z = a было корнем кратности k многочлена f (Положим ψ(z) = f
′
(z), следовательно) = f
′′
(z), ψ
′′
(z) = f
′′′
(z), . . . , ψ
(s−1)
(z) = Если z = a есть корень кратности k многочлена f (z), тов силу (и (8):
ψ(a) = ψ
′
(a) = . . . = ψ
(k−2)
(a) = и ψ
(k−1)
(a) 6= те будет корнем кратности (k − 1) для ψ(z) или, что то же,
для f
′
(z), те. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности (k −1) для производной этого многочлена.
Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будет корнем кратности (k − 2) для второй производной, корнем кратности) для третьей производной и т. д. и, наконец, корнем первой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной го порядка.
Таким образом, если для f (z) имеет место разложение f (z) = a
0
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z m
)
k то для f
′
(z) будем иметь f
′
(z) = (z − z
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k где ω(z) — многочлен, не имеющей уже корней, общих с f (z).
187. Правило Горнера.
Укажем теперь практически удобное правило для вычисления значений f (z) и производных при заданном значении Пусть при делении f (z) на (z − a) получается частное f
1
(z) и остаток r
1
, при делении f
1
(z) на (z − a) — частное f
2
(z) и остаток и т. д (z) = (z − a)f
1
(z) + r
1
,
r
1
= f (a),
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[187
f
1
(z) = (z − a)f
2
(z) + r
2
,
r
2
= f
1
(a),
f
2
(z) = (z − a)f
3
(z) + r
3
,
r
3
= Перепишем формулу (6) в виде (z) = f (a)+(z − a)
f
′
(a)
1
+
f
′′
(a)
2!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − Сравнивая эту формулу с первым из написанных выше равенств, получим (Поступая точно также с f
1
(z), найдем) =
f
′′
(a)
2!
+
f
′′′
(a)
3!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − a)
n−2
, и, вообще k+1
=
f
(k)
(a)
k!
(k = 1, 2, . . . , Положим теперь f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
,
f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
, b n
= и покажем, каким образом можно вычислять коэффициенты частного b и остаток b n
. Раскрывая скобки и собирая члены с одинаковыми степенями, получим тождество
187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
575
a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
=
= (z − a)(b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
) + b n
=
= b
0
z n
+ (b
1
− b
0
a)z n−1
+ (b
2
− b
1
a)z n−2
+ . . . +
+ (b n−1
− b n−2
a)z + (b n
− b и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z:
a
0
= b
0
, a
1
= b
1
− b
0
a, a
2
= b
2
− b
1
a, . . . , a n−1
= b n−1
− b n−2
a,
a n
= b n
− b откуда b
0
= a
0
, b
1
= b
0
a + a
1
, b
2
= b
1
a + a
2
, . . . , b n−1
= b n−2
a + a n−1
,
b n
= b n−1
a + a n
= Эти равенства и дают возможность последовательно определить величины Точно также, обозначив частное и остаток при делении f
1
(z) на (z − a),
f
2
(z) = c
0
z n−2
+ c
1
z n−3
+ . . . + c n−3
z + c n−2
;
c n−1
= будем иметь c
0
= b
0
, c
1
= c
0
a + b
1
, c
2
= c
1
a + b
2
, . . . , c n−2
= c n−3
a + b n−2
,
c n−1
= c n−2
a + b n−1
= те. коэффициенты c вычисляют последовательно при помощи b s
, также как b при помощи a Указанный прием вычисления называется правилом, или алгориф- мом Горнера
21
). Применяя это правило, мы получим величины Приведем схему вычислений, которая понятна без пояснений:
21
Вообще алгорифмом называют определенное правило, согласно которому надо производить математические операции, чтобы получить требуемый ответ
188]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
577 188. Общий наибольший делитель. Рассмотрим два многочлена) и f
2
(z). Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем этих двух многочленов называется произведение всех двучленных множителей вида (z − a), входящих как в разложение f
1
(z), таки в разложение f
2
(z), причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения f
1
(z) и f
2
(z). Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят,
что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких мно- гочленов.
Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленов на множители первой степени. Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения f (z) = 0, что и составляет одну из основных задач алгебры.
Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень не ниже степени f
2
(z). Первый многочлен делим на второй, затем второй многочлен f
2
(z) разделим на остаток, получаемый припер- вом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемый при втором делении, и т. д, пока не получится деление с остатком,
равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Если этот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимно простыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив f
[187
f
1
(z) = (z − a)f
2
(z) + r
2
,
r
2
= f
1
(a),
f
2
(z) = (z − a)f
3
(z) + r
3
,
r
3
= Перепишем формулу (6) в виде (z) = f (a)+(z − a)
f
′
(a)
1
+
f
′′
(a)
2!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − Сравнивая эту формулу с первым из написанных выше равенств, получим (Поступая точно также с f
1
(z), найдем) =
f
′′
(a)
2!
+
f
′′′
(a)
3!
(z − a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z − a)
n−2
, и, вообще k+1
=
f
(k)
(a)
k!
(k = 1, 2, . . . , Положим теперь f (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
,
f
1
(z) = b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
, b n
= и покажем, каким образом можно вычислять коэффициенты частного b и остаток b n
. Раскрывая скобки и собирая члены с одинаковыми степенями, получим тождество
187]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
575
a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
=
= (z − a)(b
0
z n−1
+ b
1
z n−2
+ . . . + b n−2
z + b n−1
) + b n
=
= b
0
z n
+ (b
1
− b
0
a)z n−1
+ (b
2
− b
1
a)z n−2
+ . . . +
+ (b n−1
− b n−2
a)z + (b n
− b и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z:
a
0
= b
0
, a
1
= b
1
− b
0
a, a
2
= b
2
− b
1
a, . . . , a n−1
= b n−1
− b n−2
a,
a n
= b n
− b откуда b
0
= a
0
, b
1
= b
0
a + a
1
, b
2
= b
1
a + a
2
, . . . , b n−1
= b n−2
a + a n−1
,
b n
= b n−1
a + a n
= Эти равенства и дают возможность последовательно определить величины Точно также, обозначив частное и остаток при делении f
1
(z) на (z − a),
f
2
(z) = c
0
z n−2
+ c
1
z n−3
+ . . . + c n−3
z + c n−2
;
c n−1
= будем иметь c
0
= b
0
, c
1
= c
0
a + b
1
, c
2
= c
1
a + b
2
, . . . , c n−2
= c n−3
a + b n−2
,
c n−1
= c n−2
a + b n−1
= те. коэффициенты c вычисляют последовательно при помощи b s
, также как b при помощи a Указанный прием вычисления называется правилом, или алгориф- мом Горнера
21
). Применяя это правило, мы получим величины Приведем схему вычислений, которая понятна без пояснений:
21
Вообще алгорифмом называют определенное правило, согласно которому надо производить математические операции, чтобы получить требуемый ответ
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[187
a a
0
,
a
1
,
a
2
, a
3
, . . . , a n−2
, a n−1
, a n
+
b
0
a, b
1
a, b
2
a, . . . , b n−3
a, b n−2
a, b n−1
a b
0
= a
0
, b
1
,
b
2
, b
3
, . . . , b n−2
, b n−1
,
b n
= r
1
= f (a)
+
c
0
a, c
1
a, c
2
a, . . . , c n−3
a, c n−2
a c
0
= a
0
, c
1
,
c
2
, c
3
, . . . , c n−2
,
c n−1
= r
2
=
f
′
(a)
1
l
0
= a
0
, l
1
l
2
= r n−1
=
f n−2
(a)
(n−2)!
+
m
0
a m
0
= a
0
m
1
= Пример. Найти значения функции f (z) = z
5
+ 2z
4
− 2z
2
− 25z + и ее производных при z = −5.
a = −5 1,
2,
0,
–2, –25,
100
–5 15, –75, 385, –1800 1, –3, 15, –77, 360
−1700 = f(−5)
–5, 40, –275, 1760 1, –8, 55, –352 2120 =
f
′
(−5)
1!
–5, 65, –600 1, –13, 120
−952 =
f
′′
(−5)
2!
–5, 90 1, –18 210 =
f
′′′
(−5)
3!
–5 1
−23 =
f
IV
(−5)
4!
1 =
f
V
(−5)
5!
[187
a a
0
,
a
1
,
a
2
, a
3
, . . . , a n−2
, a n−1
, a n
+
b
0
a, b
1
a, b
2
a, . . . , b n−3
a, b n−2
a, b n−1
a b
0
= a
0
, b
1
,
b
2
, b
3
, . . . , b n−2
, b n−1
,
b n
= r
1
= f (a)
+
c
0
a, c
1
a, c
2
a, . . . , c n−3
a, c n−2
a c
0
= a
0
, c
1
,
c
2
, c
3
, . . . , c n−2
,
c n−1
= r
2
=
f
′
(a)
1
l
0
= a
0
, l
1
l
2
= r n−1
=
f n−2
(a)
(n−2)!
+
m
0
a m
0
= a
0
m
1
= Пример. Найти значения функции f (z) = z
5
+ 2z
4
− 2z
2
− 25z + и ее производных при z = −5.
a = −5 1,
2,
0,
–2, –25,
100
–5 15, –75, 385, –1800 1, –3, 15, –77, 360
−1700 = f(−5)
–5, 40, –275, 1760 1, –8, 55, –352 2120 =
f
′
(−5)
1!
–5, 65, –600 1, –13, 120
−952 =
f
′′
(−5)
2!
–5, 90 1, –18 210 =
f
′′′
(−5)
3!
–5 1
−23 =
f
IV
(−5)
4!
1 =
f
V
(−5)
5!
188]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
577 188. Общий наибольший делитель. Рассмотрим два многочлена) и f
2
(z). Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем этих двух многочленов называется произведение всех двучленных множителей вида (z − a), входящих как в разложение f
1
(z), таки в разложение f
2
(z), причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения f
1
(z) и f
2
(z). Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят,
что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких мно- гочленов.
Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленов на множители первой степени. Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения f (z) = 0, что и составляет одну из основных задач алгебры.
Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень не ниже степени f
2
(z). Первый многочлен делим на второй, затем второй многочлен f
2
(z) разделим на остаток, получаемый припер- вом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемый при втором делении, и т. д, пока не получится деление с остатком,
равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Если этот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимно простыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив f
1 ... 35 36 37 38 39 40 41 42 43
1
(z) и f
2
(z) на D(x), мы
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . получим взаимно простые многочлены. Один из них или оба не могут содержать Сравнивая разложения (9) и (10), мы видим, что общий наибольший делитель D(z) многочлена f (z) и его производной будет) = (z − z
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k причем мы опускаем постоянный множитель, что является несуще- ственным.
