Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 149
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
28]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции 1. Если слагаемые алгебраической суммы нескольких (определенного числа) переменных имеют пределы, то их сумма имеет предел, и этот предел равен сумме пределов слагаемых.
Рассмотрим алгебраическую сумму x − y + z и положим, что пронумерованные переменные x n
, y и z n
(n = 1, 2, 3, . . . ) имеют пределы a, b и c. В силу этого имеем x
n
= a + α
n
, y n
= b + β
n
, z n
= c + где α
n
, β
n и γ
n
— величины бесконечно малые. Для последовательных значений суммы x − y + z имеем x
n
− y n
+ z n
= (a + α
n
) − (b + β
n
) + (c + γ
n
) =
= (a − b + c) + (α
n
− β
n
+ Первая скобка в правой части есть постоянная, а вторая — бесконечно малая величина [26]. Следовательно [27],
x n
− y n
+ z n
→ a − b + то есть lim(x − y + z) = a − b + c = lim x − lim y + lim z.
2. Если сомножители произведения нескольких переменных имеют пределы, то и произведение имеет предел и этот предел равен произведению пределов сомножителей.
Рассмотрим произведение двух сомножителей xy и положим,
что пронумерованные переменные x n
, y n
(n = 1, 2, 3, . . . ) имеют пределы a и b. В силу этого имеем x
n
= a + a n
, y n
= b + где α
n и β
n
— величины бесконечно малые. Для последовательных значений произведения x n
y имеем x
n y
n
= (a + α
n
)(b + β
n
) = ab + (aβ
n
+ bα
n
+ Сумма, стоящая в правой части в скобках, есть сумма бесконечно малых. Действительно, первые два слагаемые ее суть произведения постоянных a и b на бесконечно малые, а в третьем слагаемом
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[28
первый множитель α
n
→ 0 и потому есть ограниченная величина,
а второй множитель β
n
— бесконечно малая величина. Таким образом, в правой части первое слагаемое ab есть постоянная, авто- рое (скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, x n
y n
→ то есть lim(xy) = ab = lim x · lim y.
3. Если делимое и делитель — переменные величины, имеющие пределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное имеет предел и этот предел равен частному пределов делимого и дели- теля.
Рассмотрим частное x/y и положим, что пронумерованные переменные) имеют пределы a и b, причем b 6= 0. Докажем, что x
n y
n
→
a b
. Для этого достаточно показать, что разность x
n y
n
−
a есть бесконечно малая. По условию x
n
= a + α
n
, y n
= b + где α
n и β
n
— бесконечно малые. Имеем x
n y
n
−
a b
=
a + α
n b + β
n
−
a b
=
1
b(b + β
n
)
(bα
n
− Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множителей ив силу предыдущих двух теорем, стремится к b
2
. Следовательно, начиная с некоторого значения n, знаменатель будет больше b
2 2
(b 6= 0), и дробь
1
(b+β
n
)
будет, начиная с указанного значения, заключаться между нулем и, те. будет величиной ограниченной. Величина (bα
n
− aβ
n
) есть бесконечно малая. Итак, разность есть бесконечно малая. Следовательно n
y n
→
a b
, то есть lim x
y
=
a b
=
lim x lim y
(lim y 6= Отметим некоторые следствия доказанных теорем. Если x стремится к пределу a, то переменная bx k
, где b — постоянная и k целое положительное число, будет стремиться, согласно теореме к пределу ba k
[28
первый множитель α
n
→ 0 и потому есть ограниченная величина,
а второй множитель β
n
— бесконечно малая величина. Таким образом, в правой части первое слагаемое ab есть постоянная, авто- рое (скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, x n
y n
→ то есть lim(xy) = ab = lim x · lim y.
3. Если делимое и делитель — переменные величины, имеющие пределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное имеет предел и этот предел равен частному пределов делимого и дели- теля.
Рассмотрим частное x/y и положим, что пронумерованные переменные) имеют пределы a и b, причем b 6= 0. Докажем, что x
n y
n
→
a b
. Для этого достаточно показать, что разность x
n y
n
−
a есть бесконечно малая. По условию x
n
= a + α
n
, y n
= b + где α
n и β
n
— бесконечно малые. Имеем x
n y
n
−
a b
=
a + α
n b + β
n
−
a b
=
1
b(b + β
n
)
(bα
n
− Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множителей ив силу предыдущих двух теорем, стремится к b
2
. Следовательно, начиная с некоторого значения n, знаменатель будет больше b
2 2
(b 6= 0), и дробь
1
(b+β
n
)
будет, начиная с указанного значения, заключаться между нулем и, те. будет величиной ограниченной. Величина (bα
n
− aβ
n
) есть бесконечно малая. Итак, разность есть бесконечно малая. Следовательно n
y n
→
a b
, то есть lim x
y
=
a b
=
lim x lim y
(lim y 6= Отметим некоторые следствия доказанных теорем. Если x стремится к пределу a, то переменная bx k
, где b — постоянная и k целое положительное число, будет стремиться, согласно теореме к пределу ba k
29]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
79
Рассмотрим многочлен f (x) = a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ · · · + a k
x m−k
+ · · · + a m−1
x + a где коэффициенты a k
— постоянные. Применяя теорему 1 и пользуясь только что сделанным замечанием, можно утверждать, что при стремлении x к a этот многочлен будет стремиться к пределу lim f (x) = f (a) = a
0
a m
+ a
1
a m−1
+ · · · +
+ a k
a m−k
+ · · · + a m−1
a + a Точно также мы можем утверждать, что при указанном изменении рациональная дробь) =
a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ · · · + a m−1
x + a m
b
0
x p
+ b
1
x p−1
+ · · · + b p−1
x + b будет стремиться к пределу lim ϕ(x) = ϕ(a) =
a
0
a m
+ a
1
a m−1
+ · · · + a m−1
a + a m
b
0
a p
+ b
1
a p−1
+ · · · + b p−1
a + b если b
0
a p
+ b
1
a p−1
+ · · · + b p−1
a + b p
6= Все эти утверждения имеют место при любом способе стремления к пределу Вместо многочленов, расположенных по степеням одной переменной, мы могли бы, конечно, рассматривать многочлены, расположенные по степеням нескольких переменных, стремящихся к пределам.
Так, например, для пронумерованных переменных, если lim x n
= a и lim y n
= b, то lim(x
2
n
+ x n
y n
+ y
2
n
) = a
2
+ ab + b
2 29. Величины бесконечно большие. Если переменная величина стремится к пределу, то она, как мы упоминали, очевидно,
ограничена.
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[29
Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограниченных величин.
Как и раньше, вместе с величиной x мы будем рассматривать соответствующую ей точку K, перемещающуюся по оси OX. Пусть эта точка K перемещается так, что какой бы большой отрезок с серединой вначале координат мы ни взяли, точка K при своем последовательном перемещении окажется вне этого отрезка и при дальнейшем перемещении будет оставаться вне его. В этом случае говорят, что x есть величина бесконечно большая, или стремится к бесконечности. Пусть 2M — длина отрезка T
′
T . Принимая во внимание, что длина отрезка OK = |x|, можем высказать следующее определен и е:
Величина x называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если |x|, при последовательном изменении делается и при дальнейшем изменении остается больше любого заданного положительного числа M . Иначе говоря величина x называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия при любом заданном положительном числе M существует такое значение переменной x, что для всех последующих значений соблюдается неравенство |x| > В частности, если бесконечно большая величина x при своем последовательном изменении, начиная с некоторого своего значения,
остается постоянно положительной (точка K справа от точки то говорят, что x стремится к плюс бесконечности (+∞). Если же величина x остается отрицательной (точка K слева от точки O), то говорят, что x стремится к минус бесконечности (Для обозначения бесконечно большой величины употребляют символы lim x = ∞, lim x = +∞, lim x = −∞. Вместо lim x = можно, очевидно писать lim |x| = +Термин бесконечно большой служит лишь для краткого обозначения вышеуказанного характера изменения переменной величины, и здесь, как ив понятии бесконечно малой величины, надо отличать понятие бесконечно большой величины от понятия очень большой величины.
Если, например, величина x принимает последовательно значения, то, очевидно, lim x = +∞. Если ее последовательные значения будут –1, –2, –3, . . . , то lim x = −∞, и, наконец, если эти
30]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
81
значения будут –1, 2, –3, 4, . . . , то мы можем написать lim x = Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающую последовательно значения q, q
2
, . . . , q n
, . . . (q > и пусть M > 1 — любое заданное число. Неравенство q
n
> равносильно следующему и, следовательно если N есть наибольшее целое число, заключающееся в частном log
10
M : log
10
q, то будем иметь q
n
> при условии n > те. рассматриваемая переменная стремится к +Если в последовательности (5) заменим q на (−q), то изменятся лишь знаки при нечетных степенях q, абсолютные же значения членов последовательности останутся прежними и, следовательно, при отрицательных значениях q, по абсолютному значению больших единицы, последовательность (5) стремится к бесконечности.
В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величина стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот предел конечен. Иногда говорят, что переменная величина стремится к бесконечному пределу, обозначая этими словами бесконечно большую величину.
Из предыдущих определений непосредственно вытекает такое следствие если переменная x стремится к нулю, то переменная где m — заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконечности, а если x стремится к бесконечности, то m
x стремится к нулю. Монотонные переменные. При рассмотрении переменной величины мы часто не в состоянии найти ее предел, нонам Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[30
важно знать, что этот предел существует, те. что переменная стремится к пределу. Укажем один важный признак существования предела.
