Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 145
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2
+ b
2
i и концу число a
1
+b
1
i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов ирис) и, следовательно, ему соответствует комплексное число a
2
) + (b
1
− равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.
Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух ком-
Рис. 170.
плексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим (рис. 170)
|α
1
+ α
2
| 6 |α
1
| + причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы
172]
§ 17. Комплексные числа
529
соответствующие комплексным числами имеют одинаковое направление, те. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π. Доказанное свойство имеет, очевидно, место ив случае любого числа слагаемых+ α
2
+ . . . + α
n
| 6 |α
1
| + |α
2
| + . . . + те. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых,
причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать+ α
2
| > |α
1
| − те. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противопо- ложны.
Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели вышек сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь (рис. 170)
|α
1
| − |α
2
| 6 |α
1
− α
2
| 6 |α
1
| + |α
2
|.
172. Умножение комплексных чисел. Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем и аргументом ϕ, может быть получен из единичного вектора,
длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем его удлинения враз и поворота в положительном направлении на угол Произведением некоторого вектора на вектор назовем вектор, который получится, если к вектору применить вышеуказанные удлинения и поворот, при помощи которых вектор получается из единичного вектора, причем последнему соответствует,
очевидно, вещественная единица
yi
=
1 −
y
2 2!
+
y
4 4!
−
y
6 6
+ . . .
+ i
y
1!
−
y
3 3
+
y
5 5
−
y
7 7!
+ . . .
,
176]
§ 17. Комплексные числа
541
Правило вычитая показателей при делении e
z e
z
1
= e может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.
В случае целого положительного n будем иметь z
)
n
= e z
e z
. . . e z
|
{z
}
n раз e Пользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целую положительную степень sin ϕ и cos ϕ, а также и произведение таковых степеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синуса или косинуса кратных дуг m
ϕ =
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
m
2
m i
m
,
cos m
ϕ =
(e
ϕi
+ Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательные функции к тригонометрическим, согласно формулами, мы получаем искомое выражение.
П р им еры 8
=
=
(e
2ϕi
− e
−2ϕi
)
3
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
128
=
=
(e
6ϕi
− 3e
2ϕi
+ 3e
−2ϕi
− e
−6ϕi
)(e
ϕi
− e
−ϕi
128
=
177]
§ 17. Комплексные числа
543
Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам shz =
sin iz i
=
e z
+ e
−z
2
,
chz = cos iz =
e z
− e
−z
2
,
thz =
chz shz
=
e z
− e
−z e
z
+ e
−z
=
e
2z
− 1
e
2z
+ 1
,
cthz =
chz shz
=
e z
+ e
−z e
z
− e
−z
=
e
2z
+ 1
e
2z
− Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например,
следующие соотношения − sh
2
z = 1,
sh(z
1
± z
2
) = shz
1
chz
2
± chz
1
shz
2
,
ch(z
1
± z
2
) = chz
1
chz
2
± shz
1
shz
2
,
sh2z = 2shzchz, ch2z = ch
2
z + sh
2
z,
th2z =
2thz
1 + th
2
z
,
cht2z =
1 + Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии sin z на i shz и cos z на chz, получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции.
Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду+ shz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
shz
1
− shz
2
= 2sh z
1
− z
2 2
ch z
1
+ z
2 2
,
chz
1
+ chz
2
= 2ch z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
chz
1
− chz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
sh z
1
− z
2 2
(24)
177]
§ 17. Комплексные числа
545
Самое название гиперболические функции произошло вследствие того, что cht и sht играют туже роль для параметрического представления равнобочной гиперболы x
2
− y
2
= какую функции cos t и sin t — для окружности x
2
+ y
2
= Параметрическое представление окружности есть x = a cos t,
y = a sin равнобочной же гиперболы x = acht,
y = как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения ch
2
t − sh
2
t = Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково. Если мы обозначим через площадь сектора AOM (риса через площадь всего круга
Рис. Рис. 173.
(S
0
= πa
2
), то, очевидно = 2π
S
S
0
k = то получим так называемое главное значение логарифма. Для отличия главного значения логарифма от общего его значения, даваемого формулой (30), пользуются для главного значения обозначением log вместо Log, так что log[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = log r + где −π < ϕ 6 С помощью логарифма определим комплексную степень любого комплексного числа. Если u и v — два комплексных числа, причем u 6= 0, то положим u
v
= e Заметим, что Log u, а потому и u имеют, вообще говоря, бесчисленное множество значений.
Примеры. 1. Модуль i равен единице и аргумента потому i =
π
2
+ 2kπ
i
(k = 0, ±1, ±2, . . Определим i i
:
i i
= e iLogi
= e
−
π
2
+2kπ
(k = 0, ±1, ±2, . . .).
180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.
Укажем на применение комплексных величин при изучении гармонических колебаний. Рассмотрим переменный ток, сила которого j в каждый момент времени имеет во всей цепи одно и тоже значение, определяемое по формуле j = j m
sin(ωt + где t — время, аи постоянные
180]
§ 17. Комплексные числа
555
Постоянная j m
, которую мы будем считать положительной, называется амплитудой постоянная ω называется частотой и связана с периодом соотношением постоянная ϕ называется фазой переменного тока.
Ток, сила которого определяется по формуле (32), называется синусоидальным. Сказанное применяется и для напряжения v = v m
sin(ωt + ив дальнейшем мы будем рассматривать силы тока и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону, определяемому формулами (и (Существует простое геометрическое изображение синусоидальных величин одной и той же частоты. Через некоторую точку O плоскости проводим луч, который мы будем вращать с угловой скоростью ω почасовой стрелке этот луч назовем осью времени.
Пусть начальное положение оси времени при t = 0 совпадает с осью. Построим вектор OA (рис. 177) длины j m
, который образует угол с начальным положением оси времени (напомним, что положительным направлением отсчета углов мы считаем направление против часовой стрелки).
(1)
Рис. В момент t вектор OA будет образовывать угол (ϕ + ωt) с осью времени, повернувшейся на угол ωt; проекция вектора OA на направление,
перпендикулярное оси времени и получающееся поворотом ее на угол
π
2
против часовой стрелки, или, короче говоря, взятая с надлежащим
180]
§ 17. Комплексные числа
557
При этом |a + bi| равно, очевидно, отношению длин векторов j и j
1
, а аргумент числа (a+bi) представляет собой угол, образованный вектором с вектором j. Этот угол дает разность фаз величин, соответствующих векторами Введем понятие о среднем квадратичном значении синусоидальной величины (32), которое мы обозначим символом M (j
2
). Оно определяется равенством (j
2
) Интегрируя выражение j
2
= j
2
m sin
2
(ωt + ϕ) =
1 2
j
2
m
−
1 2
j
2
m cos 2(ωt + в пределах от 0 дополучим Корень квадратный из среднего квадратичного значения называется эффективным, или действующим, значением величины ef f
=
p
M (j
2
) =
j На практике при построении векторных диаграмм обычно принимают длину вектора равной не амплитуде, а эффективному значению величины, те. по сравнению с описанным выше построением длины векторов уменьшают в отношении 1 Дифференцируя формулу (32), получим dj dt
= ωj m
cos(ωt + ϕ) = ωj m
sin
ωt + ϕ +те. производная dj dt отличается от j лишь тем, что амплитуда умножается на ω и к фазе прибавляется
π
2
Выведенное соотношение в векторных обозначениях напишется так dt
= ωij.