Разделив f (z) на D(z), получим f (z)
D(z)
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z те. при делении многочлена f (z) на общий наибольший делитель f (z) и f
′
(z) получается многочлен, имеющий все корни простые и совпадающие с различными корнями f (Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена f (z) от кратных корней. Мы видим, что для этого нет необходимости решать уравнение f (z) = Если f (z) и f
′
(z) взаимно простые, то f (z) имеет все корни простые и наоборот. Вещественные многочлены. Рассмотрим теперь многочлен с вещественными коэффициентами (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a и пусть этот многочлен имеет комплексный корень z = a+bi (b 6= кратности k, те + Bi 6= Заменим теперь в выражении f (a+bi) ив производных все величины сопряженными. При этой замене коэффициенты a s
, как числа вещественные, останутся прежними и лишь (a + bi) перейдет в
189]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
579
(a−bi), те. многочлен f(z) останется прежним, но вместо z = a+bi в него будет подставлено z = a − bi. После замены комплексных чисел сопряженными, как известно [173], и общий результат, т. е.
значение многочлена, переходит в сопряженное. Таким образом получим A − Bi 6= те. если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень z = a + bi(b 6= 0) кратности k, то он должен иметь и сопряженный корень z = a − bi той же крат- ности.
Итак, комплексные корни многочлена f (z) с вещественными коэффициентами распределяются по парам сопряженных корней. Положим, что переменная z принимает лишь вещественные значения,
и обозначим ее буквою x. Согласно формуле (3)
f (x) = a
0
(x − z
1
)(x − z
2
) . . . (x − z Если среди корней n будут комплексные, то соответствующие им множители также будут комплексными. Перемножив попарно множители, соответствующие паре сопряженных корней, получим − (a + bi)][x − (a − bi)] = [(x − a) − bi][(x − a) + bi] =
= (x − a)
2
+ b
2
= x
2
+ px + где p = −2a, q = a
2
+ b
2
(b 6= Таким образом, пара комплексных сопряженных корней дает вещественный множитель второй степени, и мы можем высказать следующее положение многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на вещественные множители первой и второй сте- пени.
Разложение это имеет следующий вид
191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Формулы эти являются обобщением известных свойств корней квадратного уравнения на случай уравнения любой степени. Они дают, между прочим, возможность составить уравнение, когда известны его корни. Уравнение третьей степени.
Мы не будем подробно заниматься вопросом о фактическом вычислении корней алгебраических уравнений. Вопрос этот излагается в учебниках по приближенным вычислениям. Мы остановимся лишь на случае уравнения третьей степени и укажем также некоторые методы вычисления, которые будут полезны ив дальнейшем.
Начнем с исследования уравнения третьей степени y
3
+ a
1
y
2
+ a
2
y + a
3
= Вместо y введем новую неизвестную x, полагая y = x + Подставив это в левую часть уравнения (13), получим уравнение x
3
+ (3α + a
1
)x
2
+ (3α
2
+ 2a
1
α + a
2
)x + (α
3
+ a
1
α
2
+ a
2
α + a
3
) = Если положим α = −
a
1 3
, то член с пропадает, и, следовательно, подстановка преобразует уравнение (13) к виду f (x) = x
3
+ px + q = не содержащему члена с Если p и q — вещественны, то уравнение (14) может иметь или все три вещественных корня, или один вещественный и два мнимых сопряженных корня [189]. Чтобы решить, какой из этих случае имеет место,
составим первую производную левой части уравнения f
′
(x) = 3x
2
+ Если p > 0, то f
′
(x) > 0, и f (x) все время возрастает и будет иметь лишь один вещественный корень, ибо при переходе от x =
1
)
k
1
−1
(z − z
2
)
k
2
−1
. . . (z − z m
)
k причем мы опускаем постоянный множитель, что является несуще- ственным.
Разделив f (z) на D(z), получим f (z)
D(z)
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z те. при делении многочлена f (z) на общий наибольший делитель f (z) и f
′
(z) получается многочлен, имеющий все корни простые и совпадающие с различными корнями f (Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена f (z) от кратных корней. Мы видим, что для этого нет необходимости решать уравнение f (z) = Если f (z) и f
′
(z) взаимно простые, то f (z) имеет все корни простые и наоборот. Вещественные многочлены. Рассмотрим теперь многочлен с вещественными коэффициентами (z) = a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a и пусть этот многочлен имеет комплексный корень z = a+bi (b 6= кратности k, те + Bi 6= Заменим теперь в выражении f (a+bi) ив производных все величины сопряженными. При этой замене коэффициенты a s
, как числа вещественные, останутся прежними и лишь (a + bi) перейдет в
189]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
579
(a−bi), те. многочлен f(z) останется прежним, но вместо z = a+bi в него будет подставлено z = a − bi. После замены комплексных чисел сопряженными, как известно [173], и общий результат, т. е.
значение многочлена, переходит в сопряженное. Таким образом получим A − Bi 6= те. если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень z = a + bi(b 6= 0) кратности k, то он должен иметь и сопряженный корень z = a − bi той же крат- ности.
Итак, комплексные корни многочлена f (z) с вещественными коэффициентами распределяются по парам сопряженных корней. Положим, что переменная z принимает лишь вещественные значения,
и обозначим ее буквою x. Согласно формуле (3)
f (x) = a
0
(x − z
1
)(x − z
2
) . . . (x − z Если среди корней n будут комплексные, то соответствующие им множители также будут комплексными. Перемножив попарно множители, соответствующие паре сопряженных корней, получим − (a + bi)][x − (a − bi)] = [(x − a) − bi][(x − a) + bi] =
= (x − a)
2
+ b
2
= x
2
+ px + где p = −2a, q = a
2
+ b
2
(b 6= Таким образом, пара комплексных сопряженных корней дает вещественный множитель второй степени, и мы можем высказать следующее положение многочлен с вещественными коэффициентами разлагается на вещественные множители первой и второй сте- пени.
Разложение это имеет следующий вид
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[190
f (x) = a
0
(x − x
1
)
k
1
(x − x
2
)
k
2
. . . (x − x r
)
k r
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
×
× (x
2
+ p
2
x + q
2
)
l
2
. . . (x
2
+ p t
x + q t
)
l t
. (где x
1
, x
2
, . . . , x r
— вещественные корни f (x) кратности k
1
, k
2
, . . . ,
k и множители второй степени происходят от пар комплексных сопряженных корней кратности l
1
, l
2
, . . . , l t
190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Пусть, как и раньше, z
1
, z
2
, . . . , z суть корни уравнения a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= Согласно формуле (3), будем иметь тождество n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z Применяя в правой части известную из элементарной алгебры формулу для перемножения биномов, отличающихся вторыми членами,
можем привести написанное тождество к виду a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n
=
= a
0
z n
− S
1
z n−1
+ S
2
z n−2
+ . . . + (−1)
k
S
k z
n−k
+ . . . + (где S
k обозначает сумму всевозможных произведений из чисел z s
(s = 1, 2, . . . , n) по k множителей в каждом. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим −
a
1
a
0
, S
2
=
a
2
a
0
, . . . , S
k
= (−1)
k a
k a
0
, . . . , S
n
= (−1)
n a
n или в раскрытом виде z
1
+ z
2
+ . . . + z n
= −
a
1
a
0
,
z
1
z
2
+ z
2
z
3
+ . . . + z n−1
z n
=
a
2
a
0
,
z
1
z
2
. . . z n
= (−1)
n a
n a
0
(12)
[190
f (x) = a
0
(x − x
1
)
k
1
(x − x
2
)
k
2
. . . (x − x r
)
k r
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
×
× (x
2
+ p
2
x + q
2
)
l
2
. . . (x
2
+ p t
x + q t
)
l t
. (где x
1
, x
2
, . . . , x r
— вещественные корни f (x) кратности k
1
, k
2
, . . . ,
k и множители второй степени происходят от пар комплексных сопряженных корней кратности l
1
, l
2
, . . . , l t
190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Пусть, как и раньше, z
1
, z
2
, . . . , z суть корни уравнения a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= Согласно формуле (3), будем иметь тождество n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a n−1
z + a n
= a
0
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z Применяя в правой части известную из элементарной алгебры формулу для перемножения биномов, отличающихся вторыми членами,
можем привести написанное тождество к виду a
0
z n
+ a
1
z n−1
+ . . . + a k
z n−k
+ . . . + a n
=
= a
0
z n
− S
1
z n−1
+ S
2
z n−2
+ . . . + (−1)
k
S
k z
n−k
+ . . . + (где S
k обозначает сумму всевозможных произведений из чисел z s
(s = 1, 2, . . . , n) по k множителей в каждом. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим −
a
1
a
0
, S
2
=
a
2
a
0
, . . . , S
k
= (−1)
k a
k a
0
, . . . , S
n
= (−1)
n a
n или в раскрытом виде z
1
+ z
2
+ . . . + z n
= −
a
1
a
0
,
z
1
z
2
+ z
2
z
3
+ . . . + z n−1
z n
=
a
2
a
0
,
z
1
z
2
. . . z n
= (−1)
n a
n a
0
(12)
191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Формулы эти являются обобщением известных свойств корней квадратного уравнения на случай уравнения любой степени. Они дают, между прочим, возможность составить уравнение, когда известны его корни. Уравнение третьей степени.
Мы не будем подробно заниматься вопросом о фактическом вычислении корней алгебраических уравнений. Вопрос этот излагается в учебниках по приближенным вычислениям. Мы остановимся лишь на случае уравнения третьей степени и укажем также некоторые методы вычисления, которые будут полезны ив дальнейшем.
Начнем с исследования уравнения третьей степени y
3
+ a
1
y
2
+ a
2
y + a
3
= Вместо y введем новую неизвестную x, полагая y = x + Подставив это в левую часть уравнения (13), получим уравнение x
3
+ (3α + a
1
)x
2
+ (3α
2
+ 2a
1
α + a
2
)x + (α
3
+ a
1
α
2
+ a
2
α + a
3
) = Если положим α = −
a
1 3
, то член с пропадает, и, следовательно, подстановка преобразует уравнение (13) к виду f (x) = x
3
+ px + q = не содержащему члена с Если p и q — вещественны, то уравнение (14) может иметь или все три вещественных корня, или один вещественный и два мнимых сопряженных корня [189]. Чтобы решить, какой из этих случае имеет место,
составим первую производную левой части уравнения f
′
(x) = 3x
2
+ Если p > 0, то f
′
(x) > 0, и f (x) все время возрастает и будет иметь лишь один вещественный корень, ибо при переходе от x =
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[191
−∞ к x = +∞ функция f(x) меняет знак (–) на (+). Положим теперь, что p < 0. Функция f (x), как нетрудно видеть, будет иметь максимум при x = и минимум при x =
p
−
p
3
. Подставляя эти значения x в выражение функции f (x), получим для максимального и минимального значений этой функции, соответственно, выражения Если оба эти значения одного знака, те или q
2 4
+
p
3 27
> 0,
(15 то уравнение имеет только один вещественный корень, который заключается в промежутке, или в промежутке
+
p
−
p
3
,
+∞).