Положим, что переменная величина x постоянно возрастает
(точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнее говоря, никогда не возрастает. В первом случае всякое значение величины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих. Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше всех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняется монотонно.
Соответствующая ей точка K на оси OX будет тогда перемещаться водном направлении — в положительном, если переменная возрастает, ив отрицательном, если она убывает. Непосредственно
Рис. ясно, что могут представиться лишь две возможности или точка K беспредельно удаляется по прямой или −∞), или точка K беспредельно приближается к некоторой определенной точке A (рис. 43), те. переменная x стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известно еще, что величина x ограничена, то первая возможность отпадает,
и можно утверждать, что величина стремится к пределу.
Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеет доказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже.
Указанный признак существования предела обычно формулируют так если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу.
Рассмотрим в качестве примера последовательность u
1
=
x
1
, u
2
=
x
2 2!
, u
3
=
x
3 3!
, . . . , u n
=
x где x есть данное положительное число. Мы имеем u
n
= u n−1
x Символ n! есть сокращенное обозначение произведения 1 · 2 · 3 . . . n и называется факториал n».
31]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
83
При значении n > x дробь x
n будет меньше единицы и u n
< u переменная u n
, начиная с некоторого своего значения, при увеличении будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля. Согласно признаку существования предела, эта переменная будет стремиться к некоторому пределу u. Будем в равенстве (7) беспредельно увеличивать целое число n. В пределе мы получим u = u · 0 или u = то есть lim x→+∞
x n
n!
= Если мы в последовательности (6) заменим x на (−x), то изменится лишь знаку членов с нечетным значком n, и эта последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, те. равенство (справедливо при любом заданном значении x как положительном,
так и отрицательном.
В этом примере мы вычислили предел u, предварительно убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали, то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочному результату. Рассмотрим, например, последовательность u
1
= q, u
2
= q
2
, . . . , u n
= q n
, . . . (q > Имеем, очевидно n
= u Не заботясь о существовании предела u n
, обозначим его буквою Переходя в написанном равенстве к пределу, получим = те и, следовательно = Но это неверно, ибо при q > 1, как известно, lim q n
= +∞ [29].
31. Признак Коши существования предела. Указанный в признак существования предела является лишь достаточным
31]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
85
и n > N . Короче говоря, если значения x становятся сколь угодно близкими кто они становятся сколь угодно близкими и друг к другу.
Рис. Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. Пусть M
s
— точка координатной оси, соответствующая числу x Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию существует такое значение N = N
1
, что s
− x
N
1
| < 1 прите. все точки M
s при s > находятся внутри отрезка A
′
1
A
1
, длина которого равна двум и середина которого есть точка с абсциссой Точно также существует значение N = N
2
, такое, что s
− x
N
2
| <
1 при s > причем можно считать, что N
2
>
N
1
. Из сказанного, следует, что все точки x при s > находятся внутри отрезка I, длина которого равна единице и середина которого есть точка с абсциссой x
N
2
. С другой стороны, все эти точки должны находиться внутри отрезка A
′
1
A
1
, откуда следует, что отрезки I и должны иметь общую часть. Пусть A
′
2
A
2
— эта общая часть. В силу сказанного выше точки M
s при s > должны находиться внутри отрезка
A
′
2
A
2
Точно также существует N = такое, что |x s
− x
N
3
| <
1 при s > N
3
. Аналогично предыдущему, построим отрезок длина которого не превосходит и который принадлежит отрезку, причем все точки M
s прибудут находиться внутри
[29
Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограниченных величин.
Как и раньше, вместе с величиной x мы будем рассматривать соответствующую ей точку K, перемещающуюся по оси OX. Пусть эта точка K перемещается так, что какой бы большой отрезок с серединой вначале координат мы ни взяли, точка K при своем последовательном перемещении окажется вне этого отрезка и при дальнейшем перемещении будет оставаться вне его. В этом случае говорят, что x есть величина бесконечно большая, или стремится к бесконечности. Пусть 2M — длина отрезка T
′
T . Принимая во внимание, что длина отрезка OK = |x|, можем высказать следующее определен и е:
Величина x называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если |x|, при последовательном изменении делается и при дальнейшем изменении остается больше любого заданного положительного числа M . Иначе говоря величина x называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия при любом заданном положительном числе M существует такое значение переменной x, что для всех последующих значений соблюдается неравенство |x| > В частности, если бесконечно большая величина x при своем последовательном изменении, начиная с некоторого своего значения,
остается постоянно положительной (точка K справа от точки то говорят, что x стремится к плюс бесконечности (+∞). Если же величина x остается отрицательной (точка K слева от точки O), то говорят, что x стремится к минус бесконечности (Для обозначения бесконечно большой величины употребляют символы lim x = ∞, lim x = +∞, lim x = −∞. Вместо lim x = можно, очевидно писать lim |x| = +Термин бесконечно большой служит лишь для краткого обозначения вышеуказанного характера изменения переменной величины, и здесь, как ив понятии бесконечно малой величины, надо отличать понятие бесконечно большой величины от понятия очень большой величины.
Если, например, величина x принимает последовательно значения, то, очевидно, lim x = +∞. Если ее последовательные значения будут –1, –2, –3, . . . , то lim x = −∞, и, наконец, если эти
30]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
81
значения будут –1, 2, –3, 4, . . . , то мы можем написать lim x = Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающую последовательно значения q, q
2
, . . . , q n
, . . . (q > и пусть M > 1 — любое заданное число. Неравенство q
n
> равносильно следующему и, следовательно если N есть наибольшее целое число, заключающееся в частном log
10
M : log
10
q, то будем иметь q
n
> при условии n > те. рассматриваемая переменная стремится к +Если в последовательности (5) заменим q на (−q), то изменятся лишь знаки при нечетных степенях q, абсолютные же значения членов последовательности останутся прежними и, следовательно, при отрицательных значениях q, по абсолютному значению больших единицы, последовательность (5) стремится к бесконечности.
В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величина стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот предел конечен. Иногда говорят, что переменная величина стремится к бесконечному пределу, обозначая этими словами бесконечно большую величину.
Из предыдущих определений непосредственно вытекает такое следствие если переменная x стремится к нулю, то переменная где m — заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконечности, а если x стремится к бесконечности, то m
x стремится к нулю. Монотонные переменные. При рассмотрении переменной величины мы часто не в состоянии найти ее предел, нонам Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[30
важно знать, что этот предел существует, те. что переменная стремится к пределу. Укажем один важный признак существования предела.
Положим, что переменная величина x постоянно возрастает
(точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнее говоря, никогда не возрастает. В первом случае всякое значение величины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих. Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше всех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняется монотонно.
Соответствующая ей точка K на оси OX будет тогда перемещаться водном направлении — в положительном, если переменная возрастает, ив отрицательном, если она убывает. Непосредственно
Рис. ясно, что могут представиться лишь две возможности или точка K беспредельно удаляется по прямой или −∞), или точка K беспредельно приближается к некоторой определенной точке A (рис. 43), те. переменная x стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известно еще, что величина x ограничена, то первая возможность отпадает,
и можно утверждать, что величина стремится к пределу.
Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеет доказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже.
Указанный признак существования предела обычно формулируют так если переменная величина ограничена и меняется монотонно, то она стремится к пределу.
Рассмотрим в качестве примера последовательность u
1
=
x
1
, u
2
=
x
2 2!
, u
3
=
x
3 3!
, . . . , u n
=
x где x есть данное положительное число. Мы имеем u
n
= u n−1
x Символ n! есть сокращенное обозначение произведения 1 · 2 · 3 . . . n и называется факториал n».
31]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
83
При значении n > x дробь x
n будет меньше единицы и u n
< u переменная u n
, начиная с некоторого своего значения, при увеличении будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля. Согласно признаку существования предела, эта переменная будет стремиться к некоторому пределу u. Будем в равенстве (7) беспредельно увеличивать целое число n. В пределе мы получим u = u · 0 или u = то есть lim x→+∞
x n
n!
= Если мы в последовательности (6) заменим x на (−x), то изменится лишь знаку членов с нечетным значком n, и эта последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, те. равенство (справедливо при любом заданном значении x как положительном,
так и отрицательном.
В этом примере мы вычислили предел u, предварительно убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали, то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочному результату. Рассмотрим, например, последовательность u
1
= q, u
2
= q
2
, . . . , u n
= q n
, . . . (q > Имеем, очевидно n
= u Не заботясь о существовании предела u n
, обозначим его буквою Переходя в написанном равенстве к пределу, получим = те и, следовательно = Но это неверно, ибо при q > 1, как известно, lim q n
= +∞ [29].
31. Признак Коши существования предела. Указанный в признак существования предела является лишь достаточным
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[31
но не необходимым условием существования предела, ибо, как мы знаем [27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не монотонно.
Французский математик Коши дал необходимое и достаточное условие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем. Если предел известен, то характерным для него является тот факт, что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение разности между пределом и переменной меньше любого заданного положительного ε. Согласно признаку Коши, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы, начиная с некоторого значения переменной, разность между любыми двумя последующими значениями переменной была меньше любого заданного положительного ε. Дадим точную формулировку признака
Коши.
П риз на к Коши. Для того чтобы переменная x имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
при любом заданном положительном числе ε существует такое значение x, что для любых последующих значений и выполняется неравенство |x
′
− x
′′
| < Положим, что мы имеем пронумерованную переменную x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие существования предела у этой последовательности состоит в следующем при любом заданном положительном ε существует такое зависящее от ε), что m
− x n
| < если m и n > Необходимость этого условия доказывается очень просто. Если наша последовательность имеет предел a, то напишем x m
− x n
=
(x m
− a) + (a − x n
), откуда следует m
− x n
| 6 |x m
− a| + |a − x Нов силу определения предела, существует такое N , что |x m
−a| и |a−x n
| <
ε
2
, если m и n > N , и, тем самым, |x m
−x n
| < ε, если m
[31
но не необходимым условием существования предела, ибо, как мы знаем [27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не монотонно.