(34)
181]
§ 17. Комплексные числа
559
«сопротивлений»: омического R, сопротивления от самоиндукции (и сопротивления от емкости
1
ωCi
Формула (36) дает вместе стем разложение вектора v на две составляющие по направлению j и uij — по направлению, перпендикулярному к j. Первая называется ваттной, вторая — безваттной составляющими напряжения. Эти термины станут ясными, если мы вычислим среднюю мощность W тока нашей цепи, которая определяется как среднее арифметическое по всему периоду от мгновенной мощности vj:
W =
1
T
T
Z
0
vjdt =
v m
j m
T
T
Z
0
sin(ωt + ϕ
1
) sin(ωt + означает здесь фазу напряжения, ϕ
2
— фазу тока, так что v = v m
sin(t + ϕ
1
),
j = j m
sin(ωt + Без труда находим =
v m
j m
2T
T
Z
0
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
) − cos(2ωt + ϕ
2
)]dt =
=
v m
j m
2
cos(ϕ
1
− ϕ
2
) = v ef f j
ef f cos(ϕ
1
− Таким образом, наибольшая по абсолютному значению средняя мощность получается, когда фазы напряжения и тока совпадают или отличаются на π; наименьшая, равная нулю, мощность получается тогда, когда эти фазы отличаются на При составлении этого выражения W безваттная составляющая uij вектора v дает среднюю мощность, равную нулю, ибо вектор uij перпендикулярен вектору j, те. для него cos(ϕ
1
− ϕ
2
) = 0, и вся средняя мощность, которая переходит в джоулево тепло, получается лишь от ваттной
(«рабочей») составляющей.
Соотношение (36) можно переписать в виде j
=
1
ζ
v
= где =
1
R + ui
= g + hi или j
= gv + hiv.
181]
§ 17. Комплексные числа
561
мы будем иметь =
ρ
1
ρ
2
ρ
0
,
θ = θ
1
+ θ
2
− Это приводит нас к следующему геометрическому построению (рис. Находим прежде всего сумму ζ
1
+ ζ
2
= OC; затем строим AOD, подобный, для чего поворачиваем △ COB в положение и проводим прямую AD || Из подобия треугольников выводим = то есть =
ρ
1
ρ
2
ρ
0
,
θ = θ
2
− θ
0
(θ
1
= что и требовалось доказать.
3.
Рассмотрим связанные колебания двух цепей, находящихся в магнитном соединении (рис. 179). Пусть v
1
, означают внешнюю электродвижущую силу и силу тока вцепи силу тока вцепи (без внешней электродвижущей силы R
1
, R
2
, L
1
, L
2
, C
1
, C
2
— соответственно:
Рис. Рис. сопротивления, коэффициенты самоиндукции и емкости этих цепей, M коэффициенты взаимной индукции цепей I и Имеем соотношения v
1
= R
1
j
1
+ L
1
dj
1
dt
+ M
dj
2
dt
+
1
C
1
Z
j
1
dt,
0 = R
2
j
2
+ L
2
dj
2
dt
+ На чертеже мы для упрощения направили ось OX по вектору ζ
1
, что приводится к предположению θ
1
= 0. В общем случае достаточно повернуть ось
OX
на угол почасовой стрелке
+ b
2
i и концу число a
1
+b
1
i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов ирис) и, следовательно, ему соответствует комплексное число a
2
) + (b
1
− равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и его началу.
Установим теперь свойства модуля суммы и разности двух ком-
Рис. 170.
плексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим (рис. 170)
|α
1
+ α
2
| 6 |α
1
| + причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы
172]
§ 17. Комплексные числа
529
соответствующие комплексным числами имеют одинаковое направление, те. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2π. Доказанное свойство имеет, очевидно, место ив случае любого числа слагаемых+ α
2
+ . . . + α
n
| 6 |α
1
| + |α
2
| + . . . + те. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых,
причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того, написать+ α
2
| > |α
1
| − те. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противопо- ложны.
Вычитание векторов и комплексных чисел приводится, как это мы видели вышек сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел будем, как и для модуля суммы, иметь (рис. 170)
|α
1
| − |α
2
| 6 |α
1
− α
2
| 6 |α
1
| + |α
2
|.
172. Умножение комплексных чисел. Произведение двух комплексных чисел мы определяем аналогично произведению вещественных чисел, а именно произведение рассматривается как число, составленное из множимого, как множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем и аргументом ϕ, может быть получен из единичного вектора,
длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем его удлинения враз и поворота в положительном направлении на угол Произведением некоторого вектора на вектор назовем вектор, который получится, если к вектору применить вышеуказанные удлинения и поворот, при помощи которых вектор получается из единичного вектора, причем последнему соответствует,
очевидно, вещественная единица
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если (r
1
, ϕ
1
), (r
2
, ϕ
2
) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторами, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем и аргументом (ϕ
1
+ ϕ
2
). Мы приходим, таким образом,
к следующему определению произведения комплексных чисел:
Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент — сумме аргументов сомножителей.
Таким образом, в том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · r
2
(cos ϕ
2
+ isinϕ
2
) =
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]. (Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме+ b
1
i)(a
2
+ b
2
i) = x + Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать a
1
= r
1
cos ϕ
1
,
b
1
= r
1
sin ϕ
1
,
a
2
= r
2
cos ϕ
2
,
b
2
= r
2
sin согласно определению умножения (6):
x = r
1
r
2
cos(ϕ
1
+ ϕ
2
),
y = r
1
r
2
sin(ϕ
1
+ откуда x = r
1
r
2
(cos ϕ
1
cos ϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
) =
= r
1
cos ϕ
1
· r
2
cos ϕ
2
− r
1
sin ϕ
1
· r
2
sin ϕ
2
= a
1
a
2
− b
1
b
2
,
y = r
1
r
2
(sin ϕ
1
cos ϕ
2
+ cos ϕ
1
sin ϕ
2
) = r
1
sin ϕ
1
· r
2
cos ϕ
2
+
+ r
1
cos ϕ
1
· r
2
sin ϕ
2
= b
1
a
2
+ и окончательно получим+ b
1
i)(a
2
+ b
2
i) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
) + (b
1
a
2
+ Можно было задать эту формулу как правило умножения комплексных чисел по определению
172]
§ 17. Комплексные числа
531
В случае b
1
= b
2
= 0 сомножители являются вещественными числами и и произведение приводится к произведению этих чисел. В случае a
1
= a
2
= 0 и b
1
= b
2
= 1 равенство (7) дает i · i = i
2
= те. квадрат мнимой единицы равен (Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим. и вообще, при всяком целом положительном k:
i
4k
= 1,
i
4k+1
= i,
i
4k+2
= −1,
i
4k+3
= Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i
2
= Если α есть комплексное число a+bi, то комплексное число a−bi называется сопряженным си его обозначают через α. Согласно формулам (3) имеем |α|
2
= a
2
+ Но из равенства (7) вытекает + bi)(a − bi) = a
2
+ а следовательно (a + bi)(a − bi) = те. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.