Если же упомянутое выше максимальное значение f (x) имеет знака минимальное (—), те то f (−∞), f −
p
−
p
3
, f +
p
−
p
3
, f (+∞) будут иметь соответственно знаки (—), (+), (—), (+), и уравнение (14) будет иметь три вещественных корня. Заметим, кроме того, что при p > 0, наверно,
выполнено условие (15 1
). Предоставляем читателю показать, что в случае q
2 4
+
p
3 27
= 0
(15 уравнение (14) имеет кратный корень и корень p
, причем мы считаем p 6= 0, и из (15 3
) следует p < 0. При p = 0 и q 6= 0 мы имеем неравенство (15 1
), и уравнение (14) принимает вид x
3
+ q = 0, те, откуда следует, что уравнение (14) имеет один вещественный корень [175]. При p = q = 0 уравнение (14) будет x
3
= 0 и имеет корень x = 0 третьей кратности.
Полученные результаты собраны в следующей таблице
191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
583
x
3
+ px + q = 0
q
2 4
+
p
3 Один вещественный и два мнимых сопряженных корня q
2 4
+
p
3 Три вещественных различных корня q
2 4
+
p
3 27
= Три вещественных корня, среди которых есть кратный
Рис. На рис. 182 изображен график функции y = x
3
+ px + q при различных предположениях относительно 27
В
случае
(15 3
) двойному корню соответствует точка касания кривой с осью Выведем теперь формулу, выражающую корни уравнения (14) через его коэффициенты. Формула эта для практических вычислений не годится, ив следующем номере мы, пользуясь тригонометрическими функциями, извлечем из нее практически удобный способ вычисления корней.
Вместо неизвестных x введем две новые неизвестные u и v, полагая x = u + Подставим в уравнение (14)
(u + v)
3
+ p(u + v) + q = 0,
u
3
+ v
3
+ (u + v)(3uv + p) + q = Неизвестные u и v подчиним условию + p = и тогда уравнение (17) дает нам u
3
+ v
3
= −q.
192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и пусть
3
√
R
1
и
3
√
R
2
— какие-либо значения корней, удовлетворяющие указанному выше условию. Умножая их на ε и ε
2
, получим все тризна- чения корня Принимая во внимание, что ε
3
= 1, получим следующее выражение для корней уравнения (14), считая p и q — любыми комплексными ε
3
√
R
1
+ ε
2 3
√
R
2
,
x
3
= ε
2 3
√
R
1
+ ε
3
√
R
2
(21)
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
Положим, что коэффициенты p и q уравнения (14) — числа вещественные. Формула Кардана, как мы уже упоминали, неудобна для вычисления корней, и мы выведем более практичные формулы. Рассмотрим отдельно четыре случая 4
+
p
3 27
< Из написанного следует, что p < 0. Подкоренные выражения ив формуле (20) будут комплексными, но, несмотря на это, все три корня уравнения будут, как известно, вещественными [191]. Положим q
2 4
+
p
3 27
= −
q
2
± i r
−
q
2 4
−
p
3 27
= r(cos ϕ ± i sin откуда [171]
r =
r
−
p
3 27
,
cos ϕ = Согласно формуле Кардана, имеем x =
3
√
r
cos
ϕ + 2kπ
3
+ i sin
ϕ + 2kπ
3
+
+
3
√
r
cos
ϕ + 2kπ
3
− i sin
ϕ + 2kπ
3
(k = 0, 1, Принимая в обоих слагаемых равные значения для k, получим для произведения этих слагаемых положительное число −
p
3
. Окончательно будем иметь x = 2 3
√
rcos
ϕ + 2kπ
3
(k = 0, 1, где r и ϕ определяются по формуле (22), причем нетрудно показать, что если мы возьмем различные ϕ, удовлетворяющие второму из уравнений, то получим одинаковый набор корней по формуле (23).
[191
−∞ к x = +∞ функция f(x) меняет знак (–) на (+). Положим теперь, что p < 0. Функция f (x), как нетрудно видеть, будет иметь максимум при x = и минимум при x =
p
−
p
3
. Подставляя эти значения x в выражение функции f (x), получим для максимального и минимального значений этой функции, соответственно, выражения Если оба эти значения одного знака, те или q
2 4
+
p
3 27
> 0,
(15 то уравнение имеет только один вещественный корень, который заключается в промежутке, или в промежутке
+
p
−
p
3
,
+∞).
Если же упомянутое выше максимальное значение f (x) имеет знака минимальное (—), те то f (−∞), f −
p
−
p
3
, f +
p
−
p
3
, f (+∞) будут иметь соответственно знаки (—), (+), (—), (+), и уравнение (14) будет иметь три вещественных корня. Заметим, кроме того, что при p > 0, наверно,
выполнено условие (15 1
). Предоставляем читателю показать, что в случае q
2 4
+
p
3 27
= 0
(15 уравнение (14) имеет кратный корень и корень p
, причем мы считаем p 6= 0, и из (15 3
) следует p < 0. При p = 0 и q 6= 0 мы имеем неравенство (15 1
), и уравнение (14) принимает вид x
3
+ q = 0, те, откуда следует, что уравнение (14) имеет один вещественный корень [175]. При p = q = 0 уравнение (14) будет x
3
= 0 и имеет корень x = 0 третьей кратности.
Полученные результаты собраны в следующей таблице
191]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . .
583
x
3
+ px + q = 0
q
2 4
+
p
3 Один вещественный и два мнимых сопряженных корня q
2 4
+
p
3 Три вещественных различных корня q
2 4
+
p
3 27
= Три вещественных корня, среди которых есть кратный
Рис. На рис. 182 изображен график функции y = x
3
+ px + q при различных предположениях относительно 27
В
случае
(15 3
) двойному корню соответствует точка касания кривой с осью Выведем теперь формулу, выражающую корни уравнения (14) через его коэффициенты. Формула эта для практических вычислений не годится, ив следующем номере мы, пользуясь тригонометрическими функциями, извлечем из нее практически удобный способ вычисления корней.
Вместо неизвестных x введем две новые неизвестные u и v, полагая x = u + Подставим в уравнение (14)
(u + v)
3
+ p(u + v) + q = 0,
u
3
+ v
3
+ (u + v)(3uv + p) + q = Неизвестные u и v подчиним условию + p = и тогда уравнение (17) дает нам u
3
+ v
3
= −q.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Таким образом, вопрос привелся к решению двух уравнений = −
p
3
,
u
3
+ v
3
= Возводя обе части первого из уравнений в куб, имеем u
3
v
3
= −
p
3 27
,
u
3
+ v
3
= и, следовательно, и суть корни квадратного уравнения z
2
+ qz −
p
3 27
= те Окончательно, согласно формуле (16), найдем x =
3
s
−
q
2
+
r q
2 4
+
p
3 27
+
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 Эта формула для решения кубического уравнения (14) носит название формулы Кардана — итальянского математика XVI столетия.
Обозначим для краткости через и выражения, стоящие под знаком кубических корней в формуле (20):
x Каждый из кубических корней имеет три различных значения так что написанная формула даст, вообще говоря, девять различных значений, и только три из них будут корнями уравнения (14). Посторонние значения x получились вследствие того, что мы возводили первое из уравнений (18) в третью степень. Для нас могут подойти лишь те значения, для коих u и v связаны первым из соотношений (18), те. в формуле (20) мы должны брать только те значения корней кубических,
произведение которых равно Обозначим буквою ε одно из значений кубического корня из единицы = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
= −
1 2
+
√
3 2
i,
ε
2
= cos
4π
3
+ i sin
4π
3
= −
1 2
−
√
3 2
i,
p
3
,
u
3
+ v
3
= Возводя обе части первого из уравнений в куб, имеем u
3
v
3
= −
p
3 27
,
u
3
+ v
3
= и, следовательно, и суть корни квадратного уравнения z
2
+ qz −
p
3 27
= те Окончательно, согласно формуле (16), найдем x =
3
s
−
q
2
+
r q
2 4
+
p
3 27
+
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 Эта формула для решения кубического уравнения (14) носит название формулы Кардана — итальянского математика XVI столетия.
Обозначим для краткости через и выражения, стоящие под знаком кубических корней в формуле (20):
x Каждый из кубических корней имеет три различных значения так что написанная формула даст, вообще говоря, девять различных значений, и только три из них будут корнями уравнения (14). Посторонние значения x получились вследствие того, что мы возводили первое из уравнений (18) в третью степень. Для нас могут подойти лишь те значения, для коих u и v связаны первым из соотношений (18), те. в формуле (20) мы должны брать только те значения корней кубических,
произведение которых равно Обозначим буквою ε одно из значений кубического корня из единицы = cos
2π
3
+ i sin
2π
3
= −
1 2
+
√
3 2
i,
ε
2
= cos
4π
3
+ i sin
4π
3
= −
1 2
−
√
3 2
i,
192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и пусть
3
√
R
1
и
3
√
R
2
— какие-либо значения корней, удовлетворяющие указанному выше условию. Умножая их на ε и ε
2
, получим все тризна- чения корня Принимая во внимание, что ε
3
= 1, получим следующее выражение для корней уравнения (14), считая p и q — любыми комплексными ε
3
√
R
1
+ ε
2 3
√
R
2
,
x
3
= ε
2 3
√
R
1
+ ε
3
√
R
2
(21)
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
Положим, что коэффициенты p и q уравнения (14) — числа вещественные. Формула Кардана, как мы уже упоминали, неудобна для вычисления корней, и мы выведем более практичные формулы. Рассмотрим отдельно четыре случая 4
+
p
3 27
< Из написанного следует, что p < 0. Подкоренные выражения ив формуле (20) будут комплексными, но, несмотря на это, все три корня уравнения будут, как известно, вещественными [191]. Положим q
2 4
+
p
3 27
= −
q
2
± i r
−
q
2 4
−
p
3 27
= r(cos ϕ ± i sin откуда [171]
r =
r
−
p
3 27
,
cos ϕ = Согласно формуле Кардана, имеем x =
3
√
r
cos
ϕ + 2kπ
3
+ i sin
ϕ + 2kπ
3
+
+
3
√
r
cos
ϕ + 2kπ
3
− i sin
ϕ + 2kπ
3
(k = 0, 1, Принимая в обоих слагаемых равные значения для k, получим для произведения этих слагаемых положительное число −
p
3
. Окончательно будем иметь x = 2 3
√
rcos
ϕ + 2kπ
3
(k = 0, 1, где r и ϕ определяются по формуле (22), причем нетрудно показать, что если мы возьмем различные ϕ, удовлетворяющие второму из уравнений, то получим одинаковый набор корней по формуле (23).