Французский математик Коши дал необходимое и достаточное условие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем. Если предел известен, то характерным для него является тот факт, что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение разности между пределом и переменной меньше любого заданного положительного ε. Согласно признаку Коши, для существования предела необходимо и достаточно, чтобы, начиная с некоторого значения переменной, разность между любыми двумя последующими значениями переменной была меньше любого заданного положительного ε. Дадим точную формулировку признака
Коши.
П риз на к Коши. Для того чтобы переменная x имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
при любом заданном положительном числе ε существует такое значение x, что для любых последующих значений и выполняется неравенство |x
′
− x
′′
| < Положим, что мы имеем пронумерованную переменную x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие существования предела у этой последовательности состоит в следующем при любом заданном положительном ε существует такое зависящее от ε), что m
− x n
| < если m и n > Необходимость этого условия доказывается очень просто. Если наша последовательность имеет предел a, то напишем x m
− x n
=
(x m
− a) + (a − x n
), откуда следует m
− x n
| 6 |x m
− a| + |a − x Нов силу определения предела, существует такое N , что |x m
−a| и |a−x n
| <
ε
2
, если m и n > N , и, тем самым, |x m
−x n
| < ε, если m
31]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
85
и n > N . Короче говоря, если значения x становятся сколь угодно близкими кто они становятся сколь угодно близкими и друг к другу.
Рис. Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. Пусть M
s
— точка координатной оси, соответствующая числу x Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию существует такое значение N = N
1
, что s
− x
N
1
| < 1 прите. все точки M
s при s > находятся внутри отрезка A
′
1
A
1
, длина которого равна двум и середина которого есть точка с абсциссой Точно также существует значение N = N
2
, такое, что s
− x
N
2
| <
1 при s > причем можно считать, что N
2
>
N
1
. Из сказанного, следует, что все точки x при s > находятся внутри отрезка I, длина которого равна единице и середина которого есть точка с абсциссой x
N
2
. С другой стороны, все эти точки должны находиться внутри отрезка A
′
1
A
1
, откуда следует, что отрезки I и должны иметь общую часть. Пусть A
′
2
A
2
— эта общая часть. В силу сказанного выше точки M
s при s > должны находиться внутри отрезка
A
′
2
A
2
Точно также существует N = такое, что |x s
− x
N
3
| <
1 при s > N
3
. Аналогично предыдущему, построим отрезок длина которого не превосходит и который принадлежит отрезку, причем все точки M
s прибудут находиться внутри
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[31
него. Полагая ε =
1 4
,
1 5
, . . . ,
1
n
, . . . , получим, таким образом, ряд отрезков A
′
n
A
n
, из которых каждый последующий заключается в предыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке и число a, соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величины x, так как из описанного выше построения следует,
что при достаточно большом значении s все точки M
s будут сколь угодно близки к точке В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнение
Кеплера, которое служит для определения положения планеты на своей орбите. Уравнение это имеет вид x = q sin x + где a и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем и единицей, а x — неизвестное. Возьмем любое число и построим последовательность чисел x
[31
него. Полагая ε =
1 4
,
1 5
, . . . ,
1
n
, . . . , получим, таким образом, ряд отрезков A
′
n
A
n
, из которых каждый последующий заключается в предыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке и число a, соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величины x, так как из описанного выше построения следует,
что при достаточно большом значении s все точки M
s будут сколь угодно близки к точке В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнение
Кеплера, которое служит для определения положения планеты на своей орбите. Уравнение это имеет вид x = q sin x + где a и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем и единицей, а x — неизвестное. Возьмем любое число и построим последовательность чисел x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 43
1
= q sin x
0
+ a,
x
2
= q sin x
1
+ a, . . . ,
x n
= q sin x n−1
+ a,
x n+1
= q sin x n
+ a, . . Вычитая из второго из этих равенств почленно первое, получим x
2
− x
1
= q(sin x
1
− sin x
0
) = 2q sin x
1
− x
0 2
cos x
1
+ x
0 Принимая во внимание, что | sin α| 6 |α| и | cos α| 6 1, получим x
1
| 6 2q
|x
1
− x
0
|
2
= q|x
1
− Совершенно также можем получить следующее неравенство x
1
| 6 q|x
2
− или, пользуясь неравенством (10), можем написать x
2
| 6 q
2
|x
1
− Этот факт вообще говоря, требует доказательства, что и будет сделано позже в [], здесь же можно ограничиться геометрической иллюстрацией
31]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
87
Продолжая подобные вычисления, получим при всяком n неравенство Рассмотрим теперь разность x m
− x n
, считая для определенности m > n:
x m
− x n
= x m
− x m−1
+ x m−1
− x m−2
+ x m−2
− x m−3
+ · · · + x n+1
− x Пользуясь неравенством (11) и формулой для суммы членов геометрической прогрессии, будем иметь m
− x n
| 6 |x m
− x m−1
| + |x m−1
− x m−2
|+
+ |x m−2
− x m−3
| + · · · + |x n+1
− x n
| 6 6
(q m−1
+ q m−2
+ q m−3
+ · · · + q n
)|x
1
− x
0
| = q n
1 − q m−n
1 − q
|x
1
− При беспредельном увеличении n множитель q стремится к нулю, множитель |x
1
− x
0
| постоянный дробь m−n
1−q всегда заключается между нулем и 1−q
, те. ограничена, ибо, при m > n, q m−n заключается между нулем и единицей. Таким образом, при беспредельном увеличении и любом m > n разность x m
− x стремится к нулю, и условие (выполнено. Мы можем, согласно условию Коши, утверждать, что существует предел lim x n
= В равенстве x
n+1
= q sin x n
+ a будем беспредельно увеличивать n. Пользуясь тем, что lim sin x n
= sin при lim x n
= ξ как это мы покажем в [34], в пределе получим = q sin ξ + те. предел ξ переменной x есть корень уравнения Кеплера.
При построении последовательности x мы исходили из произвольного числа x
0
. Однако покажем, что уравнение Кеплера не может иметь двух различных корней, откуда следует, что lim x не зависит от выбора и равняется единственному корню уравнения Кеплера.
Положим, что кроме ξ оно имеет еще корень ξ
1
, и покажем, что ξ
1
= По условию, кроме (12) имеем q sin ξ
1
+ a.
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[32
Вычитая из этого равенства почленно равенство (12), получим ξ = q(sin ξ
1
− sin ξ) = 2q sin
ξ
1
− ξ
2
cos
ξ
1
+ откуда ξ| 6 2q sin
ξ
1
− Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и последнее неравенство приводит к следующему ξ| 6 q|ξ
1
− В силу 0 < q < 1 последнее неравенство может иметь место только прите, откуда и следует, что уравнение Кеплера имеет только один корень. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. Пусть имеется функция y = f (x), определяемая на некотором множестве значений, например в некотором промежутке. Используя значения x из указанного множества, мы можем строить различные упорядоченные множества значений переменной x и при этом будем получать соответствующие упорядоченные множества значений переменной. Упорядоченная переменная x является упорядочивающей для f (x). Мы рассмотрим в этом параграфе один важный случай такого процесса.
Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, содержащем точку x = c внутри. Выбирая, достаточно малое положительное, можем считать, что тем самым f (x) определена на промежутке c − k 6 x 6 c + k. Рассмотрим три случая упорядо- чивания значений x: x → c − 0, x → c + 0; x → c ± 0 — и соответствующую этим случаям упорядоченную переменную f (x). Пусть в первом случае эта переменная имеет предел. Обозначим его буквою. В этом случае пишут x→c−0
f (x) = Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела
(обозначим его буквою A
2
), пишут x→c+0
f (x) = A
2
(14)
[32
Вычитая из этого равенства почленно равенство (12), получим ξ = q(sin ξ
1
− sin ξ) = 2q sin
ξ
1
− ξ
2
cos
ξ
1
+ откуда ξ| 6 2q sin
ξ
1
− Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и последнее неравенство приводит к следующему ξ| 6 q|ξ
1
− В силу 0 < q < 1 последнее неравенство может иметь место только прите, откуда и следует, что уравнение Кеплера имеет только один корень. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. Пусть имеется функция y = f (x), определяемая на некотором множестве значений, например в некотором промежутке. Используя значения x из указанного множества, мы можем строить различные упорядоченные множества значений переменной x и при этом будем получать соответствующие упорядоченные множества значений переменной. Упорядоченная переменная x является упорядочивающей для f (x). Мы рассмотрим в этом параграфе один важный случай такого процесса.