Отметим еще очевидные формулы + α = 2a,
α − α = Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону,
т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение — от
1
, ϕ
1
), (r
2
, ϕ
2
) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторами, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное число с модулем и аргументом (ϕ
1
+ ϕ
2
). Мы приходим, таким образом,
к следующему определению произведения комплексных чисел:
Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент — сумме аргументов сомножителей.
Таким образом, в том случае, когда комплексные числа написаны в тригонометрической форме, будем иметь r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
) · r
2
(cos ϕ
2
+ isinϕ
2
) =
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]. (Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме+ b
1
i)(a
2
+ b
2
i) = x + Пользуясь указанным выше обозначением модулей и аргументов сомножителей, можем написать a
1
= r
1
cos ϕ
1
,
b
1
= r
1
sin ϕ
1
,
a
2
= r
2
cos ϕ
2
,
b
2
= r
2
sin согласно определению умножения (6):
x = r
1
r
2
cos(ϕ
1
+ ϕ
2
),
y = r
1
r
2
sin(ϕ
1
+ откуда x = r
1
r
2
(cos ϕ
1
cos ϕ
2
− sin ϕ
1
sin ϕ
2
) =
= r
1
cos ϕ
1
· r
2
cos ϕ
2
− r
1
sin ϕ
1
· r
2
sin ϕ
2
= a
1
a
2
− b
1
b
2
,
y = r
1
r
2
(sin ϕ
1
cos ϕ
2
+ cos ϕ
1
sin ϕ
2
) = r
1
sin ϕ
1
· r
2
cos ϕ
2
+
+ r
1
cos ϕ
1
· r
2
sin ϕ
2
= b
1
a
2
+ и окончательно получим+ b
1
i)(a
2
+ b
2
i) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
) + (b
1
a
2
+ Можно было задать эту формулу как правило умножения комплексных чисел по определению
172]
§ 17. Комплексные числа
531
В случае b
1
= b
2
= 0 сомножители являются вещественными числами и и произведение приводится к произведению этих чисел. В случае a
1
= a
2
= 0 и b
1
= b
2
= 1 равенство (7) дает i · i = i
2
= те. квадрат мнимой единицы равен (Вычисляя последовательно целые положительные степени i, получим. и вообще, при всяком целом положительном k:
i
4k
= 1,
i
4k+1
= i,
i
4k+2
= −1,
i
4k+3
= Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i
2
= Если α есть комплексное число a+bi, то комплексное число a−bi называется сопряженным си его обозначают через α. Согласно формулам (3) имеем |α|
2
= a
2
+ Но из равенства (7) вытекает + bi)(a − bi) = a
2
+ а следовательно (a + bi)(a − bi) = те. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.
Отметим еще очевидные формулы + α = 2a,
α − α = Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону,
т. е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение — от
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами+ α
2
) + α
3
= α
1
+ (α
2
+ α
3
),
(α
1
α
2
)α
3
= α
1
(α
2
α
3
),
(α
1
+ α
2
)β = α
1
β + Предоставляем сделать это читателю.
Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если (r
1
, ϕ
1
) — модуль и аргумент делимого, а (r
2
, ϕ
2
) — модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r
1
r
2
, а аргумент его (ϕ
1
− ϕ
2
). Обозначая частное в виде дроби, можем написать r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
)
r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
)
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если r
2
= 0, то формула (9) теряет смысл.
Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме,
а в виде a
1
+ b
1
i и a
2
+ b
2
i, то, выражая в формуле (9) модули и аргументы через a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, получим следующее выражение для частного+ b
1
i a
1
+ b
2
i
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2 2
+ b
2 2
+
b
1
a
2
− a
1
b
2
a
2 2
+ b
2 которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменательна комплекс
174]
§ 17. Комплексные числа
533
ное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе a
1
+ b
1
i a
2
+ b
2
i
=
(a
1
+ b
1
i)(a
2
− b
2
i)
a
2 2
+ b
2 2
=
(a
1
a
2
+ b
1
b
2
) + (b
1
a
2
− a
1
b
2
)i a
2 2
+ b
2 и окончательно+ b
1
i a
2
+ b
2
i
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2 2
+ b
2 2
+
b
1
a
2
− a
1
b
2
a
2 2
+ b
2 Раньше [172] мы указали на то, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиями т. д.
Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.
Из формул (4), (5), (7) и (10) непосредственно вытекает следующее предложение если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными.
Так, например, заменяя в формуле (7) и на (−b
1
) и (получим b
1
i)(a
2
− b
2
i) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
) − (b
1
a
2
+ Указанное свойство будет, очевидно, справедливыми для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Возвышение в степень. Применяя формулу (6) в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
(11)
174]
§ 17. Комплексные числа Просуммируем выражения 1 + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . + r n−1
cos (n − 1)ϕ,
B
n
= r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . + r n−1
sin (n − Положим z = r(cos ϕ + i sin и составим комплексное число+ B
n i = 1 + r(cos ϕ + i sin ϕ) + r
2
(cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . . +
+ r n−1
[cos(n − 1)ϕ + i sin(n − Пользуемся равенством (11) и формулой для суммы геометрической прогрессии ϕ + i sin ϕ)
n
1 − r(cos ϕ + i sin ϕ)
=
=
(1 − r n
cos nϕ) − ir n
sin nϕ
(1 − r cos ϕ) − ir sin Умножая числитель и знаменатель последней дробина величину (1−
r cos ϕ) + ir sin ϕ, сопряженную со знаменателем, получим+ B
n i =
[(1 − r n
cos nϕ) − ir n
sin nϕ][(1 − r cos ϕ) + ir sin ϕ]
(1 − r cos ϕ)
2
+ r
2
sin
2
ϕ
=
=
(1 − r n
cos nϕ)(1 − r cos ϕ) + r n+1
sin ϕ sin nϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
+
+
(1 − r n
cos nϕ)r sin ϕ − 1(1 − r cos ϕ)r n
sin nϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
i =
=
r n+1
cos(n − 1)ϕ − r n
cos nϕ − r cos ϕ + 1
r
2
− 2r cos ϕ + 1
+
+
r n+1
sin(n − 1)ϕ − r n
sin nϕ + r cos ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + Приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), будем иметь 1 + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . + r n−1
cos(n − 1)ϕ =
=
r n+1
cos(n − 1)ϕ − r n
cos nϕ − r cos ϕ + 1
r
2
− 2r cos ϕ + 1
,
175]
§ 17. Комплексные числа
537
Но у равных комплексных чисел должны быть равны и аргументы могут отличаться лишь кратным 2π, те+ откуда =
n
√
r,
ψ =
ϕ + где n
√
r есть арифметическое значение корня и k — любое целое число. Таким образом, мы получаем n
p r(cos ϕ + i sin ϕ) =
n
√
r
cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + те. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения однако можно показать, что различных значений корня будет только n, иона будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, . . . ,
(n − Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (будут различными при двух различных значениях k = и k = тогда, когда аргументы и отличаются не кратными будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным Но разность (k
1
− k
2
) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность + 2k
1
π
n
−
ϕ + 2k
2
π
n
=
k
1
− не может быть кратна 2π, те значениям k из ряда (17) соответствуют различных значений корня.