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[192
II.
q
2 4
+
p
3 27
> и p < Уравнение (14) имеет один вещественный корень и два комплексных сопряженных, причем из написанного следует, что −
p
3 27
<
q
2 4
. Введем вспомогательный угол ω, полагая r
−
p
3 27
=
q
2
sin ω
(24 Это даст нам q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
+
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
−
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r ибо, в силу (24 1
),
r
−
p
3
=
3
r q
2
sin Вводя, наконец, угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(24 получим следующее выражение для вещественного корня −
r
−
p
3
( tg ϕ + ctg ϕ) = −
2
p
−
p
3
sin 2ϕ
(25 Предлагаем читателю, пользуясь формулой (21), показать, что мнимые корни будут иметь выражения 2ϕ
± i
√
−p ctg 2ϕ.
(25 2
)
III.
q
2 4
+
p
3 27
> и p > В этом случае, как ив предыдущем, уравнение (14) будет иметь один вещественный корень и два мнимых сопряженных. При этом q
p
3 может
192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . быть и меньше и больше, чем q
2
, и мы вместо формулы (24 1
) введем угол следующим образом p
3 27
=
q
2
tg ω
(26 Это дает q
2 4
+
p
3 27
=
3
s q sin
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q cos
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r
− Вводя новый угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(26 окончательно будем иметь x
1
=
r p
3
( tg ϕ − ctg ϕ) = −2
r p
3
ctg 2ϕ.
(27 Мнимые корни будут r
p
3
ctg 2ϕ ±
i√p sin 2ϕ
(27 2
)
IV.
q
2 4
+
p
3 27
= Уравнение (14) имеет кратный корень, ив этом случае, как ив случае p = 0, решение уравнения не представляет никаких затруднений.
Пользуясь выведенными тригонометрическими формулами, можно при помощи таблицы логарифмов вычислить корни кубического уравнения с большой степенью точности.
П р им ер Полагая x = y − 3, приведем уравнение к виду y
3
− 4y − 1 = и это уравнение имеет три вещественных корня [191]. Формулы (22) дают cos ϕ, и, находя самый угол ϕ, определяем корни по формулам (23):
193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . причем f
1
(x) таково, что уравнение f
1
(x) = m при любом вещественном m имеет один вещественный корень, который легко вычислить с большой степенью точности. Вычисление корня уравнения) при помощи метода итерации состоит в следующем подставляя приближенное значение искомого корня в правую часть уравнения, определяем второе приближение к искомому корню из уравнения f
1
(x) = Подставляя в правую часть (29) для следующего приближения x
2
, решаем уравнение f
1
(x) = f
2
(x
1
) и т. д. Таким образом определится последовательность значений x
0
,
x
1
,
x
2
,
. . . ,
x n
, . . . причем f
1
(x
1
) = f
2
(x
0
),
f
1
(x
2
) = f
2
(x
1
), . . . ,
f
1
(x n
) = f
2
(x n−1
), . . Нетрудно указать геометрический смысл полученных приближений.
Искомый корень есть абсцисса точки пересечения кривых y = f
1
(x)
(32 и y = f
2
(x).
(32 На рис. 183 и 184 изображены обе эти кривые, причем в случае рис. 183 производные f
′
1
(x) и f
′
2
(x) имеют в точке пересечения одинаковые знаки, а в случае рис. 184 — разные знаки, ив обоих случаях < Равенствам (31) соответствует следующее построение проводим прямую, параллельную оси OY , до пересечения ее в точке (x
0
, с кривой (32 2
); через эту точку пересечения проводим прямую y = параллельную оси OX, до пересечения ее в точке (x
1
, y
0
) с кривой (32 через точку (x
1
, y
0
) проводим опять прямую x = x
1
, параллельную оси , до пересечения ее с кривой (32 2
) в точке (x
1
, y
1
); через эту последнюю точку проводим прямую y = до пересечения ее с кривой (32 1
) в
[192
II.
q
2 4
+
p
3 27
> и p < Уравнение (14) имеет один вещественный корень и два комплексных сопряженных, причем из написанного следует, что −
p
3 27
<
q
2 4
. Введем вспомогательный угол ω, полагая r
−
p
3 27
=
q
2
sin ω
(24 Это даст нам q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
+
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q
2
−
q
2
cos ω = −
r
−
p
3 3
r ибо, в силу (24 1
),
r
−
p
3
=
3
r q
2
sin Вводя, наконец, угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(24 получим следующее выражение для вещественного корня −
r
−
p
3
( tg ϕ + ctg ϕ) = −
2
p
−
p
3
sin 2ϕ
(25 Предлагаем читателю, пользуясь формулой (21), показать, что мнимые корни будут иметь выражения 2ϕ
± i
√
−p ctg 2ϕ.
(25 2
)
III.
q
2 4
+
p
3 27
> и p > В этом случае, как ив предыдущем, уравнение (14) будет иметь один вещественный корень и два мнимых сопряженных. При этом q
p
3 может
192]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . быть и меньше и больше, чем q
2
, и мы вместо формулы (24 1
) введем угол следующим образом p
3 27
=
q
2
tg ω
(26 Это дает q
2 4
+
p
3 27
=
3
s q sin
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r tg
ω
2
,
3
s
−
q
2
−
r q
2 4
+
p
3 27
=
3
r
−
q cos
2 ω
2
cos ω
=
r p
3 3
r
− Вводя новый угол ϕ по формуле tg ϕ =
3
r tg
ω
2
,
(26 окончательно будем иметь x
1
=
r p
3
( tg ϕ − ctg ϕ) = −2
r p
3
ctg 2ϕ.
(27 Мнимые корни будут r
p
3
ctg 2ϕ ±
i√p sin 2ϕ
(27 2
)
IV.
q
2 4
+
p
3 27
= Уравнение (14) имеет кратный корень, ив этом случае, как ив случае p = 0, решение уравнения не представляет никаких затруднений.
Пользуясь выведенными тригонометрическими формулами, можно при помощи таблицы логарифмов вычислить корни кубического уравнения с большой степенью точности.
П р им ер Полагая x = y − 3, приведем уравнение к виду y
3
− 4y − 1 = и это уравнение имеет три вещественных корня [191]. Формулы (22) дают cos ϕ, и, находя самый угол ϕ, определяем корни по формулам (23):
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[193
cos ϕ =
√
27 16
,
l g
cos ϕ = 1, 51156
ϕ
= 71
◦
2
′
56
′′
ϕ
3
= 23
◦
40
′
59
′′
,
ϕ+360
◦
3
= 143
◦
40
′
59
′′
;
ϕ+720
◦
3
= 263
◦
40
′
59
′′
lg
4
√
3
= 0, 36350
lg y
1
= 0, 32529,
lg(−y
2
) = 0, 26970,
lg(−y
3
) = 1, 40501
y
1
= 2, 1149,
y
2
= −1, 8608,
y
3
= −0, 2541
x
1
= −0, 8851,
x
2
= −4, 8608,
x
3
= −3, Пример Определяем угол ω по формуле (24 1
) и угол ϕ — по формуле (24 2
) и затем вычисляем корни по формулами 2ϕ
= 1, 11395
lg
√
−p ctg 2ϕ = 1, 97602,
√
−p ctg 2ϕ = 0, 94628
x
1
= −2, 2790,
x
2
,
x
3
= 1, 1395 ± 0, 94628i
193. Способ итерации.
Во многих случаях, имея приближенное значение искомого корня ξ с небольшим числом десятичных знаков,
удобно улучшать это приближенное значение корня. Одним из способов такого исправления приближенного значения корня является способ итерации, или способ последовательных приближений. Этот способ, как выяснится из дальнейшего, годится не только для алгебраического, но и для трансцендентных уравнений.
Положим, что уравнение f (x) = мы переписали в виде f
1
(x) = f
2
(x),
(29)
[193
cos ϕ =
√
27 16
,
l g
cos ϕ = 1, 51156
ϕ
= 71
◦
2
′
56
′′
ϕ
3
= 23
◦
40
′
59
′′
,
ϕ+360
◦
3
= 143
◦
40
′
59
′′
;
ϕ+720
◦
3
= 263
◦
40
′
59
′′
lg
4
√
3
= 0, 36350
lg y
1
= 0, 32529,
lg(−y
2
) = 0, 26970,
lg(−y
3
) = 1, 40501
y
1
= 2, 1149,
y
2
= −1, 8608,
y
3
= −0, 2541
x
1
= −0, 8851,
x
2
= −4, 8608,
x
3
= −3, Пример Определяем угол ω по формуле (24 1
) и угол ϕ — по формуле (24 2
) и затем вычисляем корни по формулами 2ϕ
= 1, 11395
lg
√
−p ctg 2ϕ = 1, 97602,
√
−p ctg 2ϕ = 0, 94628
x
1
= −2, 2790,
x
2
,
x
3
= 1, 1395 ± 0, 94628i
193. Способ итерации.
Во многих случаях, имея приближенное значение искомого корня ξ с небольшим числом десятичных знаков,
удобно улучшать это приближенное значение корня. Одним из способов такого исправления приближенного значения корня является способ итерации, или способ последовательных приближений. Этот способ, как выяснится из дальнейшего, годится не только для алгебраического, но и для трансцендентных уравнений.
Положим, что уравнение f (x) = мы переписали в виде f
1
(x) = f
2
(x),
(29)
193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . причем f
1
(x) таково, что уравнение f
1
(x) = m при любом вещественном m имеет один вещественный корень, который легко вычислить с большой степенью точности. Вычисление корня уравнения) при помощи метода итерации состоит в следующем подставляя приближенное значение искомого корня в правую часть уравнения, определяем второе приближение к искомому корню из уравнения f
1
(x) = Подставляя в правую часть (29) для следующего приближения x
2
, решаем уравнение f
1
(x) = f
2
(x
1
) и т. д. Таким образом определится последовательность значений x
0
,
x
1
,
x
2
,
. . . ,
x n
, . . . причем f
1
(x
1
) = f
2
(x
0
),
f
1
(x
2
) = f
2
(x
1
), . . . ,
f
1
(x n
) = f
2
(x n−1
), . . Нетрудно указать геометрический смысл полученных приближений.