Пусть функция f (x) определена на некотором промежутке, содержащем точку x = c внутри. Выбирая, достаточно малое положительное, можем считать, что тем самым f (x) определена на промежутке c − k 6 x 6 c + k. Рассмотрим три случая упорядо- чивания значений x: x → c − 0, x → c + 0; x → c ± 0 — и соответствующую этим случаям упорядоченную переменную f (x). Пусть в первом случае эта переменная имеет предел. Обозначим его буквою. В этом случае пишут x→c−0
f (x) = Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела
(обозначим его буквою A
2
), пишут x→c+0
f (x) = A
2
(14)
32]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
89
Часто пределы (13) и (14) обозначают символами f (c−0) итак что lim x→c−0
f (x) = f (c − 0),
lim x→c+0
f (x) = f (c + Отметим, что это — пределы f (x) при стремлении x к c слева и справа. В третьем случае x стремится к c с двух сторон и существование предела lim x→c±0
f (x) = равносильно, очевидно, следующему существуют пределы (13) и, и они равны (A
1
= A
2
). При этом B = A
1
= Не следует смешивать символы f (c − 0) ист. е. со значением f (x) при x = c. Выше мы совершенно не пользовались этим значением, и при предыдущих рассуждениях f (x) может быть и не определена при x = c. Если функция определена при x = c и f (c − 0) = f(c + 0) = f(c), те (то говорят, что функция непрерывна при x = c (в точке c). Пользуясь определением предела для x и f (x), легко указать условия, равносильные существованиям пределов (13), (14) и (15). Существование предела (13) равносильно, очевидно, тому, что f (x) становится сколь угодно близким к A
1
, когда x достаточно приближается к числу c, оставаясь меньше c. Точнее говоря, (13) равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что) − A
1
| < если < c − x < η.
(13 При этом η зависит от выбора ε. Совершенно аналогично, (14) равносильно следующему при любом заданном положительном числе существует такое положительное число η, что) − A
2
| < если < x − c < η,
(14 и (15) равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что) − B| < если − c| < η.
(15 1
)
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[32
Отметим еще следующий очевидный факт если существует предел, то f (x) при любом законе стремления упорядоченной переменной к c имеет предел B. Аналогичное замечание имеет место и для пределов (13) и (14) при стремлении x к c слева и справа.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к тем случаям, когда x или f (x) стремятся к бесконечности [29]. Предыдущие определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно,
например, видеть, что lim x→c−0 1
x − c
= −∞,
lim x→c+0 1
x − c
= +∞,
lim x→
π
2
−0
tg x = +∞,
lim x→
π
2
+0
tg x = Положим, что f (x) определена при всех достаточно больших x и что упорядоченная переменная x любым образом стремится к +∞
[29]. При этом f (x) есть также упорядоченная переменная, и может существовать для нее конечный предел lim x→+∞
F (x) = Это равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое число M , что) − A| < если x > M.
(16 В частности, упорядоченность x может состоять в том, что x беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотреть случай x → Если f (x) определена при всех x, достаточно больших по абсолютной величине, и упорядоченное переменное x стремится кто может аналогично предыдущему существовать конечный предел lim x→∞
f (x) = A,
[32
Отметим еще следующий очевидный факт если существует предел, то f (x) при любом законе стремления упорядоченной переменной к c имеет предел B. Аналогичное замечание имеет место и для пределов (13) и (14) при стремлении x к c слева и справа.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к тем случаям, когда x или f (x) стремятся к бесконечности [29]. Предыдущие определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно,
например, видеть, что lim x→c−0 1
x − c
= −∞,
lim x→c+0 1
x − c
= +∞,
lim x→
π
2
−0
tg x = +∞,
lim x→
π
2
+0
tg x = Положим, что f (x) определена при всех достаточно больших x и что упорядоченная переменная x любым образом стремится к +∞
[29]. При этом f (x) есть также упорядоченная переменная, и может существовать для нее конечный предел lim x→+∞
F (x) = Это равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое число M , что) − A| < если x > M.
(16 В частности, упорядоченность x может состоять в том, что x беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотреть случай x → Если f (x) определена при всех x, достаточно больших по абсолютной величине, и упорядоченное переменное x стремится кто может аналогично предыдущему существовать конечный предел lim x→∞
f (x) = A,
32]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
91
что равносильно следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число M , что) − A| < если > В частности, x может стремиться к ∞, принимая все различные значения, достаточно большие по абсолютной величине. Их можно упорядочить также, как это мы делали в [25] для ненумерованной переменной x, удовлетворяющей условию a − k 6 x < a + кроме x = a). Отметим, что для пронумерованной переменной x
1
, x
2
, x
3
, . . . , имеющей предел a, вместо lim x n
= a часто пишут lim n→∞
x n
= a. В этом случае n → ∞ обозначает, что n возрастает,
принимая все целые положительные значения.
Можно говорить и о бесконечных пределах f (x). В частности x→+∞
f (x) = обозначает, что при любом заданном отрицательном числе такое число M , что f (x) < M
1
, если x > M . Аналогично можно определить и другие случаи бесконечного предела.
Нетрудно проверить справедливость следующих равенств x→+∞
x
3
= +∞,
lim x→−∞
x
3
= −∞,
lim x→∞
1
x
= 0,
lim x→∞
x
2
= +∞,
lim x→∞
2x
2
− 1 3x
2
+ x + 1
= lim x→∞
2 −
1
x
2 3 +
1
x
+
1
x
2
=
2 3
,
lim x→∞
3x + 5
x
2
+ 1
= lim x→∞
3
x
+
5
x
2 1 +
1
x
2
= Рассмотрим еще один физический пример. Положим, что мы нагреваем некоторое твердое тело, и пусть его начальная температура. При нагревании температура тела будет повышаться, пока
∗
Подчеркнем, что число можно взять сколь угодно большим по своему абсолютному значению
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[32
не достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура будет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и при превращении жидкости в газообразное состояние. Будем рассматривать количество сообщенного телу тепла как функцию температуры. На рис. 45 изображен график этой функции, причем на горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной — количество поглощенного тепла. Пусть t — температура, при которой тело начинает переходить в жидкое,
состояние, и t
2
— температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное состояние. Очевидно t→t
1
−0
Q = орд. AB и lim t→t
1
+0
Q = орд. Рис. Рис. Величина отрезка BC дает скрытую теплоту плавления, а величина отрезка EF — скрытую теплоту парообразования.
Если пределы f (c − 0) и f(c + 0) существуют и различны, то разность f (c + 0) − f(c − 0) называется разрывом, или скачком,
функции f (x) при x = c (в точке x = c).
[32
не достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура будет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и при превращении жидкости в газообразное состояние. Будем рассматривать количество сообщенного телу тепла как функцию температуры. На рис. 45 изображен график этой функции, причем на горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной — количество поглощенного тепла. Пусть t — температура, при которой тело начинает переходить в жидкое,
состояние, и t
2
— температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное состояние. Очевидно t→t
1
−0
Q = орд. AB и lim t→t
1
+0
Q = орд. Рис. Рис. Величина отрезка BC дает скрытую теплоту плавления, а величина отрезка EF — скрытую теплоту парообразования.
Если пределы f (c − 0) и f(c + 0) существуют и различны, то разность f (c + 0) − f(c − 0) называется разрывом, или скачком,
функции f (x) при x = c (в точке x = c).
33]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
93
Функция y = arctg
1
x−c имеет при x = c скачок π. Только что рассмотренная функция Q(t) имеет в точке плавления t = t
1
скачок,
равный скрытой теплоте плавления.
При определении предела f (x) при стремлении x к c мы считали, что x стремится к c, никогда с ним не совпадая. Эта оговорка существенна, потому что значение f (x) при x = c иногда или не существует, или не имеет ничего общего со значениями f (x) при близких к c. Так, например, функция Q(t) не определена при t = Рассмотрим еще пример для пояснения сказанного. Положим,
что на промежутке (−1, +1) функция определена следующим образом+ при 1 6 x < 0;
y = x − 1 при 0 < x 6 1;
y = при x = На рис. 46 воспроизведен график этой функции, состоящий из двух отрезков прямых, из которых исключены конечные точки (при x = 0), и одной отдельной точки — начала координат. В этом случае lim x→−0
f (x) = 1, lim x→+0
f (x) = −1, f(0) = 0.
33. Примеры. 1. Известно, что при любом x имеет место неравенство и знак равенства имеет место лишь при x = Напомним, что величина x при этом выражается в радианах. Из сказанного следует, что для любого заданного положительного числа мы имеем | sin x| < ε, если |x| < ε, те. Далее, имеем − cos x = 2 sin
2
x
2 6
2
x
2
2
=
x
2 те, откуда следует, что [27]
lim x→±0
cos x = 1.
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 3. Рассмотрим частное y =
sin x Эта функция определена при всех x кроме x = 0, ибо при x = 0 и числитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл.
Исследуем изменение y при x → ±0. При изменении знака x величина не меняется,
∗
так что достаточно предполагать, что x → +Покажем, что y → 1 при x → +0. Тот же предел получится и при x → −0. Отметим, что теорему о пределе частного применить нельзя, ибо и числитель и знаменатель стремятся к нулю при x → +Рис. Будем рассматривать x, как центральный угол в круге радиуса единица (рис. Принимая во внимание, что пл. △ AOB <пл.
сектора AOB < пл. △ AOC, получим 2
sin x <
1 2
x <
1 2
tgx
0 < x откуда, деля на 2
sin x, получим <
x sin x
<
1
cos x или >
sin x x
> cos Но cos x → 1 при x → +0, откуда lim x→+0
sin x x
= ив силу сказанного выше x→±0
sin x x
= 1.
∗ sin x является четной функцией
34]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
95
Определим для данного случая число η, которое входит в условие 1
). Вычитая, из единицы три части неравенства (17), получим < 1 −
sin x x
< 1 − cos x
0 < x откуда следует, что sin x x
− 1
< если 1 − cos x < ε. Но, как мы видели выше, 1 − cos x <
x
2 2
, и достаточно выбрать x
2 2
< ε, те. Итак, в данном случае может играть роль числа η.
34. Непрерывность функции. Приведем еще раз определение непрерывности функции f (x) в точке x = c, если эта функция определена в этой точке и вблизи нее слева и справа.