Пусть теперь k
2
— целое число (положительное или отрицательное, не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде k
2
= qn + k
1
,
176]
§ 17. Комплексные числа
539
т. е. все корни уравнения z n
= 1 имеют вид = 0, 1, 2, . . . , n − причем надо считать ε
0
= Рассмотрим теперь двучленное уравнение вида z
n
= Вместо z введем новое неизвестное u, полагая z = u где n
√
a есть одно из значений корня й степени из a. Подставляя выражение для z в данное уравнение, получим для u уравнение u
n
= Отсюда видно, что все корни уравнения z n
= a могут быть представлены в виде n
√
aε
k
(k = 0, 1, 2, . . . , n − где n
√
a одно из n значений этого корня и ε
k принимает все значения корня й степени из единицы. Показательная функция. Мы рассматривали раньше показательную функцию e в случае вещественного показателя x. Обобщим теперь понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция e может быть представлена в виде ряда [129]
e x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+
x
3 3!
+ . . Определим аналогичным рядом показательную функцию ив случае чисто мнимого показателя, те. положим e
yi
= 1 +
yi
1!
+
(yi)
2 2!
+
(yi)
3 3!
+ . . Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда e
2
) + α
3
= α
1
+ (α
2
+ α
3
),
(α
1
α
2
)α
3
= α
1
(α
2
α
3
),
(α
1
+ α
2
)β = α
1
β + Предоставляем сделать это читателю.
Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, если (r
1
, ϕ
1
) — модуль и аргумент делимого, а (r
2
, ϕ
2
) — модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r
1
r
2
, а аргумент его (ϕ
1
− ϕ
2
). Обозначая частное в виде дроби, можем написать r
1
(cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
)
r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
)
=
r
1
r
2
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если r
2
= 0, то формула (9) теряет смысл.
Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме,
а в виде a
1
+ b
1
i и a
2
+ b
2
i, то, выражая в формуле (9) модули и аргументы через a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, получим следующее выражение для частного+ b
1
i a
1
+ b
2
i
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2 2
+ b
2 2
+
b
1
a
2
− a
1
b
2
a
2 2
+ b
2 которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменательна комплекс
174]
§ 17. Комплексные числа
533
ное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе a
1
+ b
1
i a
2
+ b
2
i
=
(a
1
+ b
1
i)(a
2
− b
2
i)
a
2 2
+ b
2 2
=
(a
1
a
2
+ b
1
b
2
) + (b
1
a
2
− a
1
b
2
)i a
2 2
+ b
2 и окончательно+ b
1
i a
2
+ b
2
i
=
a
1
a
2
+ b
1
b
2
a
2 2
+ b
2 2
+
b
1
a
2
− a
1
b
2
a
2 2
+ b
2 Раньше [172] мы указали на то, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиями т. д.
Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.
Из формул (4), (5), (7) и (10) непосредственно вытекает следующее предложение если в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными.
Так, например, заменяя в формуле (7) и на (−b
1
) и (получим b
1
i)(a
2
− b
2
i) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
) − (b
1
a
2
+ Указанное свойство будет, очевидно, справедливыми для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Возвышение в степень. Применяя формулу (6) в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
(11)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . те. для возвышения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргумент умножить на показатель степени.
Полагая в формуле (11) r = 1, получаем формулу Моавра
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= cos nϕ + i sin Примеры. Разлагая левую часть равенства (12) по формуле бинома Ньютона и приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), получим выражения для cos nϕ и sin nϕ через степени cos и sin ϕ
17
:
cos nϕ = cos n
ϕ − (
n
2
) cos n−2
ϕ sin
2
ϕ+
+ (
n
4
) cos n−4
ϕ sin
4
ϕ + . . . + (−1)
k
(
n
2k
) cos n−2k
ϕ sin
2k
ϕ+
+ . . . +
ր (−1)
n
2
sin n
ϕ
(n − четное (−1)
n−1 2
n cos ϕ sin n−1
ϕ
(n − нечетное nϕ = (
n
1
) cos n−1
ϕ sin ϕ−(
n
3
) cos n−3
ϕ sin
3
ϕ+(
n
5
) cos n−5
ϕ sin
5
ϕ − . . . +
+(−1)
k
(
n
2k+1
) cos n−2k−1
ϕ sin
2k+1
ϕ+. . .+
+ . . . +
ր (−1)
n−2 2
n cos ϕ sin n−1
ϕ
(n − четное (−1)
n−1 2
sin n
ϕ
(n − нечетное).
В частности, при n = 3 формула (12) после раскрытия скобок будет иметь вид cos
3
ϕ + 3i cos
2
ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin
2
ϕ − i sin
3
ϕ = cos 3ϕ + i sin откуда cos 3ϕ = cos
3
ϕ − 3 cos ϕ sin
2
ϕ,
sin 3ϕ = 3 cos
2
ϕ sin ϕ − Символом (
n m
) мы обозначаем число сочетаний из n элементов по m, то есть m
) =
n
(n − 1) . . . (n − m + 1)
1 · 2 . . . m
=
n
!
m
!(n − m)!
Полагая в формуле (11) r = 1, получаем формулу Моавра
(cos ϕ + i sin ϕ)
n
= cos nϕ + i sin Примеры. Разлагая левую часть равенства (12) по формуле бинома Ньютона и приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), получим выражения для cos nϕ и sin nϕ через степени cos и sin ϕ
17
:
cos nϕ = cos n
ϕ − (
n
2
) cos n−2
ϕ sin
2
ϕ+
+ (
n
4
) cos n−4
ϕ sin
4
ϕ + . . . + (−1)
k
(
n
2k
) cos n−2k
ϕ sin
2k
ϕ+
+ . . . +
ր (−1)
n
2
sin n
ϕ
(n − четное (−1)
n−1 2
n cos ϕ sin n−1
ϕ
(n − нечетное nϕ = (
n
1
) cos n−1
ϕ sin ϕ−(
n
3
) cos n−3
ϕ sin
3
ϕ+(
n
5
) cos n−5
ϕ sin
5
ϕ − . . . +
+(−1)
k
(
n
2k+1
) cos n−2k−1
ϕ sin
2k+1
ϕ+. . .+
+ . . . +
ր (−1)
n−2 2
n cos ϕ sin n−1
ϕ
(n − четное (−1)
n−1 2
sin n
ϕ
(n − нечетное).
В частности, при n = 3 формула (12) после раскрытия скобок будет иметь вид cos
3
ϕ + 3i cos
2
ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin
2
ϕ − i sin
3
ϕ = cos 3ϕ + i sin откуда cos 3ϕ = cos
3
ϕ − 3 cos ϕ sin
2
ϕ,
sin 3ϕ = 3 cos
2
ϕ sin ϕ − Символом (
n m
) мы обозначаем число сочетаний из n элементов по m, то есть m
) =
n
(n − 1) . . . (n − m + 1)
1 · 2 . . . m
=
n
!
m
!(n − m)!