Искомый корень есть абсцисса точки пересечения кривых y = f
1
(x)
(32 и y = f
2
(x).
(32 На рис. 183 и 184 изображены обе эти кривые, причем в случае рис. 183 производные f
′
1
(x) и f
′
2
(x) имеют в точке пересечения одинаковые знаки, а в случае рис. 184 — разные знаки, ив обоих случаях < Равенствам (31) соответствует следующее построение проводим прямую, параллельную оси OY , до пересечения ее в точке (x
0
, с кривой (32 2
); через эту точку пересечения проводим прямую y = параллельную оси OX, до пересечения ее в точке (x
1
, y
0
) с кривой (32 через точку (x
1
, y
0
) проводим опять прямую x = x
1
, параллельную оси , до пересечения ее с кривой (32 2
) в точке (x
1
, y
1
); через эту последнюю точку проводим прямую y = до пересечения ее с кривой (32 1
) в
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . точке (x
2
, y
1
) и т. д. Абсциссы точек пересечения и дают нам последовательность (Если первое приближение взято достаточно близко кто эта последовательность, как видно из чертежа, стремится к ξ, как к пределу,
причем в случае, когда f
′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) одинаковых знаков, получается ступенчатая ломаная линия, стремящаяся к ξ (черта если f
2
, y
1
) и т. д. Абсциссы точек пересечения и дают нам последовательность (Если первое приближение взято достаточно близко кто эта последовательность, как видно из чертежа, стремится к ξ, как к пределу,
причем в случае, когда f
′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) одинаковых знаков, получается ступенчатая ломаная линия, стремящаяся к ξ (черта если f
′
1
(ξ) и f
′
2
(ξ) разных знаков, то эта ломаная линия стремится к ξ, имея форму спирали (черт. 184). Мы не будем приводить условий и строгого доказательства того, что последовательность (30) стремится к ξ как к пределу.
Во многих случаях это можно непосредственно обнаружить из чертежа.
Рис. Рис. Особенно удобен для приложения указанный способ в том случае,
когда уравнение (29) имеет вид x = Пусть ξ есть корень этого уравнения, приближенное значение которого x
0
= ξ + h нам известно. Ряд последовательных приближений будет x
1
= f
2
(x
0
),
x
2
= f
2
(x
1
),
. . . ,
x n
= f
2
(x Можно показать, что действительно x n
→ ξ при n → ∞, если функция) имеет производную f
′
2
(x), которая удовлетворяет условию 6 q < 1
193]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . в промежутке − h 6 x 6 ξ + Пример. Рассмотрим уравнение x
5
− x − 0, 2 = Рис. Его вещественные корни суть абсциссы точек пересечения линий
(рис. 185)
y = x
5
,
(34 1
)
y = x + 0, 2,
(34 и, как видно из рис. 185, уравнение) имеет один положительный и два отрицательных корня.
В точках пересечения A и соответствующих положительному корню и большему по абсолютному значению отрицательному корню, угловой коэффициент прямой 2
) меньше по абсолютному значению, чем угловой коэффициент касательной к кривой (34 1
), те. при вычислении этих корней методом итерации уравнение (33) надо представить в виде x
5
= x + 0, Принимая за первое приближение при вычислении положительного корня x
0
= 1, получим таблицу (I).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2 1,2
x
1
= 1, 037 1,237
x
2
= 1, 0434 1,2434
x
3
= 1, 0445 1,2445
x
4
= 1, 04472
(I)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Значение дает искомый корень с точностью до четвертого знака.
При вычислении отрицательного корня, большего по абсолютному значению, примем за первое приближение x
0
= −1 и получаем таблицу (II).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2
—0,8
x
1
= −0, 956
—0,756
x
2
= −0, 9456
—0,7456
x
3
= −0, 9430
—0,7430
x
4
= −0, 9423
—0,7423
x
5
= −0, 94214
—0,74214
x
6
= −0, В точке C, которой соответствует отрицательный корень, меньший по абсолютному значению, угловой коэффициент касательной к кривой 1
) по абсолютному значению меньше единицы, и потому при применении метода итерации уравнение (33) надо представить в виде x = x
5
− 0, Принимая за первое приближение x
0
= 0, получим таблицу (III).
x
5
n
− 0, 2
x
5
n
—0
x
1
= −0, 2
—0,00032
x
2
= −0, Во всех трех случаях приближение к корню происходило по ступенчатой линии, как это изображено на рис. 183, в чем нетрудно убедиться из рис. 185, и во всех трех случаях приближения x стремятся при увеличении к искомому корню, изменяясь монотонно.
П р им ер. Основные свойства целых многочленов. . Рис. Корни этого уравнения суть абсциссы точек пересечения линий (рис. 186)
y = x,
y = tg и, как видно из рис. уравнение имеет по одному корню в каждом из промежутков. Для положительных корней будет иметь место приближенное равенство (2n + где буквою α
n мы обозначаем й положительный корень уравнения (Вычислим корень α
1
, близкий к. Для применения метода итерации перепишем уравнение (35) в виде x = arctg x и примем за первое приближение При вычислении последовательности приближений x
n
= arctg x надо всегда брать значение арктангенса, содержащееся в третьей четверти. Пользуясь таблицами логарифмов и выражая дуги в радианном измерении, получим x
0
= 4, 7124,
x
1
= 4, 5033,
x
2
= 4, 4938,
x
3
= 4, 4935.
194. Способ Ньютона.
Процесс итерации, указанный на рис. 183 и, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации
195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и, вообще n
= x n−1
−
f (x n−1
)
f
′
(x n−1
)
,
n = 1, 2, 3 . . То обстоятельство, что x действительно являются приближениями к корню ξ, мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для того случая, когда f (x) монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке, другими словами, когда f
′
(x) и f
′′
(x) сохраняют знак в этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательстве этого мы останавливаться не будем.
Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу x
0
, а к концу x
′
0
, тоне получили бы приближения к корню, как это показывает проведенная пунктиром касательная. В случае рис. 188 кривая обращена вогнутостью в сторону положительных ординат, те, и способ
Ньютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где f (x) > 0. Из рис. 187 вытекает, что при f
′′
(x) < 0 способ Ньютона надо применять к тому концу, где ордината f (x) < 0. Мы приходим, таким образом, к следующему правилу если f
′
(x) ив промежутке (x
′
0
, x
0
) не обращаются в нуль, а ординаты f (x
′
0
) и f (x
0
) разных знаков, то, применяя способ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки f (x) и совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке (x
′
0
, x
0
).
195. Способ простого интерполирования.
Укажем еще один способ приближенного вычисления корня. Через концы N и P дуги кривой
Рис. проведем прямую. Абсцисса следа B этой прямой на оси абсцисс и даст приближенное значение корня (рис. 189). Пусть, как и раньше, и x
0
— абсциссы концов промежутка. Уравнение прямой N P будет − f(x
0
)
f (x
′
0
) − f(x
0
)
=
X − x
0
x
′
0
− Полагая Y = 0, найдем выражение абсциссы точки B:
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − или x
′
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
(39)
При вычислении отрицательного корня, большего по абсолютному значению, примем за первое приближение x
0
= −1 и получаем таблицу (II).
5
√
x n
+ 0, 2
x n
+ 0, 2
—0,8
x
1
= −0, 956
—0,756
x
2
= −0, 9456
—0,7456
x
3
= −0, 9430
—0,7430
x
4
= −0, 9423
—0,7423
x
5
= −0, 94214
—0,74214
x
6
= −0, В точке C, которой соответствует отрицательный корень, меньший по абсолютному значению, угловой коэффициент касательной к кривой 1
) по абсолютному значению меньше единицы, и потому при применении метода итерации уравнение (33) надо представить в виде x = x
5
− 0, Принимая за первое приближение x
0
= 0, получим таблицу (III).
x
5
n
− 0, 2
x
5
n
—0
x
1
= −0, 2
—0,00032
x
2
= −0, Во всех трех случаях приближение к корню происходило по ступенчатой линии, как это изображено на рис. 183, в чем нетрудно убедиться из рис. 185, и во всех трех случаях приближения x стремятся при увеличении к искомому корню, изменяясь монотонно.
П р им ер. Основные свойства целых многочленов. . Рис. Корни этого уравнения суть абсциссы точек пересечения линий (рис. 186)
y = x,
y = tg и, как видно из рис. уравнение имеет по одному корню в каждом из промежутков. Для положительных корней будет иметь место приближенное равенство (2n + где буквою α
n мы обозначаем й положительный корень уравнения (Вычислим корень α
1
, близкий к. Для применения метода итерации перепишем уравнение (35) в виде x = arctg x и примем за первое приближение При вычислении последовательности приближений x
n
= arctg x надо всегда брать значение арктангенса, содержащееся в третьей четверти. Пользуясь таблицами логарифмов и выражая дуги в радианном измерении, получим x
0
= 4, 7124,
x
1
= 4, 5033,
x
2
= 4, 4938,
x
3
= 4, 4935.
194. Способ Ньютона.
Процесс итерации, указанный на рис. 183 и, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . для которых применяются и прямые, наклонные к координатным осям.
Одним из таких способов является способ Ньютона.
Рис. Рис. Пусть и x
0
— приближенные значения корня ξ уравнения f (x) = и положим, что в промежутке (x
′
0
, x
0
) это уравнение имеет один только корень ξ. На рис. 187 и 188 изображен график кривой y = f (Абсциссы точек N и P суть приближенные значения и корня который является абсциссой точки A. В точке P проведена касательная к кривой, и из точки пересечения этой касательной с осью абсцисс проведена ордината Q
1
Q кривой в точке Q проведена касательная
QR
1
к кривой и из точки проведена ордината R
1
R кривой и т. д.
Точки P
1
, Q
1
, R
1
, . . . , как видно из чертежа, стремятся к точке так что их абсциссы x
0
, x
1
, x
2
, . . . являются последовательными приближениями для корня ξ. Выведем формулу, выражающую x через x Уравнение касательной P будет − f(x
0
) = f
′
(x
0
)(X − Подставляя Y = 0, найдем абсциссу точки Q
1
:
x
1
= x
0
−
f (x
0
)
f
′
(x
0
)
,
(37)
Одним из таких способов является способ Ньютона.