О пределен и е. Функция f (x), определенная при x = c и всех значениях x, достаточно близких к c, называется непрерывной при x = c (в точке c), если существует предел f (x) при x → c ± и этот предел равен f (c):
lim x→c±0
f (x) = f (Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределы f (c − 0) и f(c + 0) слева и справа и что эти пределы равны между собою и равны f (c), те Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительном число η, что) − f(c)| < ε при |x − c| < Ненужно оговаривать, что x 6= c, ибо f(x)−f(c) = 0 при x = c. Иначе это можно формулировать так f (x) − f(c) → 0 при x − c → Разность x−c есть приращение независимой переменной, а разность f (x) − f(c) — соответствующее приращение функции. Поэтому указанное выше определение непрерывности часто формулируют так
sin x Эта функция определена при всех x кроме x = 0, ибо при x = 0 и числитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл.
Исследуем изменение y при x → ±0. При изменении знака x величина не меняется,
∗
так что достаточно предполагать, что x → +Покажем, что y → 1 при x → +0. Тот же предел получится и при x → −0. Отметим, что теорему о пределе частного применить нельзя, ибо и числитель и знаменатель стремятся к нулю при x → +Рис. Будем рассматривать x, как центральный угол в круге радиуса единица (рис. Принимая во внимание, что пл. △ AOB <пл.
сектора AOB < пл. △ AOC, получим 2
sin x <
1 2
x <
1 2
tgx
0 < x откуда, деля на 2
sin x, получим <
x sin x
<
1
cos x или >
sin x x
> cos Но cos x → 1 при x → +0, откуда lim x→+0
sin x x
= ив силу сказанного выше x→±0
sin x x
= 1.
∗ sin x является четной функцией
34]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
95
Определим для данного случая число η, которое входит в условие 1
). Вычитая, из единицы три части неравенства (17), получим < 1 −
sin x x
< 1 − cos x
0 < x откуда следует, что sin x x
− 1
< если 1 − cos x < ε. Но, как мы видели выше, 1 − cos x <
x
2 2
, и достаточно выбрать x
2 2
< ε, те. Итак, в данном случае может играть роль числа η.
34. Непрерывность функции. Приведем еще раз определение непрерывности функции f (x) в точке x = c, если эта функция определена в этой точке и вблизи нее слева и справа.
О пределен и е. Функция f (x), определенная при x = c и всех значениях x, достаточно близких к c, называется непрерывной при x = c (в точке c), если существует предел f (x) при x → c ± и этот предел равен f (c):
lim x→c±0
f (x) = f (Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределы f (c − 0) и f(c + 0) слева и справа и что эти пределы равны между собою и равны f (c), те Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также следующему при любом заданном положительном числе ε существует такое положительном число η, что) − f(c)| < ε при |x − c| < Ненужно оговаривать, что x 6= c, ибо f(x)−f(c) = 0 при x = c. Иначе это можно формулировать так f (x) − f(c) → 0 при x − c → Разность x−c есть приращение независимой переменной, а разность f (x) − f(c) — соответствующее приращение функции. Поэтому указанное выше определение непрерывности часто формулируют так
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[34
Функция называется непрерывной в точке x = c, если бесконечно малому приращению независимой переменной (от начального значения x = c) соответствует бесконечно малое приращение функции.
Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством, сводится к возможности находить предел функции простой подстановкой вместо независимой переменной ее предела.
Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целый многочлен от x и частное таких многочленов, те. рациональная функция от x, суть функции, непрерывные при любом, значении кроме тех значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается в нуль.
Непрерывной, очевидно, будет и функция y = b, сохраняющая при всяком x одно и тоже значение Все элементарные функции, рассмотренные нами впервой главе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные круговые, непрерывны при всех значениях x, при которых они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются в бесконечность.
Так, например, log
10
x есть непрерывная функция от x при всех положительных значениях x; tg x есть непрерывная функция от x при всех значениях x, кроме значений x = (2k + где k есть любое целое число.
Отметим еще функцию u v
, где u и v суть непрерывные функции от x, причем предполагается, что u не принимает отрицательных значений. Такая функция называется степенно-показатель- ной. Она точно также обладает свойством непрерывности, исключая те значения x, при которых u и v одновременно равны нулю или u = 0 и v < Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарных функций нуждается, конечно, в доказательстве, номы примем это без доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Докажем только непрерывность функции sin x при любом
34]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции = c, пользуясь определением (19). Мы имеем [ср. 31]
sin x − sin c = 2 sin x − c
2
cos x + откуда следует sin x − sin c| = 2
sin x − c
2
cos x + c
2 6 2
sin x − Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и, следовательно sin x − sin c| 6 |x − Чтобы иметь | sin x − sin c| 6 ε, где ε — заданное положительное число, достаточно считать, что |x−c| < ε, те. роль η в определении) может играть число Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная функция тоже относится и к частному двух непрерывных функций за исключением тех значений независимой переменной,
при которых знаменатель обращается в нуль.
Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции и ψ(x) непрерывны при x = a и что ψ(a) 6= 0. Составим функцию f (x) Пользуясь теоремой о пределе частного, получим lim x→a f (x) =
lim x→a
ϕ(x)
lim x→a
ψ(x)
=
ϕ(a)
ψ(a)
= f (что и доказывает непрерывность частного f (x) при x = Отметим один простой пример. Раз y = sin x есть непрерывная функция от x, то y = b sin x, где b — постоянная, также будет непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных функций y = b (см. выше) и y = sin Вернемся теперь еще к функции y =
sin x x
. При x = 0 эта функция неопределенна, номы знаем, что lim x→±0
y = 1. Поэтому, если
[34
Функция называется непрерывной в точке x = c, если бесконечно малому приращению независимой переменной (от начального значения x = c) соответствует бесконечно малое приращение функции.
Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством, сводится к возможности находить предел функции простой подстановкой вместо независимой переменной ее предела.
Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целый многочлен от x и частное таких многочленов, те. рациональная функция от x, суть функции, непрерывные при любом, значении кроме тех значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается в нуль.
Непрерывной, очевидно, будет и функция y = b, сохраняющая при всяком x одно и тоже значение Все элементарные функции, рассмотренные нами впервой главе (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные круговые, непрерывны при всех значениях x, при которых они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются в бесконечность.
Так, например, log
10
x есть непрерывная функция от x при всех положительных значениях x; tg x есть непрерывная функция от x при всех значениях x, кроме значений x = (2k + где k есть любое целое число.
Отметим еще функцию u v
, где u и v суть непрерывные функции от x, причем предполагается, что u не принимает отрицательных значений. Такая функция называется степенно-показатель- ной. Она точно также обладает свойством непрерывности, исключая те значения x, при которых u и v одновременно равны нулю или u = 0 и v < Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарных функций нуждается, конечно, в доказательстве, номы примем это без доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подробнее. Докажем только непрерывность функции sin x при любом
34]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции = c, пользуясь определением (19). Мы имеем [ср. 31]
sin x − sin c = 2 sin x − c
2
cos x + откуда следует sin x − sin c| = 2
sin x − c
2
cos x + c
2 6 2
sin x − Но | sin α| 6 |α| при любом угле α, и, следовательно sin x − sin c| 6 |x − Чтобы иметь | sin x − sin c| 6 ε, где ε — заданное положительное число, достаточно считать, что |x−c| < ε, те. роль η в определении) может играть число Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная функция тоже относится и к частному двух непрерывных функций за исключением тех значений независимой переменной,
при которых знаменатель обращается в нуль.
Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции и ψ(x) непрерывны при x = a и что ψ(a) 6= 0. Составим функцию f (x) Пользуясь теоремой о пределе частного, получим lim x→a f (x) =
lim x→a
ϕ(x)
lim x→a
ψ(x)
=
ϕ(a)
ψ(a)
= f (что и доказывает непрерывность частного f (x) при x = Отметим один простой пример. Раз y = sin x есть непрерывная функция от x, то y = b sin x, где b — постоянная, также будет непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных функций y = b (см. выше) и y = sin Вернемся теперь еще к функции y =
sin x x
. При x = 0 эта функция неопределенна, номы знаем, что lim x→±0
y = 1. Поэтому, если
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[35
мы положим y = 1 при x = 0, то y будет непрерывной функцией в точке x = Подобное нахождение предела функции при стремлении x к ее точке неопределенности называется раскрытием неопределенности, а самый предел, если он существует, называют иногда истинным значением функции в ее упомянутой точке неопределенности.
В дальнейшем мы будем иметь много примеров раскрытия неопре- деленностей.
35. Свойства непрерывных функций. Выше мы определили свойство непрерывности функции при заданном значении x. Положим теперь, что функция определена в конечном промежутке a 6 x 6 b. Если она непрерывна при любом значении x из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке, b). Заметим при этом, что непрерывность функции на концах промежутка x = a и x = b состоит в следующем x→a+0
f (x) = f (a),
lim x→b−0
f (x) = f (Все непрерывные функции обладают следующими свойствами. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то существует в этом промежутке по крайней мере одно такое значение, при котором f (x) принимает свое наибольшее значение и по крайней мере одно такое значение x, при котором функция принимает свое наименьшее значение. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), причем f (a) = m и f (b) = n, и если k — любое число, заключающееся между и n, то существует в промежутке (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором значение f (x) равно k; в частности, если f (a) и f (b) разных значков, то существует внутри промежутка (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором f (x) обращается в нуль.
[35
мы положим y = 1 при x = 0, то y будет непрерывной функцией в точке x = Подобное нахождение предела функции при стремлении x к ее точке неопределенности называется раскрытием неопределенности, а самый предел, если он существует, называют иногда истинным значением функции в ее упомянутой точке неопределенности.