174]
§ 17. Комплексные числа Просуммируем выражения 1 + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . + r n−1
cos (n − 1)ϕ,
B
n
= r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . + r n−1
sin (n − Положим z = r(cos ϕ + i sin и составим комплексное число+ B
n i = 1 + r(cos ϕ + i sin ϕ) + r
2
(cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . . +
+ r n−1
[cos(n − 1)ϕ + i sin(n − Пользуемся равенством (11) и формулой для суммы геометрической прогрессии ϕ + i sin ϕ)
n
1 − r(cos ϕ + i sin ϕ)
=
=
(1 − r n
cos nϕ) − ir n
sin nϕ
(1 − r cos ϕ) − ir sin Умножая числитель и знаменатель последней дробина величину (1−
r cos ϕ) + ir sin ϕ, сопряженную со знаменателем, получим+ B
n i =
[(1 − r n
cos nϕ) − ir n
sin nϕ][(1 − r cos ϕ) + ir sin ϕ]
(1 − r cos ϕ)
2
+ r
2
sin
2
ϕ
=
=
(1 − r n
cos nϕ)(1 − r cos ϕ) + r n+1
sin ϕ sin nϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
+
+
(1 − r n
cos nϕ)r sin ϕ − 1(1 − r cos ϕ)r n
sin nϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
i =
=
r n+1
cos(n − 1)ϕ − r n
cos nϕ − r cos ϕ + 1
r
2
− 2r cos ϕ + 1
+
+
r n+1
sin(n − 1)ϕ − r n
sin nϕ + r cos ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + Приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), будем иметь 1 + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . + r n−1
cos(n − 1)ϕ =
=
r n+1
cos(n − 1)ϕ − r n
cos nϕ − r cos ϕ + 1
r
2
− 2r cos ϕ + 1
,
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[175
B
n
= r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . + r n−1
sin(n − 1)ϕ =
=
r n+1
sin(n − 1)ϕ − r n
sin nϕ + r sin ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + Считая, что абсолютное значение вещественного числа r меньше единицы, и беспредельно увеличивая n, получим в пределе суммы бесконечных рядов + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . =
1 − r cos ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
,
r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . =
r sin ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + В выражениях A
n и B
n положим r = 1, тогда получим + cos ϕ + cos 2ϕ + . . . + cos(n − 1)ϕ =
cos(n−1)ϕ−cos nϕ−cos ϕ+1 2(1−cos ϕ)
=
=
2 sin
ϕ
2
sin n −
1 2
ϕ + 2 sin
2 ϕ
2 4 sin
2 ϕ
2
=
sin n −
1 2
ϕ + sin
ϕ
2 2 sin
ϕ
2
=
=
sin nϕ
2
cos
(n−1)ϕ
2
sin
ϕ
2
(15 Аналогичным образом получим sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin(n − 1)ϕ =
sin nϕ
2
sin
(n−1)ϕ
2
sin
ϕ
2
(15 2
)
175. Извлечение корня. Корнем й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, я степень которого равна подкоренному числу.
Таким образом, равенство n
p r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρ(cos ψ + i sin равносильно равенству nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).
[175
B
n
= r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . + r n−1
sin(n − 1)ϕ =
=
r n+1
sin(n − 1)ϕ − r n
sin nϕ + r sin ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + Считая, что абсолютное значение вещественного числа r меньше единицы, и беспредельно увеличивая n, получим в пределе суммы бесконечных рядов + r cos ϕ + r
2
cos 2ϕ + . . . =
1 − r cos ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + 1
,
r sin ϕ + r
2
sin 2ϕ + . . . =
r sin ϕ
r
2
− 2r cos ϕ + В выражениях A
n и B
n положим r = 1, тогда получим + cos ϕ + cos 2ϕ + . . . + cos(n − 1)ϕ =
cos(n−1)ϕ−cos nϕ−cos ϕ+1 2(1−cos ϕ)
=
=
2 sin
ϕ
2
sin n −
1 2
ϕ + 2 sin
2 ϕ
2 4 sin
2 ϕ
2
=
sin n −
1 2
ϕ + sin
ϕ
2 2 sin
ϕ
2
=
=
sin nϕ
2
cos
(n−1)ϕ
2
sin
ϕ
2
(15 Аналогичным образом получим sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin(n − 1)ϕ =
sin nϕ
2
sin
(n−1)ϕ
2
sin
ϕ
2
(15 2
)
175. Извлечение корня. Корнем й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, я степень которого равна подкоренному числу.
Таким образом, равенство n
p r(cos ϕ + i sin ϕ) = ρ(cos ψ + i sin равносильно равенству nψ + i sin nψ) = r(cos ϕ + i sin ϕ).
175]
§ 17. Комплексные числа
537
Но у равных комплексных чисел должны быть равны и аргументы могут отличаться лишь кратным 2π, те+ откуда =
n
√
r,
ψ =
ϕ + где n
√
r есть арифметическое значение корня и k — любое целое число. Таким образом, мы получаем n
p r(cos ϕ + i sin ϕ) =
n
√
r
cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + те. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения однако можно показать, что различных значений корня будет только n, иона будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, . . . ,
(n − Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (будут различными при двух различных значениях k = и k = тогда, когда аргументы и отличаются не кратными будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным Но разность (k
1
− k
2
) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность + 2k
1
π
n
−
ϕ + 2k
2
π
n
=
k
1
− не может быть кратна 2π, те значениям k из ряда (17) соответствуют различных значений корня.
Пусть теперь k
2
— целое число (положительное или отрицательное, не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде k
2
= qn + k
1
,
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . где q — целое число и k
1
— одно из чисел ряда (17), а потому + 2k
2
π
n
=
ϕ + 2k
1
π
n
+ те. значению соответствует тоже значение корня, что и значению, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, те. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.
П р им еры. Определим все значения
3
√
i.
Модуль i равен единице и аргумента потому =
3
r cos
π
2
+ i sin
π
2
= cos
π
2
+ 2kπ
3
+ i sin
π
2
+ 2kπ
3
(k = 0, 1, Мы получаем следующие три значения для+ i sin
π
6
=
√
3 2
+
1 2
i,
cos
5π
6
+ i sin
5π
6
+ = −
√
3 2
+
1 2
i,
cos
3π
2
+ i sin
3π
2
= Рассмотрим все значения те. все решения двучленного уравнения Модуль единицы равен единице и аргумент — нулю, а потому n
√
1 =
n
√
cos 0 + i sin 0 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − Обозначим буквой ε то значение этого корня, которое получается при k = 1:
ε = cos
2π
n
+ i Согласно формуле Моавра:
ε
k
= cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
1
— одно из чисел ряда (17), а потому + 2k
2
π
n
=
ϕ + 2k
1
π
n
+ те. значению соответствует тоже значение корня, что и значению, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, те. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.
П р им еры. Определим все значения
3
√
i.