Рис. Рис. Пусть и x
0
— приближенные значения корня ξ уравнения f (x) = и положим, что в промежутке (x
′
0
, x
0
) это уравнение имеет один только корень ξ. На рис. 187 и 188 изображен график кривой y = f (Абсциссы точек N и P суть приближенные значения и корня который является абсциссой точки A. В точке P проведена касательная к кривой, и из точки пересечения этой касательной с осью абсцисс проведена ордината Q
1
Q кривой в точке Q проведена касательная
QR
1
к кривой и из точки проведена ордината R
1
R кривой и т. д.
Точки P
1
, Q
1
, R
1
, . . . , как видно из чертежа, стремятся к точке так что их абсциссы x
0
, x
1
, x
2
, . . . являются последовательными приближениями для корня ξ. Выведем формулу, выражающую x через x Уравнение касательной P будет − f(x
0
) = f
′
(x
0
)(X − Подставляя Y = 0, найдем абсциссу точки Q
1
:
x
1
= x
0
−
f (x
0
)
f
′
(x
0
)
,
(37)
195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . и, вообще n
= x n−1
−
f (x n−1
)
f
′
(x n−1
)
,
n = 1, 2, 3 . . То обстоятельство, что x действительно являются приближениями к корню ξ, мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для того случая, когда f (x) монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке, другими словами, когда f
′
(x) и f
′′
(x) сохраняют знак в этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательстве этого мы останавливаться не будем.
Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу x
0
, а к концу x
′
0
, тоне получили бы приближения к корню, как это показывает проведенная пунктиром касательная. В случае рис. 188 кривая обращена вогнутостью в сторону положительных ординат, те, и способ
Ньютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где f (x) > 0. Из рис. 187 вытекает, что при f
′′
(x) < 0 способ Ньютона надо применять к тому концу, где ордината f (x) < 0. Мы приходим, таким образом, к следующему правилу если f
′
(x) ив промежутке (x
′
0
, x
0
) не обращаются в нуль, а ординаты f (x
′
0
) и f (x
0
) разных знаков, то, применяя способ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки f (x) и совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке (x
′
0
, x
0
).
195. Способ простого интерполирования.
Укажем еще один способ приближенного вычисления корня. Через концы N и P дуги кривой
Рис. проведем прямую. Абсцисса следа B этой прямой на оси абсцисс и даст приближенное значение корня (рис. 189). Пусть, как и раньше, и x
0
— абсциссы концов промежутка. Уравнение прямой N P будет − f(x
0
)
f (x
′
0
) − f(x
0
)
=
X − x
0
x
′
0
− Полагая Y = 0, найдем выражение абсциссы точки B:
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − или x
′
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
(39)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . или x
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
0
)
f (x
0
) − Замена участка кривой отрезком прямой, проходящей через конечные точки кривой, равносильна замене функции f (x) в исследуемом промежутке многочленом первой степени, имеющим те же конечные значения,
что и f (x), или, что тоже равносильно предположению, что в указанном промежутке изменения f (x) пропорциональны изменениям x. Этот прием, называемый обычно простым интерполированием, применяется, например, при пользовании таблицами логарифмов (partes Указанный нами прием вычисления корня называется также иногда правилом ложного положения (regula Если применять одновременно как способ простого интерполирования, таки способ Ньютона, получается возможность оба предела и приблизить к корню Положим, например, что на конце знаки f (x) и f
′′
(x) совпадают,
Рис. так что способ Ньютона надо применять именно к этому концу.
Применяя оба способа, получим два новых приближенных значения
(рис. 190):
x
′
1
=
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
x
1
= x
0
−
f (К приближенным значениями можно опять применить те же формулы и получим новые значения x
′
2
=
x
′
1
f (x
1
) − x
1
f (x
′
1
)
f (x
1
) − f(x
′
1
)
,
x
2
= x
1
−
f (Таким образом получим два ряда значений x
′
0
, x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n и, x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . приближающихся к корню ξ слева и справа
195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Если у значений x
′
n и x совпадают несколько первых десятичных знаков, то у корня ξ, который заключается между x
′
n и x n
, должны быть те же самые десятичные знаки.
П р им ер. Уравнение f (x) = x
5
− x − 0, 2 = которое мы рассматривали в примере 1 [193], имеет один положительный корень в промежутке 1 < x < 1, 1, ив этом промежутке f
′
(x) = 5x
4
− 1 и f
′′
(x) = знака не меняют. Таким образом, мы можем положить x
′
0
= 1;
x
0
= 1, Вычисляем значения функции f (x):
f (1) = −0, 2,
f (1, 1) = 0, откуда видно, что на правом конце (x
0
= 1, 1), f (x) и f
′′
(x) имеют одни и тот же знаки, следовательно, способ Ньютона надо применять именно к правому концу. Предварительно вычисляем значение f
′
(x) на правом конце, 1) = 6, Согласно формулами, будем иметь x
′
1
= 1 +
0, 1 · 0, 2 0, 51051
= 1, 039,
x
1
= 1, 1 −
0, 31051 6, 3205
= 1, Для следующего приближения вычисляем (1, 039) = −0, 0282,
f (1, 051) = 0, 0313,
f
′
(1, 051) = 5, откуда x
′
2
= 1, 039 +
0, 012 · 0, 0282 0, 0595
= 1, 04469,
x
2
= 1, 051 −
0, 0313 5, 1005
= 1, что дает значение корня с точностью до двух единиц в четвертом знаке, 04469 < ξ < 1, 04487.
196]
§ 19. Интегрирование функции
599
и определим постоянную A так, чтобы числитель дроби, стоящей в правой части написанного равенства, делился на (x − a) [184]:
ϕ(a) − Af
1
(a) = откуда =
ϕ(a)
f
1
(a)
(f
1
(a) 6= При таком выборе A только что упомянутую дробь можно сократить на (x−a), и мы придем таким образом к тождеству (2). Оно показывает, что, выделяя слагаемое вида, которое и называется простейшей дробью, мы можем понизить показатель степени множителя (x − a), входящего в знаменатель по крайней мерена единицу.
Положим, что знаменатель разлагается на множители f (x) = (x − a
1
)
k
1
(x − a
2
)
k
2
. . . (x − a m
)
k Постоянный множитель мы не пишем, так как он может быть отнесен к числителю. Применяя последовательно указанное выше правило выделения простейшей дроби, получим разложение правильной рациональной дробина простейшие (x)
=
A
(1)
k
1
(x − a
1
)
k
1
+
A
(1)
k
1
−1
(x − a
1
)
k
1
−1
+ . . . +
A
(1)
1
x − a
1
+
+
A
(2)
k
2
(x − a
2
)
k
2
+
A
(2)
k
2
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
+ . . . +
a
(2)
1
x − a
2
+
+
A
(m)
k m
(x − a m
)
k m
+
A
(m)
k m
−1
(x − a m
)
k m
−1
+ . . . +
a
(m)
1
x − a m
. (Укажем теперь способы определения коэффициентов, входящих в правую часть написанного тождества. Освобождая его от знаменателя, придем к тождественному равенству двух многочленов и
197]
§ 19. Интегрирование функции + N
1
x
2
+ p
1
x + q
1
+
M
2
x + N
2
x
2
+ p
2
x + q
2
+ . . . +
M
s x + N
s x
2
+ p s
x + q s
, (причем впервой строке стоят дроби, соответствующие вещественным корням знаменателя, а во второй — дроби, соответствующие парам комплексных сопряженных корней. Интегрирование рациональной дроби. Интегрирование рациональной дроби в силу формулы (1) приводится к интегрированию многочлена, что даст также многочлен, и к интегрированию правильной рациональной дроби, что мы и будем сейчас рассматривать.
Если знаменатель дроби имеет только простые корни, тов силу формулы (4), все приведется к интегралам двух видов − a dx = A log(x − a) + и x + N
x
2
+ px + q Вспоминая сказанное [92], получим ответ вида x − N
x
2
+ px + q dx = λ log(x
2
+ px + q) + µ arctg
2x + p p
4q − p
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл выразится через логарифмы и арктангенсы.
Рассмотрим теперь тот случай, когда знаменатель правильной рациональной дроби содержит кратные корни. Обратимся к разложению. Мнимые числа, которые могут в нем встретиться, будут играть лишь промежуточную роль в дальнейших вычислениях ив окончательном результате исчезнут.
При интегрировании простейших дробей, знаменатель которых выше первой степени, мы получим также рациональную дробь i
−s
(x − a i
)
k i
−s dx =
A
(i)
k i
−s
(1 − k i
+ s)(x − a i
)
k i
−s−1
+ C
(k i
− s > 1).
0
−
(x
0
− x
′
0
)f (x
0
)
f (x
0
) − Замена участка кривой отрезком прямой, проходящей через конечные точки кривой, равносильна замене функции f (x) в исследуемом промежутке многочленом первой степени, имеющим те же конечные значения,
что и f (x), или, что тоже равносильно предположению, что в указанном промежутке изменения f (x) пропорциональны изменениям x. Этот прием, называемый обычно простым интерполированием, применяется, например, при пользовании таблицами логарифмов (partes Указанный нами прием вычисления корня называется также иногда правилом ложного положения (regula Если применять одновременно как способ простого интерполирования, таки способ Ньютона, получается возможность оба предела и приблизить к корню Положим, например, что на конце знаки f (x) и f
′′
(x) совпадают,
Рис. так что способ Ньютона надо применять именно к этому концу.
Применяя оба способа, получим два новых приближенных значения
(рис. 190):
x
′
1
=
x
′
0
f (x
0
) − x
0
f (x
′
0
)
f (x
0
) − f(x
′
0
)
,
x
1
= x
0
−
f (К приближенным значениями можно опять применить те же формулы и получим новые значения x
′
2
=
x
′
1
f (x
1
) − x
1
f (x
′
1
)
f (x
1
) − f(x
′
1
)
,
x
2
= x
1
−
f (Таким образом получим два ряда значений x
′
0
, x
′
1
, x
′
2
, . . . , x
′
n и, x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . приближающихся к корню ξ слева и справа
195]
§ 18. Основные свойства целых многочленов. . Если у значений x
′
n и x совпадают несколько первых десятичных знаков, то у корня ξ, который заключается между x
′
n и x n
, должны быть те же самые десятичные знаки.