В дальнейшем мы будем иметь много примеров раскрытия неопре- деленностей.
35. Свойства непрерывных функций. Выше мы определили свойство непрерывности функции при заданном значении x. Положим теперь, что функция определена в конечном промежутке a 6 x 6 b. Если она непрерывна при любом значении x из этого промежутка, то говорят, что она непрерывна в промежутке, b). Заметим при этом, что непрерывность функции на концах промежутка x = a и x = b состоит в следующем x→a+0
f (x) = f (a),
lim x→b−0
f (x) = f (Все непрерывные функции обладают следующими свойствами. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то существует в этом промежутке по крайней мере одно такое значение, при котором f (x) принимает свое наибольшее значение и по крайней мере одно такое значение x, при котором функция принимает свое наименьшее значение. Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), причем f (a) = m и f (b) = n, и если k — любое число, заключающееся между и n, то существует в промежутке (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором значение f (x) равно k; в частности, если f (a) и f (b) разных значков, то существует внутри промежутка (a, b) по крайней мере одно такое значение x, при котором f (x) обращается в нуль.
Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую. Это замечание не может, конечно, служить доказательством.
Самое понятие о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда
35]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
99
оказывается чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказательство указанных двух свойств, также как и следующего, третьего, основано на теории иррациональных чисел.
Мы примем эти свойства без доказательства.
В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы теории иррациональных чисел и связь этой теории с теорией пределов и свойствами непрерывных функций. Заметим, что второе свойство непрерывных функций можно еще формулировать так:
при непрерывном изменении x от a до b непрерывная функция f (проходит по крайней мере один раз через все числа, лежащие между) и f (На рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке, b) функции, у которой f (a) < 0 и f (b) > 0. На рис. 48 график один раз пересекает ось OX, и при соответствующем значении x функция f (x) обращается в нуль. В случае рис. 49 таких значений будет не одно, а три.
Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций, которое является менее наглядным, чем два предшествующих.
Рис. Рис. 49 3. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если x = есть некоторое значение x из этого промежутка, тов силу условия (19)
[34] (заменяя c на x
0
) для любого заданного положительного ε существует такое η, зависящее, очевидно, от ε, что) − f(x
0
)| < ε, если |x − x
0
| < η,
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[35
причем мы считаем, конечно, x также принадлежащим промежутку. (Если, например, x
0
= a, то x обязательно больше a, а если x
0
= b, то x < b.) Но число η может зависеть не только от ε, но и оттого, какое именно значение x = из промежутка (a, b) мы рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного ε существует одно и тоже для всех значений из промежутка (a, b). Иными словами, если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то для любого заданного положительного ε существует такое положительное, что) − f(x
′
)| < для любых двух значений и из промежутка (a, b), удовлетворяющих неравенству x
′
| < Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким образом, если функция непрерывна в промежутке (a, b), то она будет равномерно непрерывна в этом промежутке.
∗
Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию f (x) непрерывной не только для всех x, лежащих внутри промежутка (a, но и, для значений x = a и x = Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву на x и на (x + h). При этом x
′′
−x
′
= h представляет собою приращение независимой переменной и f (x + h) − f(x) — соответствующее приращение функции.
Свойство равномерной непрерывности запишется так + h) − f(x)| < если < где x и (x + h) — любые две точки из промежутка (a, Для примера рассмотрим функцию f (x) = Особо подчеркнем, что речь идет именно о замкнутом промежутке. Это утверждение также называется теоремой Кантора
35]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
101
В данном случае мы имеем f (x + h) − f(x) = (x + h)
2
− x
2
= 2xh + При любом заданном значении x выражение (2xh + h
2
), дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается, что взятая функция непрерывна при всяком значении x. Тем самым она будет непрерывна, например, в промежутке −1 6 x 6 2. Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам надо удовлетворить неравенству + h
2
| < соответствующим подбором числа η в неравенстве |h| < η, причем x и + h) должны принадлежать промежутку (–1, 2). Мы имеем + h
2
| 6 |2xh| + h
2
= 2|x||h| + Но наибольшее значение |x| в промежутке (–1, 2) равно двум, и потому мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным + h
2
| 6 4|h| + Будем считать во всяком случае |h| < 1. При этом h
2
< |h|, и мы можем переписать предыдущее неравенство в виде + h
2
| < 4|h| + |h| или |2xh + h
2
| < Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним условию 5|h| < ε. Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствами Следовательно, за число η мы можем взять наименьшее из двух чисел и. При малых ε (а именно примы должны взять η =
ε
5
, и во всяком случае очевидно, что найденное η будет, при заданном ε, одними тем же для всех x из промежутка (–1, Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных функций или функций, непрерывных только внутри промежутка.
Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она, определена на промежутке (–1, +1) и имеет разрыв при x = 0. Среди ее значений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, больших единицы. Таким
[35
причем мы считаем, конечно, x также принадлежащим промежутку. (Если, например, x
0
= a, то x обязательно больше a, а если x
0
= b, то x < b.) Но число η может зависеть не только от ε, но и оттого, какое именно значение x = из промежутка (a, b) мы рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного ε существует одно и тоже для всех значений из промежутка (a, b). Иными словами, если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то для любого заданного положительного ε существует такое положительное, что) − f(x
′
)| < для любых двух значений и из промежутка (a, b), удовлетворяющих неравенству x
′
| < Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким образом, если функция непрерывна в промежутке (a, b), то она будет равномерно непрерывна в этом промежутке.
∗
Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию f (x) непрерывной не только для всех x, лежащих внутри промежутка (a, но и, для значений x = a и x = Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву на x и на (x + h). При этом x
′′
−x
′
= h представляет собою приращение независимой переменной и f (x + h) − f(x) — соответствующее приращение функции.
Свойство равномерной непрерывности запишется так + h) − f(x)| < если < где x и (x + h) — любые две точки из промежутка (a, Для примера рассмотрим функцию f (x) = Особо подчеркнем, что речь идет именно о замкнутом промежутке. Это утверждение также называется теоремой Кантора
35]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
101
В данном случае мы имеем f (x + h) − f(x) = (x + h)
2
− x
2
= 2xh + При любом заданном значении x выражение (2xh + h
2
), дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается, что взятая функция непрерывна при всяком значении x. Тем самым она будет непрерывна, например, в промежутке −1 6 x 6 2. Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам надо удовлетворить неравенству + h
2
| < соответствующим подбором числа η в неравенстве |h| < η, причем x и + h) должны принадлежать промежутку (–1, 2). Мы имеем + h
2
| 6 |2xh| + h
2
= 2|x||h| + Но наибольшее значение |x| в промежутке (–1, 2) равно двум, и потому мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным + h
2
| 6 4|h| + Будем считать во всяком случае |h| < 1. При этом h
2
< |h|, и мы можем переписать предыдущее неравенство в виде + h
2
| < 4|h| + |h| или |2xh + h
2
| < Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним условию 5|h| < ε. Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствами Следовательно, за число η мы можем взять наименьшее из двух чисел и. При малых ε (а именно примы должны взять η =
ε
5
, и во всяком случае очевидно, что найденное η будет, при заданном ε, одними тем же для всех x из промежутка (–1, Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных функций или функций, непрерывных только внутри промежутка.
Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она, определена на промежутке (–1, +1) и имеет разрыв при x = 0. Среди ее значений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, больших единицы. Таким
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[36
образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно также среди этих значений нет и наименьшего. Элементарная функция y = x не принимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке, то она будет достигать своего наименьшего значения при x = и наибольшего при x = 1. Рассмотрим еще функцию f (x) = sin
1
x
, непрерывную в промежутке 0 < x 6 1, открытом слева. При стремлении x к нулю аргумент беспредельно растет, и sin
1
x колеблется между (–1) и) и не имеет предела при x → +0. Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке 0 < x 6 Рассмотрим два значения и x
′′
=
2
(4n+1)π
, где n — целое положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при любом выборе n. Далее, мы имеем (x
′
) = sin nπ = 0, f (x
′′
) = sin
2nπ +
π
2
= Таким образом (x
′′
) − f(x
′
) = и x
′′
− x
′
=
2
(4n + При беспредельном возрастании целого положительного числа n разность стремится к нулю, а разность f (x
′′
) − f(x
′
) остается равной единице. Отсюда видно, что не существует положительного η для промежутка такого, что из (21) следует |f(x
′′
) − f(x
′
)| < 1; это соответствует выбору ε = 1 в формуле (Возьмем функцию f (x) = x sin
1
x
. При x → +0 первый множитель x стремится к нулю, а второй sin
1
x не превышает единицы по абсолютной величине, а потому [32] f (x) → 0 при x → +0. При x = 0 второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив f (0) = 0, те. будем считать f (x) = x sin
1
x при 0 < x 6 1 и f (0) = 0, то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке, 1). Функции sin
1
x и x sin
1
x обладают, очевидно, непрерывностью при любом x, отличном от нуля. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. В дальнейшем буквами α и β мы будем обозначать упорядоченные переменные, которые имеют одну и туже упорядочивающую переменную (значок n или переменную t), так что мы можем производить элементарные действия над этими переменными. Теория пределов. Непрерывные функции
103
Если переменные α и β стремятся к нулю, ток их частному
β
α
теорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительных исследований ничего не можем сказать о существовании предела у этого частного.
Положим, что α и β стремятся к нулю, ноне принимают в процессе изменения значения нуль и что отношение
β
α
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. При этом отношение
α
β
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. В этом случае говорят, что α и β — бесконечно малые одного итого же порядка.