Модуль i равен единице и аргумента потому =
3
r cos
π
2
+ i sin
π
2
= cos
π
2
+ 2kπ
3
+ i sin
π
2
+ 2kπ
3
(k = 0, 1, Мы получаем следующие три значения для+ i sin
π
6
=
√
3 2
+
1 2
i,
cos
5π
6
+ i sin
5π
6
+ = −
√
3 2
+
1 2
i,
cos
3π
2
+ i sin
3π
2
= Рассмотрим все значения те. все решения двучленного уравнения Модуль единицы равен единице и аргумент — нулю, а потому n
√
1 =
n
√
cos 0 + i sin 0 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
(k = 0, 1, 2, . . . , n − Обозначим буквой ε то значение этого корня, которое получается при k = 1:
ε = cos
2π
n
+ i Согласно формуле Моавра:
ε
k
= cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
176]
§ 17. Комплексные числа
539
т. е. все корни уравнения z n
= 1 имеют вид = 0, 1, 2, . . . , n − причем надо считать ε
0
= Рассмотрим теперь двучленное уравнение вида z
n
= Вместо z введем новое неизвестное u, полагая z = u где n
√
a есть одно из значений корня й степени из a. Подставляя выражение для z в данное уравнение, получим для u уравнение u
n
= Отсюда видно, что все корни уравнения z n
= a могут быть представлены в виде n
√
aε
k
(k = 0, 1, 2, . . . , n − где n
√
a одно из n значений этого корня и ε
k принимает все значения корня й степени из единицы. Показательная функция. Мы рассматривали раньше показательную функцию e в случае вещественного показателя x. Обобщим теперь понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция e может быть представлена в виде ряда [129]
e x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+
x
3 3!
+ . . Определим аналогичным рядом показательную функцию ив случае чисто мнимого показателя, те. положим e
yi
= 1 +
yi
1!
+
(yi)
2 2!
+
(yi)
3 3!
+ . . Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда e
yi
=
1 −
y
2 2!
+
y
4 4!
−
y
6 6
+ . . .
+ i
y
1!
−
y
3 3
+
y
5 5
−
y
7 7!
+ . . .
,
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . откуда, вспомнив разложения cos y ив ряд [130], получаем e
yi
= cos y + i sin Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (−y):
e
−yi
= cos y − i sin и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем y =
e yi
+ e
−yi
2
,
sin y =
e yi
− Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент ϕ:
r(cos ϕ + i sin ϕ) = Показательную функцию при любом комплексном показателе x + yi определяем формулой e
x+yi
= e x
· e yi
= e x
(cos y + i sin те. модуль числа e x+yi будем считать равным e x
, а аргумент равным Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей приумножении. Пусть z = x + yi и z
1
= x
1
+ y
1
i:
e z
· e z
1
= e x
(cos y + i sin y) · e x
1
(cos y
1
+ i sin или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],
e z
· e z
1
= e x+x
1
[cos(y + y
1
) + i sin(y + Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою то есть e z+z
1
yi
= cos y + i sin Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (−y):
e
−yi
= cos y − i sin и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем y =
e yi
+ e
−yi
2
,
sin y =
e yi
− Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент ϕ:
r(cos ϕ + i sin ϕ) = Показательную функцию при любом комплексном показателе x + yi определяем формулой e
x+yi
= e x
· e yi
= e x
(cos y + i sin те. модуль числа e x+yi будем считать равным e x
, а аргумент равным Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей приумножении. Пусть z = x + yi и z
1
= x
1
+ y
1
i:
e z
· e z
1
= e x
(cos y + i sin y) · e x
1
(cos y
1
+ i sin или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],
e z
· e z
1
= e x+x
1
[cos(y + y
1
) + i sin(y + Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою то есть e z+z
1
176]
§ 17. Комплексные числа
541
Правило вычитая показателей при делении e
z e
z
1
= e может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.
В случае целого положительного n будем иметь z
)
n
= e z
e z
. . . e z
|
{z
}
n раз e Пользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целую положительную степень sin ϕ и cos ϕ, а также и произведение таковых степеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синуса или косинуса кратных дуг m
ϕ =
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
m
2
m i
m
,
cos m
ϕ =
(e
ϕi
+ Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательные функции к тригонометрическим, согласно формулами, мы получаем искомое выражение.
П р им еры 8
=
=
(e
2ϕi
− e
−2ϕi
)
3
(e
ϕi
− e
−ϕi
)
128
=
=
(e
6ϕi
− 3e
2ϕi
+ 3e
−2ϕi
− e
−6ϕi
)(e
ϕi
− e
−ϕi
128
=
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . .
[177
=
e
7ϕi
− e
5ϕi
− 3e
3ϕi
+ 3e
ϕi
+ 3e
−ϕi
− 3e
−3ϕi
− e
−5ϕi
+ e
−7ϕi
128
=
=
3 64
cos ϕ −
3 64
cos 3ϕ −
1 64
cos 5ϕ −
1 64
cos Заметим при этом, что любая целая степень cos ϕ и четная степень sin ϕ представляют собою четные функции ϕ, те. не меняют своей величины при заменена, и выражение таких четных функций ϕ будет содержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетная функция ϕ, те. если эта функция меняет знак при заменена (как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени sin ϕ, то разложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуги свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать. Все эти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложении тригонометрических рядов. Тригонометрические и гиперболические функции.
До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливость формул тригонометрии в случае комплексного аргумента. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения sin
2
z + cos
2
z = 1,
sin(z + z
1
) = sin z cos z
1
+ cos z sin z
1
,
cos(z + z
1
) = cos z cos z
1
− sin z sin Функции tg z и ctg z определяются по формулам tg z =
sin z cos z
=
1
i
·
e zi
− e
−zi e
zi
+ e
−zi
=
1
i
·
e
2zi
− 1
e
2zi
+ 1
,
ctg z =
cos z sin z
= i e
zi
+ e
−zi e
zi
− e
−zi
= i e
2zi
+ 1
e
2zi
− 1
[177
=
e
7ϕi
− e
5ϕi
− 3e
3ϕi
+ 3e
ϕi
+ 3e
−ϕi
− 3e
−3ϕi
− e
−5ϕi
+ e
−7ϕi
128
=
=
3 64
cos ϕ −
3 64
cos 3ϕ −
1 64
cos 5ϕ −
1 64
cos Заметим при этом, что любая целая степень cos ϕ и четная степень sin ϕ представляют собою четные функции ϕ, те. не меняют своей величины при заменена, и выражение таких четных функций ϕ будет содержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетная функция ϕ, те. если эта функция меняет знак при заменена (как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени sin ϕ, то разложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуги свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать. Все эти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложении тригонометрических рядов. Тригонометрические и гиперболические функции.
До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливость формул тригонометрии в случае комплексного аргумента. Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения sin
2
z + cos
2
z = 1,
sin(z + z
1
) = sin z cos z
1
+ cos z sin z
1
,
cos(z + z
1
) = cos z cos z
1
− sin z sin Функции tg z и ctg z определяются по формулам tg z =
sin z cos z
=
1
i
·
e zi
− e
−zi e
zi
+ e
−zi
=
1
i
·
e
2zi
− 1
e
2zi
+ 1
,
ctg z =
cos z sin z
= i e
zi
+ e
−zi e
zi
− e
−zi
= i e
2zi
+ 1
e
2zi
− 1
177]
§ 17. Комплексные числа
543
Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам shz =
sin iz i
=
e z
+ e
−z
2
,
chz = cos iz =
e z
− e
−z
2
,
thz =
chz shz
=
e z
− e
−z e
z
+ e
−z
=
e
2z
− 1
e
2z
+ 1
,
cthz =
chz shz
=
e z
+ e
−z e
z
− e
−z
=
e
2z
+ 1
e
2z
− Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например,
следующие соотношения − sh
2
z = 1,
sh(z
1
± z
2
) = shz
1
chz
2
± chz
1
shz
2
,
ch(z
1
± z
2
) = chz
1
chz
2
± shz
1
shz
2
,
sh2z = 2shzchz, ch2z = ch
2
z + sh
2
z,
th2z =
2thz
1 + th
2
z
,
cht2z =
1 + Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии sin z на i shz и cos z на chz, получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции.
Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду+ shz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
shz
1
− shz
2
= 2sh z
1
− z
2 2
ch z
1
+ z
2 2
,
chz
1
+ chz
2
= 2ch z
1
+ z
2 2
ch z
1
− z
2 2
,
chz
1
− chz
2
= 2sh z
1
+ z
2 2
sh z
1
− z
2 2
(24)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента =
e x
− e
−x
2
,
chx =
e x
+ e
−x
2
,
thx =
e
2x
− 1
e
2x
+ 1
,
cthx =
e
2x
+ 1
e
2x
− Рис. График функции y = chx представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций chx, shx, thx, cthx изображены на рис. Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных Отсюда получаем таблицу интегралов dx = chx + C,
Z
chx dx = shx + C,
Z
dx ch
2
x
= thx + C,
Z
dx sh x
= −cthx + C.
e x
− e
−x
2
,
chx =
e x
+ e
−x
2
,
thx =
e
2x
− 1
e
2x
+ 1
,
cthx =
e
2x
+ 1
e
2x
− Рис. График функции y = chx представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций chx, shx, thx, cthx изображены на рис. Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных Отсюда получаем таблицу интегралов dx = chx + C,
Z
chx dx = shx + C,
Z
dx ch
2
x
= thx + C,
Z
dx sh x
= −cthx + C.
177]
§ 17. Комплексные числа
545
Самое название гиперболические функции произошло вследствие того, что cht и sht играют туже роль для параметрического представления равнобочной гиперболы x
2
− y
2
= какую функции cos t и sin t — для окружности x
2
+ y
2
= Параметрическое представление окружности есть x = a cos t,
y = a sin равнобочной же гиперболы x = acht,
y = как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения ch
2
t − sh
2
t = Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково. Если мы обозначим через площадь сектора AOM (риса через площадь всего круга
Рис. Рис. 173.
(S
0
= πa
2
), то, очевидно = 2π
S
S
0
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Пусть теперь S обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеем = пл N − пл. AMN =
1 2
xy −
a
Z
x ydx =
=
1 2
x p
x
2
− a
2
−
a
Z
x p
x
2
− Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим =
1 2
x p
x
2
− a
2
−
1 2
h x
p x
2
− a
2
− a
2
log(x +
p x
2
− a
2
)
i x
a
=
=
1 2
a
2
log x
a
+
r x
2
a
2
− Если теперь, обозначая опять через площадь круга, положим t = 2π
S
S
0
= log x
a
+
r x
2
a
2
− то найдем без труда e
t
=
x a
+
r x
2
a
2
− 1,
e
−t
=
1
x a
+
q x
2
a
2
− 1
=
x a
−
r x
2
a
2
− откуда, складывая почленно и умножая на a
2
:
x =
a
2
(e t
+ e
−t
) = Числитель и знаменатель домножили на x
a
−
q x
2
a
2
− 1 и воспользовались формулой разности квадратов в знаменателе
178]
§ 17. Комплексные числа =
p x
2
− a
2
=
p a
2
ch
2
t − a
2
= темы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы. Цепная линия.
Исследуем кривую провисания гибкой однородной тяжелой нити, подвешенной на концах ирис. В плоскости этой кривой направим ось OX горизонтально, ось вертикально вверх. Выделим элементы M M
1
= ds нити. На каждый из них действуют натяжения T и от оставшихся частей нити и вес элемента. Натяжения приложены в концах M и элемента и направлены по касательным (причем T — по отрицательному, T
1
— по положительному направлению касательной. Вес мы можем принять пропорциональным длине элемента dp = где ρ — линейная плотность нити (вес погонной единицы длины).
Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма проекций, действующих на элемент сил как на горизонтальное,
так и на вертикальное направление. Так как проекция веса элемента ds на горизонтальное направление равна нулю, то горизонтальные составляющие сил T и должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Обозначим через общую величину их горизонтальной со- ставляющей.
Рис. 174.
178]
§ 17. Комплексные числа
549
Произвольные постоянные и определяются из условия, что кривая проходит через точки A
1
(a
1
, b
1
) и A
2
(a
2
, b
2
). Однако в приложениях наибольший интерес представляет не само уравнение кривой провисания, те. постоянные и C
2
, а соотношение между горизонтальными вертикальным расстояниями точек подвеса и длиной дуги При исследовании зависимости между этими тремя величинами мы можем, конечно, совершить параллельный перенос координатных осей.
Поместив начало в точку (−C
1
, −C
2
), мы можем считать, что в уравнении, и это уравнение заменится более простым y =
k
2
e x
k
+ e
−
x k
= kch x
k
,
(26 откуда ясно, что кривая провисания есть цепная линия.
Пусть при указанном выборе координатных осей точка подвеса имеет координаты (a
1
, b
1
) и A
2
— координаты (a
2
, b
2
). Обозначив через l,
h, s горизонтальное и вертикальное расстояния точек подвеса и длину нити, будем иметь l = a
2
− a
1
,
h = b
2
− b
1
= k
ch a
2
k
− ch a
1
k
,
s =
a
2
Z
a
1
p
1 + y
′2
dx =
a
2
Z
a
1
r
1 + sh
2
x k
dx =
a
2
Z
a
1
ch x
k dx = k
sh a
2
k
− sh По формулам (24) находим h = 2k sh a
2
+ a
1 2k sh a
2
− a
1 2k
= 2k sh l
2k sh a
2
+ a
1 2k
,
s = 2k sh a
2
− a
1 2k ch a
2
+ a
1 2k
= 2k sh l
2k ch a
2
+ a
1 откуда на основании первого из соотношений (23)
s
2
− h
2
= что и дает искомую зависимость между l, h и s. Ее можно переписать в следующей форме l
2k l
2k
=
√
s
2
− Если точки подвеса и длина нити заданы, то величины l, h и s известны и мы получаем уравнение для определения параметра k, или если линейная плотность ρ нити также известна, то уравнение (27) может
178]
§ 17. Комплексные числа
551
откуда
T
0
= kρ =
l
2ξ
ρ =
50 2 · 2, 15
· 20 = 232 кг.