П р им ер. Уравнение f (x) = x
5
− x − 0, 2 = которое мы рассматривали в примере 1 [193], имеет один положительный корень в промежутке 1 < x < 1, 1, ив этом промежутке f
′
(x) = 5x
4
− 1 и f
′′
(x) = знака не меняют. Таким образом, мы можем положить x
′
0
= 1;
x
0
= 1, Вычисляем значения функции f (x):
f (1) = −0, 2,
f (1, 1) = 0, откуда видно, что на правом конце (x
0
= 1, 1), f (x) и f
′′
(x) имеют одни и тот же знаки, следовательно, способ Ньютона надо применять именно к правому концу. Предварительно вычисляем значение f
′
(x) на правом конце, 1) = 6, Согласно формулами, будем иметь x
′
1
= 1 +
0, 1 · 0, 2 0, 51051
= 1, 039,
x
1
= 1, 1 −
0, 31051 6, 3205
= 1, Для следующего приближения вычисляем (1, 039) = −0, 0282,
f (1, 051) = 0, 0313,
f
′
(1, 051) = 5, откуда x
′
2
= 1, 039 +
0, 012 · 0, 0282 0, 0595
= 1, 04469,
x
2
= 1, 051 −
0, 0313 5, 1005
= 1, что дает значение корня с точностью до двух единиц в четвертом знаке, 04469 < ξ < 1, 04487.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[196
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. Разложение рациональной дробина простейшие.
Выше мы указали ряд приемов для вычисления неопределенных интегралов. В настоящем параграфе мы дополним эти указания и придадим им более систематический характер. Первым вопросом будет вопрос об интегрировании рациональной дробите. частного двух многочленов. Прежде чем переходить к решению этого вопроса, мы установим формулу, которая дает представление рациональной дроби в виде суммы некоторых дробей простейшего вида.
Это представление называется разложением рациональной дробина простейшие
Пусть имеется рациональная дробь (x)
f (Если это — дробь неправильная, те. степень числителя не ниже степени знаменателя, то, производя деление, можем выделить целую часть — многочлен Q(x) и представить дробь в виде (x)
f (x)
= Q(x) +
ϕ(x)
f (где (есть уже правильная дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя. Кроме того, мы будем считать эту дробь несократимой, те. будем считать, что числитель и знаменатель взаимно простые Пусть x = a есть корень знаменателя кратности k:
f (x) = (x − a)
k и f
1
(a) 6= Докажем, что дробь можно представить в виде следующей суммы − a)
k f
1
(x)
=
A
(x − a)
k
+
ϕ
1
(x)
(x − где A — некоторая постоянная и второе слагаемое правой части правильная дробь. Составим разность − a)
k f
1
(x)
−
A
(x − a)
k
=
ϕ(x) − Af
1
(x)
(x − a)
k f
1
(x)
[196
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ. Разложение рациональной дробина простейшие.
Выше мы указали ряд приемов для вычисления неопределенных интегралов. В настоящем параграфе мы дополним эти указания и придадим им более систематический характер. Первым вопросом будет вопрос об интегрировании рациональной дробите. частного двух многочленов. Прежде чем переходить к решению этого вопроса, мы установим формулу, которая дает представление рациональной дроби в виде суммы некоторых дробей простейшего вида.
Это представление называется разложением рациональной дробина простейшие
Пусть имеется рациональная дробь (x)
f (Если это — дробь неправильная, те. степень числителя не ниже степени знаменателя, то, производя деление, можем выделить целую часть — многочлен Q(x) и представить дробь в виде (x)
f (x)
= Q(x) +
ϕ(x)
f (где (есть уже правильная дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя. Кроме того, мы будем считать эту дробь несократимой, те. будем считать, что числитель и знаменатель взаимно простые Пусть x = a есть корень знаменателя кратности k:
f (x) = (x − a)
k и f
1
(a) 6= Докажем, что дробь можно представить в виде следующей суммы − a)
k f
1
(x)
=
A
(x − a)
k
+
ϕ
1
(x)
(x − где A — некоторая постоянная и второе слагаемое правой части правильная дробь. Составим разность − a)
k f
1
(x)
−
A
(x − a)
k
=
ϕ(x) − Af
1
(x)
(x − a)
k f
1
(x)
196]
§ 19. Интегрирование функции
599
и определим постоянную A так, чтобы числитель дроби, стоящей в правой части написанного равенства, делился на (x − a) [184]:
ϕ(a) − Af
1
(a) = откуда =
ϕ(a)
f
1
(a)
(f
1
(a) 6= При таком выборе A только что упомянутую дробь можно сократить на (x−a), и мы придем таким образом к тождеству (2). Оно показывает, что, выделяя слагаемое вида, которое и называется простейшей дробью, мы можем понизить показатель степени множителя (x − a), входящего в знаменатель по крайней мерена единицу.
Положим, что знаменатель разлагается на множители f (x) = (x − a
1
)
k
1
(x − a
2
)
k
2
. . . (x − a m
)
k Постоянный множитель мы не пишем, так как он может быть отнесен к числителю. Применяя последовательно указанное выше правило выделения простейшей дроби, получим разложение правильной рациональной дробина простейшие (x)
=
A
(1)
k
1
(x − a
1
)
k
1
+
A
(1)
k
1
−1
(x − a
1
)
k
1
−1
+ . . . +
A
(1)
1
x − a
1
+
+
A
(2)
k
2
(x − a
2
)
k
2
+
A
(2)
k
2
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
+ . . . +
a
(2)
1
x − a
2
+
+
A
(m)
k m
(x − a m
)
k m
+
A
(m)
k m
−1
(x − a m
)
k m
−1
+ . . . +
a
(m)
1
x − a m
. (Укажем теперь способы определения коэффициентов, входящих в правую часть написанного тождества. Освобождая его от знаменателя, придем к тождественному равенству двух многочленов и
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . приравнивая их соответствующие коэффициенты, получим систему уравнений первой степени для определения искомых коэффициентов. Изложенный способ, как мы уже упоминали выше называется способом неопределенных коэффициентов.
Можно поступить и иначе, а именно придавать в упомянутом выше тождественном равенстве многочленов различные частные значения переменной x. Этим способом подстановки можно еще пользоваться и предварительно продифференцировав любое число раз упомянутое тождество.
Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что разложение) единственно, те. что его коэффициенты имеют вполне определенное значение, независящее от способа разложения. В
дальнейшем мы дадим примеры применения указанных выше способов определения неизвестных коэффициентов разложения.
В случае вещественности многочленов ϕ(x) и f (x) правая часть тождества (3) может все-таки содержать мнимые члены, происходящие от мнимых корней знаменателя. Мы приведем другое разложение рациональной дроби, свободное от этого недостатка, но ограничимся при этом лишь тем случаем, когда знаменатель дроби имеет только простые корни, так как в приложениях имеет наибольшее значение именно этот случай.
Паре комплексных сопряженных корней знаменателя x = a ± bi будет соответствовать сумма простейших дробей + Bi x − a − bi
+
A − Bi x − a + Приводя эти дроби к одному знаменателю, получим простейшую дробь вида x + N
x
2
+ px + q
(p = −2a,
q = a
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае вещественная рациональная дробь разложится на вещественные простейшие (x)
=
A
1
x − a
1
+
A
2
x − a
2
+ . . . +
A
r x − a r
+
Можно поступить и иначе, а именно придавать в упомянутом выше тождественном равенстве многочленов различные частные значения переменной x. Этим способом подстановки можно еще пользоваться и предварительно продифференцировав любое число раз упомянутое тождество.
Можно доказать, на чем мы останавливаться не будем, что разложение) единственно, те. что его коэффициенты имеют вполне определенное значение, независящее от способа разложения. В
дальнейшем мы дадим примеры применения указанных выше способов определения неизвестных коэффициентов разложения.
В случае вещественности многочленов ϕ(x) и f (x) правая часть тождества (3) может все-таки содержать мнимые члены, происходящие от мнимых корней знаменателя. Мы приведем другое разложение рациональной дроби, свободное от этого недостатка, но ограничимся при этом лишь тем случаем, когда знаменатель дроби имеет только простые корни, так как в приложениях имеет наибольшее значение именно этот случай.
Паре комплексных сопряженных корней знаменателя x = a ± bi будет соответствовать сумма простейших дробей + Bi x − a − bi
+
A − Bi x − a + Приводя эти дроби к одному знаменателю, получим простейшую дробь вида x + N
x
2
+ px + q
(p = −2a,
q = a
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае вещественная рациональная дробь разложится на вещественные простейшие (x)
=
A
1
x − a
1
+
A
2
x − a
2
+ . . . +
A
r x − a r
+
197]
§ 19. Интегрирование функции + N
1
x
2
+ p
1
x + q
1
+
M
2
x + N
2
x
2
+ p
2
x + q
2
+ . . . +
M
s x + N
s x
2
+ p s
x + q s
, (причем впервой строке стоят дроби, соответствующие вещественным корням знаменателя, а во второй — дроби, соответствующие парам комплексных сопряженных корней. Интегрирование рациональной дроби. Интегрирование рациональной дроби в силу формулы (1) приводится к интегрированию многочлена, что даст также многочлен, и к интегрированию правильной рациональной дроби, что мы и будем сейчас рассматривать.
Если знаменатель дроби имеет только простые корни, тов силу формулы (4), все приведется к интегралам двух видов − a dx = A log(x − a) + и x + N
x
2
+ px + q Вспоминая сказанное [92], получим ответ вида x − N
x
2
+ px + q dx = λ log(x
2
+ px + q) + µ arctg
2x + p p
4q − p
2
+ Таким образом, в рассматриваемом случае интеграл выразится через логарифмы и арктангенсы.
Рассмотрим теперь тот случай, когда знаменатель правильной рациональной дроби содержит кратные корни. Обратимся к разложению. Мнимые числа, которые могут в нем встретиться, будут играть лишь промежуточную роль в дальнейших вычислениях ив окончательном результате исчезнут.
При интегрировании простейших дробей, знаменатель которых выше первой степени, мы получим также рациональную дробь i
−s
(x − a i
)
k i
−s dx =
A
(i)
k i
−s
(1 − k i
+ s)(x − a i
)
k i
−s−1
+ C
(k i
− s > 1).
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Сумма полученных после интегрирования дробей даст алгебраическую часть интеграла, которая по приведении к общему знаменателю будет, очевидно, правильной дробью вида − a
1
)
k
1
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
. . . (x − a m
)
k Числитель ω(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою общий наибольший делитель D(x) знаменателя интегрируемой дроби) и ее первой производной f
′
(x) Сумма остальных непроинтегрированных дробей − a
1
+
A
(2)
1
x − a
1
+ . . . +
A
(m)
1
x − a при приведении к общему знаменателю окажется правильной дробью вида − a
1
)(x − a
2
) . . . (x − a где ω
1
(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою частное) отделения) на D(x). Таким образом, мы получим следующую формулу Остроградского (x)
dx Многочлены D(x) и D
1
(x) мы можем определять и не зная корней. Укажем теперь, как определить коэффициенты многочленов) и ω
1
(x), степени которых мы можем считать на единицу ниже степеней соответствующих знаменателей. Дифференцируя равенство (5), освобождаемся от знаков интеграла. Освобождаясь в полученном таким образом тождестве от знаменателя, будем иметь тождественное равенство двух многочленов и, применяя к нему метод неопределенных коэффициентов или подстановки, сможем определить коэффициенты ω(x) и ω
1
(x).