Если предел отношения
β
α
равен нулю, то говорят, что β — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α или что α бесконечно малая низшего порядка по сравнению с β. Если отношение стремится к бесконечности, то
α
β
стремится к нулю, те. будет низшего порядка по сравнению си высшего порядка по сравнению с β. Легко показать, что если α и β бесконечно малые одного итого же порядка и γ бесконечно малая высшего порядка по отношению кто она бесконечно малая высшего порядка и по отношению к β. По условию 0, и отношение
α
β
имеет предел,
конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства
γ
β
=
γ
α
·
α
β
,
в силу теоремы о пределе произведения, непосредственно следует,
что
γ
β
→ 0, что и доказывает наше утверждение.
Отметим важный частный случай бесконечно малых одного итого же порядка. Если 1 при этом и 1
, то бесконечно малые α и β называются эквивалентными. Из равенства 1 непосредственно следует, что эквивалентность α и β равносильна тому, что разность β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к α. Из равенства 1 точно также следует, что эквивалентность равносильна тому, что β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к Если отношение, где k — постоянное положительное число,
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят,
что β бесконечно малая порядка k по сравнению с α. Если где c — число, отличное от нуля, тот. е. β и cα
k
— эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, разность γ = β − cα
k есть бесконечно малые высшего порядка по сравнению с β (или
37]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
105
Если x → 0, то α также стремится к нулю, и, как мы показали x→0
sin x
2
x
2
= lim
α→0
sin α
α
= 1, и, следовательно, lim x→0 1 − cos x x
2
=
1 те. действительно, 1 − cos x бесконечно малая второго порядка по сравнению с Из формулы + x − 1 =
x
√
1 + x + следует + x − 1
x
=
1
√
1 + x + откуда lim x→0
√
1 + x − 1
x
=
1 те и x суть бесконечно малые одного порядка, причем + x − 1 эквивалентна 2
x.
4
. Докажем, что многочлен степени m есть бесконечно большая порядка по сравнению с x. Действительно x→∞
a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ · · · + a m−1
x + a m
x m
=
= lim x→∞
a
0
+
a
1
x
+ · · · +
a m−1
x m−1
+
a m
x m
= Нетрудно видеть, что два многочлена одной и той же степени, при x →
∞, суть бесконечно большие одного итого же порядка. Их отношение имеет пределом отношение их старых коэффициентов. Например x→∞
5x
2
+ x − 3 7x
2
+ 2x + 4
= lim x→∞
5 +
1
x
−
3
x
2 7 +
2
x
+
4
x
2
=
5 Если степени двух многочленов различны, то при x → ∞ тот из них будет бесконечно большой высшего порядка по сравнению с другим, степень которого больше.
∗
Чтобы получить правую часть этого выражения необходимо левую его часть домножить и поделить на + x + 1 и воспользоваться в числителе формулой разности квадратов
38]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
107
того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной,
достаточно доказать, что она ограничена.
Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутых разностей единицей, а все множители, входящие в k!, начиная с, заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мы будем иметь, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии +
1
n
n
< 1 + 1 +
1 2
+
1 2
2
+ · · · +
1 2
k−1
+ · · · +
1 2
n−1
=
= 1 +
1 −
1 2
n
1 −
1 2
= 3 −
1 2
n−1
< те. переменная +
1
n
n ограничена. Обозначим предел этой переменной буквой e:
lim n→+∞
1 +
1
n
n
= e (n— целое положительное).
(23)
Этот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле (целое n может, очевидно, стремиться к +∞ любым образом.
Докажем теперь, что выражение +
1
x
x стремится к тому же пределу e, если x → +∞, принимая любые значения.
Пусть n — наибольшее целое число, заключающееся в x, те+ Число n стремится, очевидно, вместе с x к +∞. Принимая во внимание, что при увеличении положительного основания, большего единицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем написать +
1
n + 1
n
<
1 +
1
x
x
<
1 +Нов силу равенства (23),
lim n→+∞
1 +
1
n + 1
n
= lim n→+∞
1 +
1
n+1
n+1
1 +
1
n+1
=
e
1
= e
38]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
109
Нетрудно теперь найти предел выражения +
k x
x
, где k данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получим где буквою y обозначено частное x
k
, стремящееся к бесконечности одновременно с Выражения вида +
k n
n встречаются в теории так называемых сложных процентов. Предположим, что приращение капитала происходит ежегодно. Если капитал a отдан из p процентов годовых, то по истечении года наращенный капитал будет a(1 + k), где k =
p
100
; по прошествии второго года он будет a(1 + k)
2
, и, вообще,
по прошествии m лет он будет a(1 + Положим теперь, что приращение капитала происходит через часть года. При этом число k уменьшится враз, так как процентная такса p рассчитана на года число промежутков времени увеличится враз, и наращенный капитал через m лет будет a
[36
образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно также среди этих значений нет и наименьшего. Элементарная функция y = x не принимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке, то она будет достигать своего наименьшего значения при x = и наибольшего при x = 1. Рассмотрим еще функцию f (x) = sin
1
x
, непрерывную в промежутке 0 < x 6 1, открытом слева. При стремлении x к нулю аргумент беспредельно растет, и sin
1
x колеблется между (–1) и) и не имеет предела при x → +0. Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке 0 < x 6 Рассмотрим два значения и x
′′
=
2
(4n+1)π
, где n — целое положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при любом выборе n. Далее, мы имеем (x
′
) = sin nπ = 0, f (x
′′
) = sin
2nπ +
π
2
= Таким образом (x
′′
) − f(x
′
) = и x
′′
− x
′
=
2
(4n + При беспредельном возрастании целого положительного числа n разность стремится к нулю, а разность f (x
′′
) − f(x
′
) остается равной единице. Отсюда видно, что не существует положительного η для промежутка такого, что из (21) следует |f(x
′′
) − f(x
′
)| < 1; это соответствует выбору ε = 1 в формуле (Возьмем функцию f (x) = x sin
1
x
. При x → +0 первый множитель x стремится к нулю, а второй sin
1
x не превышает единицы по абсолютной величине, а потому [32] f (x) → 0 при x → +0. При x = 0 второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив f (0) = 0, те. будем считать f (x) = x sin
1
x при 0 < x 6 1 и f (0) = 0, то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке, 1). Функции sin
1
x и x sin
1
x обладают, очевидно, непрерывностью при любом x, отличном от нуля. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. В дальнейшем буквами α и β мы будем обозначать упорядоченные переменные, которые имеют одну и туже упорядочивающую переменную (значок n или переменную t), так что мы можем производить элементарные действия над этими переменными. Теория пределов. Непрерывные функции
103
Если переменные α и β стремятся к нулю, ток их частному
β
α
теорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительных исследований ничего не можем сказать о существовании предела у этого частного.
Положим, что α и β стремятся к нулю, ноне принимают в процессе изменения значения нуль и что отношение
β
α
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. При этом отношение
α
β
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. В этом случае говорят, что α и β — бесконечно малые одного итого же порядка.
Если предел отношения
β
α
равен нулю, то говорят, что β — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α или что α бесконечно малая низшего порядка по сравнению с β. Если отношение стремится к бесконечности, то
α
β
стремится к нулю, те. будет низшего порядка по сравнению си высшего порядка по сравнению с β. Легко показать, что если α и β бесконечно малые одного итого же порядка и γ бесконечно малая высшего порядка по отношению кто она бесконечно малая высшего порядка и по отношению к β. По условию 0, и отношение
α
β
имеет предел,
конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства
γ
β
=
γ
α
·
α
β
,
в силу теоремы о пределе произведения, непосредственно следует,
что
γ
β
→ 0, что и доказывает наше утверждение.
Отметим важный частный случай бесконечно малых одного итого же порядка. Если 1 при этом и 1
, то бесконечно малые α и β называются эквивалентными. Из равенства 1 непосредственно следует, что эквивалентность α и β равносильна тому, что разность β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к α. Из равенства 1 точно также следует, что эквивалентность равносильна тому, что β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к Если отношение, где k — постоянное положительное число,
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят,
что β бесконечно малая порядка k по сравнению с α. Если где c — число, отличное от нуля, тот. е. β и cα
k
— эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, разность γ = β − cα
k есть бесконечно малые высшего порядка по сравнению с β (или
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[37
по сравнению с α
k
). Если принять α за основную бесконечно малую, то равенство β = cα
k
+ γ, где γ — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α
k
, представляет собой выделение из бесконечно малой β бесконечно малого слагаемого простейшего вида по отношению к α), так что остаток γ есть уже бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (или по сравнению с Аналогичным образом производится сравнение бесконечно больших величин u и v. Если v
u стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что u и v бесконечно большие величины одного итого же порядка. Если v
u
→ 0, то u
v
→ ∞. В
этом случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядка по сравнению с u или что u бесконечно большая высшего порядка по сравнению с v. Если v
u
→ 1, то бесконечно большие называются эквивалентными. Если v
u k
, где k — постоянное положительное число, имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят,
что v бесконечно большая го порядка по сравнению с u. Все сказанное выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечно больших.
Отметим еще, что если отношение
β
α
или v
u вовсе не имеет предела, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно большие называются несравнимыми. Примеры.
1.
Выше мы видели, что lim x→0
sin x x
= те и x суть эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно,
разность sin x − x есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к x. Дальше мы увидим, что эта разность эквивалентна −
1 6
x
3
, т. е.
является бесконечно малой третьего порядка по сравнению с Покажем, что разность 1 − cos x есть бесконечно малая второго порядка по отношению к x. Действительно, применяя известную тригонометрическую формулу и элементарные преобразования, получим − cos x x
2
=
2 sin
2 x
2
x
2
=
1 2
sin x
2
x
2
!
2
[37
по сравнению с α
k
). Если принять α за основную бесконечно малую, то равенство β = cα
k
+ γ, где γ — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α
k
, представляет собой выделение из бесконечно малой β бесконечно малого слагаемого простейшего вида по отношению к α), так что остаток γ есть уже бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (или по сравнению с Аналогичным образом производится сравнение бесконечно больших величин u и v. Если v
u стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что u и v бесконечно большие величины одного итого же порядка. Если v
u
→ 0, то u
v
→ ∞. В
этом случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядка по сравнению с u или что u бесконечно большая высшего порядка по сравнению с v. Если v
u
→ 1, то бесконечно большие называются эквивалентными. Если v
u k
, где k — постоянное положительное число, имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят,
что v бесконечно большая го порядка по сравнению с u. Все сказанное выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечно больших.
Отметим еще, что если отношение
β
α
или v
u вовсе не имеет предела, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно большие называются несравнимыми. Примеры.
1.
Выше мы видели, что lim x→0
sin x x
= те и x суть эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно,
разность sin x − x есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к x. Дальше мы увидим, что эта разность эквивалентна −
1 6
x
3
, т. е.
является бесконечно малой третьего порядка по сравнению с Покажем, что разность 1 − cos x есть бесконечно малая второго порядка по отношению к x. Действительно, применяя известную тригонометрическую формулу и элементарные преобразования, получим − cos x x
2
=
2 sin
2 x
2
x
2
=
1 2
sin x
2
x
2
!
2
37]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
105
Если x → 0, то α также стремится к нулю, и, как мы показали x→0
sin x
2
x
2
= lim
α→0
sin α
α
= 1, и, следовательно, lim x→0 1 − cos x x
2
=
1 те. действительно, 1 − cos x бесконечно малая второго порядка по сравнению с Из формулы + x − 1 =
x
√
1 + x + следует + x − 1
x
=
1
√
1 + x + откуда lim x→0
√
1 + x − 1
x
=
1 те и x суть бесконечно малые одного порядка, причем + x − 1 эквивалентна 2
x.
4
. Докажем, что многочлен степени m есть бесконечно большая порядка по сравнению с x. Действительно x→∞
a
0
x m
+ a
1
x m−1
+ · · · + a m−1
x + a m
x m
=
= lim x→∞
a
0
+
a
1
x
+ · · · +
a m−1
x m−1
+
a m
x m
= Нетрудно видеть, что два многочлена одной и той же степени, при x →
∞, суть бесконечно большие одного итого же порядка. Их отношение имеет пределом отношение их старых коэффициентов. Например x→∞
5x
2
+ x − 3 7x
2
+ 2x + 4
= lim x→∞
5 +
1
x
−
3
x
2 7 +
2
x
+
4
x
2
=
5 Если степени двух многочленов различны, то при x → ∞ тот из них будет бесконечно большой высшего порядка по сравнению с другим, степень которого больше.
∗
Чтобы получить правую часть этого выражения необходимо левую его часть домножить и поделить на + x + 1 и воспользоваться в числителе формулой разности квадратов
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 38. Число e. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример переменной величины, а именно рассмотрим переменную, принимающую значения +где n, возрастая, принимает целые положительные значения и стремится, таким образом, к +∞. Применяя формулу бинома Ньютона,
получим
1 +
1
n
n
= 1 +
n
1 1
n
+
n(n − 1)
2!
1
n
2
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
1
n
3
+
+ · · · +
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k!
1
n k
+ · · · +
+
n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1
n!
1
n n
=
= 1 + 1 +
1 2!
1 −
1
n
+
1 3!
1 −
1
n
1 −
2
n
+ · · · +
+
1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
k − 1
n
+ · · · +
+
1
n!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
n − Написанная сумма содержит (n + 1) положительных слагаемых.
При увеличении целого числа n, во-первых, увеличится число слагаемых и, во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увеличится, так как в выражении общего члена 1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
k − 1
n
k остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках,
увеличатся при увеличении n. Таким образом, мы видим, что рассматриваемая переменная при увеличении n увеличивается, и для
2
Произведение
1 −
1
n
1 −
2
n
1 получается из дроби n
(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
n если каждый из k сомножителей, стоящих в числителе, разделить на n, принимая во внимание, что число сомножителей n в знаменателе также равно k.
получим
1 +
1
n
n
= 1 +
n
1 1
n
+
n(n − 1)
2!
1
n
2
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
1
n
3
+
+ · · · +
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
k!
1
n k
+ · · · +
+
n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1
n!
1
n n
=
= 1 + 1 +
1 2!
1 −
1
n
+
1 3!
1 −
1
n
1 −
2
n
+ · · · +
+
1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
k − 1
n
+ · · · +
+
1
n!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
n − Написанная сумма содержит (n + 1) положительных слагаемых.
При увеличении целого числа n, во-первых, увеличится число слагаемых и, во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увеличится, так как в выражении общего члена 1
k!
1 −
1
n
1 −
2
n
1 −
k − 1
n
k остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках,
увеличатся при увеличении n. Таким образом, мы видим, что рассматриваемая переменная при увеличении n увеличивается, и для
2
Произведение
1 −
1
n
1 −
2
n
1 получается из дроби n
(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
n если каждый из k сомножителей, стоящих в числителе, разделить на n, принимая во внимание, что число сомножителей n в знаменателе также равно k.
38]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
107
того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной,
достаточно доказать, что она ограничена.
Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутых разностей единицей, а все множители, входящие в k!, начиная с, заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мы будем иметь, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии +
1
n
n
< 1 + 1 +
1 2
+
1 2
2
+ · · · +
1 2
k−1
+ · · · +
1 2
n−1
=
= 1 +
1 −
1 2
n
1 −
1 2
= 3 −
1 2
n−1
< те. переменная +
1
n
n ограничена. Обозначим предел этой переменной буквой e:
lim n→+∞
1 +
1
n
n
= e (n— целое положительное).
(23)
Этот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле (целое n может, очевидно, стремиться к +∞ любым образом.
Докажем теперь, что выражение +
1
x
x стремится к тому же пределу e, если x → +∞, принимая любые значения.
Пусть n — наибольшее целое число, заключающееся в x, те+ Число n стремится, очевидно, вместе с x к +∞. Принимая во внимание, что при увеличении положительного основания, большего единицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем написать +
1
n + 1
n
<
1 +
1
x
x
<
1 +Нов силу равенства (23),
lim n→+∞
1 +
1
n + 1
n
= lim n→+∞
1 +
1
n+1
n+1
1 +
1
n+1
=
e
1
= e
Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов
[38
и lim n→+∞
1 +
1
n
n+1
= lim n→+∞
h
1 +
1
n
n
1 +
1
n
i
= e · 1 = Таким образом, крайние члены неравенства (24) стремятся к пределу e, а потому к тому же пределу должен стремиться и средний член, те Рассмотрим теперь тот случай, когда x стремится к −∞. Введем вместо x новую переменную y, полагая x = −1 − откуда y = −1 − Из последнего равенства видно, что, при стремлении x к −∞ y стремится к +Совершая в выражении замену переменных и принимая во внимание равенство (25), получим lim x→−∞
1 +
1
x
x
= lim y→+∞
−y
−1 − y
−1−y
= lim y→+∞
1 + y y
1+y
=
= lim y→+∞
h
1 +
1
y
y
1 +
1
y
i
= e · 1 = Если x стремится к ∞, имея любые знаки, те, то из предыдущего следует, что ив этом случае lim x→∞
1 +
1
x
x
= Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числа e с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число иррациональное и с точностью до седьмого десятичного знака оно выражается так e = 2, 7182818 . . .
[38
и lim n→+∞
1 +
1
n
n+1
= lim n→+∞
h
1 +
1
n
n
1 +
1
n
i
= e · 1 = Таким образом, крайние члены неравенства (24) стремятся к пределу e, а потому к тому же пределу должен стремиться и средний член, те Рассмотрим теперь тот случай, когда x стремится к −∞. Введем вместо x новую переменную y, полагая x = −1 − откуда y = −1 − Из последнего равенства видно, что, при стремлении x к −∞ y стремится к +Совершая в выражении замену переменных и принимая во внимание равенство (25), получим lim x→−∞
1 +
1
x
x
= lim y→+∞
−y
−1 − y
−1−y
= lim y→+∞
1 + y y
1+y
=
= lim y→+∞
h
1 +
1
y
y
1 +
1
y
i
= e · 1 = Если x стремится к ∞, имея любые знаки, те, то из предыдущего следует, что ив этом случае lim x→∞
1 +
1
x
x
= Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числа e с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число иррациональное и с точностью до седьмого десятичного знака оно выражается так e = 2, 7182818 . . .
38]
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции
109
Нетрудно теперь найти предел выражения +
k x
x
, где k данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получим где буквою y обозначено частное x
k
, стремящееся к бесконечности одновременно с Выражения вида +
k n
n встречаются в теории так называемых сложных процентов. Предположим, что приращение капитала происходит ежегодно. Если капитал a отдан из p процентов годовых, то по истечении года наращенный капитал будет a(1 + k), где k =
p
100
; по прошествии второго года он будет a(1 + k)
2
, и, вообще,
по прошествии m лет он будет a(1 + Положим теперь, что приращение капитала происходит через часть года. При этом число k уменьшится враз, так как процентная такса p рассчитана на года число промежутков времени увеличится враз, и наращенный капитал через m лет будет a