1
)
k
1
−1
(x − a
2
)
k
2
−1
. . . (x − a m
)
k Числитель ω(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою общий наибольший делитель D(x) знаменателя интегрируемой дроби) и ее первой производной f
′
(x) Сумма остальных непроинтегрированных дробей − a
1
+
A
(2)
1
x − a
1
+ . . . +
A
(m)
1
x − a при приведении к общему знаменателю окажется правильной дробью вида − a
1
)(x − a
2
) . . . (x − a где ω
1
(x) есть многочлен степени по крайней мерена единицу ниже степени знаменателя, а знаменатель представляет собою частное) отделения) на D(x). Таким образом, мы получим следующую формулу Остроградского (x)
dx Многочлены D(x) и D
1
(x) мы можем определять и не зная корней. Укажем теперь, как определить коэффициенты многочленов) и ω
1
(x), степени которых мы можем считать на единицу ниже степеней соответствующих знаменателей. Дифференцируя равенство (5), освобождаемся от знаков интеграла. Освобождаясь в полученном таким образом тождестве от знаменателя, будем иметь тождественное равенство двух многочленов и, применяя к нему метод неопределенных коэффициентов или подстановки, сможем определить коэффициенты ω(x) и ω
1
(x).
1 ... 35 36 37 38 39 40 41 42 43
197]
§ 19. Интегрирование функции
603
Формула Остроградского дает, таким образом, алгебраическую часть интеграла правильной рациональной дроби и тогда, когда корни знаменателя неизвестны. Знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла в правой части равенства (5), содержит только простые корни, и, разлагая эту дробь на простейшие, мы сумеем вычислить этот интеграл, причем, как это мы только что видели,
он выразится через логарифмы и арктангенсы. Для проведения последней операции на надо знать корни Пример. Согласно формуле Остроградского+ 1)
2
=
αx
2
+ βx + γ
x
3
+ 1
+
Z
δx
2
+ εx + η
x
3
+ Дифференцируем пои, освобождаясь от знаменателя, имеем = (2αx + β)(x
3
+ 1) − 3x
2
(αx
2
+ βx + γ) + (δx
2
+ εx + η)(x
3
+ Сравнивая коэффициенты при x
5
, получаем δ = 0, и сравнивая затем коэффициенты при x
2
, получим γ = 0. Подставляя в написанное тождество и сравнивая коэффициенты при остальных степенях,
будем иметь − α = 0,
η − 2β = 0,
2α + ε = 0,
β + η = откуда окончательно = γ = δ = ε = 0,
β =
1 3
,
η =
2 и, следовательно+ 1)
2
=
x
3(x
3
+ 1)
+
2 3
Z
dx x
3
+ Последний интеграл вычисляется разложением дробина простейшие+ 1
=
A
x + 1
+
M x + N
x
2
− x + 1
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Освобождаемся от знаменателя = A(x
2
− x + 1) + (Mx + N)(x + Полагая x = −1, получим A =
1 3
, а затем, сравнивая коэффициенты при и свободные члены = −
1 3
,
N =
2 и, следовательно+ 1
=
1 3(x + 1)
−
x − 2 3(x
2
− x + Окончательно получим x
3
+ 1
=
1 3
Z
dx x + 1
−
1 3
Z
x − 2
x
2
− x + 1
dx =
=
1 3
lg(x + 1) −
1 6
lg(x
2
− x + 1) +
1
√
3
arctg
2x − 1
√
3
+ откуда+ 1)
2
=
x
3(x
3
+ 1)
+
2 9
lg(x + 1) −
1 9
lg(x
2
− x + 1)+
+
2 3
√
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы.
Рассмотрим некоторые другие типы интегралов, которые приводятся к интегралам от рациональной дроби. Интеграл ax + b cx + d
λ
,
ax + b cx + d
µ
, . . где R — рациональная функция своих аргументов, те. частное многочленов от этих аргументов, а λ, µ, . . . — рациональные числа.
Пусть m — общий знаменатель этих дробей. Введем новую переменную. Интегрирование функции
605
При этом, очевидно, x,
dx dt и выражения ax + b cx + d
λ
,
ax + b cx + будут рациональными функциями t, и интеграл (6) приведется к интегралу от рациональной дроби. Биномный дифференциал. К интегралу (6) приводятся в некоторых случаях интегралы от биномных дифференциалов m
(a + bx n
)
p где m, n и p — рациональные числа.
Положим x = t
1
n
:
Z
x m
(a + bx n
)
p dx =
1
n
Z
t m
+1
n
−1
(a + bt)
p Если p или m+1
n есть целое число, то полученный интеграл есть интеграл вида (6). Из очевидного равенства m
+1
n
−1
(a + bt)
p dt =
Z
t m
+1
n
+p−1
a + bt t
p dt следует, что ив том случае, когда m+1
n
+ p — целое число, интеграл) приводится к виду (Существует теорема Чебышева, согласно которой указанные три случая исчерпывают все случаи, интеграл от биномного дифференциала выражается через элементарные функции. Интегралы вида ax
2
+ bx + c)dx. Интегралы вида ax
2
+ bx + где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера.
В случае a > 0 можно пользоваться первой подстановкой Эйлера Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Возвышая обе части этого равенства в квадрат и решая относительно, получим x =
t
2
− c
2t
√
a + откуда видно, что x,
dx dt и+ bx + c будут рациональными функциями от t и, следовательно, интеграл (8) приведется к интегралу от рациональной дроби.
В случае c > 0 можно пользоваться второй подстановкой Эйлера +Предлагаем читателю убедиться в этом.
В случае a < 0 трехчлен (ax
2
+ bx + c) должен иметь вещественные корни и x
2
, ибо в противном случае он имел бы при всех вещественных значениях x знака был бы величиной мнимой. В случае вещественности корней упомянутого трехчлена интеграл (8) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи третьей подстановки Эйлера a(x − x
1
)(x − x
2
) = t(x − в чем и предлагаем убедиться читателю.
Подстановки Эйлера приводят большей частью к сложным выкладкам, а потому мы укажем другой прием вычисления интеграла
(8).
Обозначим для краткости письма =
p ax
2
+ bx + Всякая положительная четная степень y представляет собою многочлен от x, а потому подынтегральную функцию нетрудно привести к виду, y) =
ω
1
(x) + ω
2
(x)y
ω
3
(x) + где ω
s
(x) — многочлен от x. Освобождаясь от иррациональности в знаменателе и совершая элементарные преобразования, можно пре-
2
− x + 1) + (Mx + N)(x + Полагая x = −1, получим A =
1 3
, а затем, сравнивая коэффициенты при и свободные члены = −
1 3
,
N =
2 и, следовательно+ 1
=
1 3(x + 1)
−
x − 2 3(x
2
− x + Окончательно получим x
3
+ 1
=
1 3
Z
dx x + 1
−
1 3
Z
x − 2
x
2
− x + 1
dx =
=
1 3
lg(x + 1) −
1 6
lg(x
2
− x + 1) +
1
√
3
arctg
2x − 1
√
3
+ откуда+ 1)
2
=
x
3(x
3
+ 1)
+
2 9
lg(x + 1) −
1 9
lg(x
2
− x + 1)+
+
2 3
√
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы.
Рассмотрим некоторые другие типы интегралов, которые приводятся к интегралам от рациональной дроби. Интеграл ax + b cx + d
λ
,
ax + b cx + d
µ
, . . где R — рациональная функция своих аргументов, те. частное многочленов от этих аргументов, а λ, µ, . . . — рациональные числа.
Пусть m — общий знаменатель этих дробей. Введем новую переменную. Интегрирование функции
605
При этом, очевидно, x,
dx dt и выражения ax + b cx + d
λ
,
ax + b cx + будут рациональными функциями t, и интеграл (6) приведется к интегралу от рациональной дроби. Биномный дифференциал. К интегралу (6) приводятся в некоторых случаях интегралы от биномных дифференциалов m
(a + bx n
)
p где m, n и p — рациональные числа.
Положим x = t
1
n
:
Z
x m
(a + bx n
)
p dx =
1
n
Z
t m
+1
n
−1
(a + bt)
p Если p или m+1
n есть целое число, то полученный интеграл есть интеграл вида (6). Из очевидного равенства m
+1
n
−1
(a + bt)
p dt =
Z
t m
+1
n
+p−1
a + bt t
p dt следует, что ив том случае, когда m+1
n
+ p — целое число, интеграл) приводится к виду (Существует теорема Чебышева, согласно которой указанные три случая исчерпывают все случаи, интеграл от биномного дифференциала выражается через элементарные функции. Интегралы вида ax
2
+ bx + c)dx. Интегралы вида ax
2
+ bx + где R — рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональной дроби при помощи подстановок Эйлера.
В случае a > 0 можно пользоваться первой подстановкой Эйлера Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Возвышая обе части этого равенства в квадрат и решая относительно, получим x =
t
2
− c
2t
√
a + откуда видно, что x,
dx dt и+ bx + c будут рациональными функциями от t и, следовательно, интеграл (8) приведется к интегралу от рациональной дроби.
В случае c > 0 можно пользоваться второй подстановкой Эйлера +Предлагаем читателю убедиться в этом.
В случае a < 0 трехчлен (ax
2
+ bx + c) должен иметь вещественные корни и x
2
, ибо в противном случае он имел бы при всех вещественных значениях x знака был бы величиной мнимой. В случае вещественности корней упомянутого трехчлена интеграл (8) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи третьей подстановки Эйлера a(x − x
1
)(x − x
2
) = t(x − в чем и предлагаем убедиться читателю.
Подстановки Эйлера приводят большей частью к сложным выкладкам, а потому мы укажем другой прием вычисления интеграла
(8).
Обозначим для краткости письма =
p ax
2
+ bx + Всякая положительная четная степень y представляет собою многочлен от x, а потому подынтегральную функцию нетрудно привести к виду, y) =
ω
1
(x) + ω
2
(x)y
ω
3
(x) + где ω
s
(x) — многочлен от x. Освобождаясь от иррациональности в знаменателе и совершая элементарные преобразования, можно пре-