Пусть точки подвеса находятся на одинаковой высоте. Исследуем стрелу провисания нити f (рис. 175):
f = OA
− OC =
k
2
e l
2k
+ e
−
l
2k
− k =
k
2
e l
2k
+ e
−
l
2k
− Разлагая показательную функцию вряд, получим f =
1 2!
l
2 2
2
· k
+
1 4!
l
4 2
4
· k
3
+ . . Точно также будем иметь для s = дуге формула (27) при h = 0]:
s = 2ksh l
2k
= k
e l
2k
− e
−
l
2k
= l +
1 3!
l
3 2
2
· k
2
+
1 5!
l
5 2
4
· k
4
+ . . Ограничиваясь в ряде (28) одним слагаемым, определим приближенно В разложении (29) удержим первые два слагаемых и подставим найденное для k выражение s ≈ l +
8 Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между удлинением нити и увеличением стрелы провисания ≈
16 3
f df или df ≈
3l
16f Уравнение (25) было нами получено в предположении, что на всякий элемент нити действует сила тяжести, пропорциональная длине элемента. В некоторых случаях, например при рассмотрении цепей висячих мостов, эту силу тяжести надо считать пропорциональной длине не самого элемента, но его проекции на горизонтальную ось. Это случится тогда,
когда нагрузка от настила моста настолько велика по сравнению с собственным весом цепи, что последней можно пренебречь. В этом случае вместо уравнения (25) будем иметь ρdx,
179]
§ 17. Комплексные числа
553
где ε =
f l
. Ограничиваясь в написанном разложении двумя первыми слагаемыми, получим приближенную формулу s ≈ l +
8 совпадающую с аналогичной формулой для цепной линии. Логарифмирование. Натуральным логарифмом комплексного числа r(cos ϕ+i sin ϕ) называется показатель степени, в которую надо возвести e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм символом Log, можем сказать, что равенство ϕ + i sin ϕ)] = x + yi равносильно следующему x+yi
= r(cos ϕ + i sin Последнее равенство можно написать так x
(cos y + i sin y) = r(cos ϕ + i sin откуда, сравнивая модули и аргументы, получим e
x
= r,
y = ϕ + 2kπ
(k = 0, ±1, ±2, . . то есть x = log r и x + yi = log r + (ϕ + 2kπ)i и окончательно ϕ + i sin ϕ)] = log r + (ϕ + те. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента
1 2
xy −
a
Z
x ydx =
=
1 2
x p
x
2
− a
2
−
a
Z
x p
x
2
− Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим =
1 2
x p
x
2
− a
2
−
1 2
h x
p x
2
− a
2
− a
2
log(x +
p x
2
− a
2
)
i x
a
=
=
1 2
a
2
log x
a
+
r x
2
a
2
− Если теперь, обозначая опять через площадь круга, положим t = 2π
S
S
0
= log x
a
+
r x
2
a
2
− то найдем без труда e
t
=
x a
+
r x
2
a
2
− 1,
e
−t
=
1
x a
+
q x
2
a
2
− 1
=
x a
−
r x
2
a
2
− откуда, складывая почленно и умножая на a
2
:
x =
a
2
(e t
+ e
−t
) = Числитель и знаменатель домножили на x
a
−
q x
2
a
2
− 1 и воспользовались формулой разности квадратов в знаменателе
178]
§ 17. Комплексные числа =
p x
2
− a
2
=
p a
2
ch
2
t − a
2
= темы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы. Цепная линия.
Исследуем кривую провисания гибкой однородной тяжелой нити, подвешенной на концах ирис. В плоскости этой кривой направим ось OX горизонтально, ось вертикально вверх. Выделим элементы M M
1
= ds нити. На каждый из них действуют натяжения T и от оставшихся частей нити и вес элемента. Натяжения приложены в концах M и элемента и направлены по касательным (причем T — по отрицательному, T
1
— по положительному направлению касательной. Вес мы можем принять пропорциональным длине элемента dp = где ρ — линейная плотность нити (вес погонной единицы длины).
Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма проекций, действующих на элемент сил как на горизонтальное,
так и на вертикальное направление. Так как проекция веса элемента ds на горизонтальное направление равна нулю, то горизонтальные составляющие сил T и должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Обозначим через общую величину их горизонтальной со- ставляющей.
Рис. 174.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Далее, из чертежа мы получаем для вертикальных составляющих натяжений соответственно выражения α = и (α + dα) = T
0
(y
′
+ Здесь dα — прирост угла α, образованного касательной с осью при перемещении из точки M в точку M
1
, и dy
′
— соответствующее приращение углового коэффициента касательной, те. величины Приравнивая нулю сумму проекций T , и силы веса ρds на ось OY получим+ dy
′
) − T
0
y
′
− ρds = то есть что можно написать так ρ
p
1 + Переменные здесь разделяются [93]:
dy
′
p
1 + y
′2
=
dx где k заметим, что k есть постоянная, прямо пропорциональная горизонтальной составляющей натяжения и обратно пропорциональная линейной плотности нити. Интегрируем полученное уравнение log(y
′
+
p
1 + y
′2
) =
x + откуда e
x
+C1
k
= y
′
+
p
1 + чтобы определить y
′
, введем обратную величину e
−
x
+C1
k
=
1
y
′
+
p
1 + y
′2
=
p
1 + y
′2
− Вычитая почленно это равенство из предыдущего, находим y
′
=
1 2
e x
+C1
h
− Интегрируя еще раз, получим уравнение искомой кривой нити y + C
2
=
k
2
e x
+C1
k
+ e
−
x
+C1
k
(26)
0
(y
′
+ Здесь dα — прирост угла α, образованного касательной с осью при перемещении из точки M в точку M
1
, и dy
′
— соответствующее приращение углового коэффициента касательной, те. величины Приравнивая нулю сумму проекций T , и силы веса ρds на ось OY получим+ dy
′
) − T
0
y
′
− ρds = то есть что можно написать так ρ
p
1 + Переменные здесь разделяются [93]:
dy
′
p
1 + y
′2
=
dx где k заметим, что k есть постоянная, прямо пропорциональная горизонтальной составляющей натяжения и обратно пропорциональная линейной плотности нити. Интегрируем полученное уравнение log(y
′
+
p
1 + y
′2
) =
x + откуда e
x
+C1
k
= y
′
+
p
1 + чтобы определить y
′
, введем обратную величину e
−
x
+C1
k
=
1
y
′
+
p
1 + y
′2
=
p
1 + y
′2
− Вычитая почленно это равенство из предыдущего, находим y
′
=
1 2
e x
+C1
h
− Интегрируя еще раз, получим уравнение искомой кривой нити y + C
2
=
k
2
e x
+C1
k
+ e
−
x
+C1
k
(26)
178]
§ 17. Комплексные числа
549
Произвольные постоянные и определяются из условия, что кривая проходит через точки A
1
(a
1
, b
1
) и A
2
(a
2
, b
2
). Однако в приложениях наибольший интерес представляет не само уравнение кривой провисания, те. постоянные и C
2
, а соотношение между горизонтальными вертикальным расстояниями точек подвеса и длиной дуги При исследовании зависимости между этими тремя величинами мы можем, конечно, совершить параллельный перенос координатных осей.
Поместив начало в точку (−C
1
, −C
2
), мы можем считать, что в уравнении, и это уравнение заменится более простым y =
k
2
e x
k
+ e
−
x k
= kch x
k
,
(26 откуда ясно, что кривая провисания есть цепная линия.
Пусть при указанном выборе координатных осей точка подвеса имеет координаты (a
1
, b
1
) и A
2
— координаты (a
2
, b
2
). Обозначив через l,
h, s горизонтальное и вертикальное расстояния точек подвеса и длину нити, будем иметь l = a
2
− a
1
,
h = b
2
− b
1
= k
ch a
2
k
− ch a
1
k
,
s =
a
2
Z
a
1
p
1 + y
′2
dx =
a
2
Z
a
1
r
1 + sh
2
x k
dx =
a
2
Z
a
1
ch x
k dx = k
sh a
2
k
− sh По формулам (24) находим h = 2k sh a
2
+ a
1 2k sh a
2
− a
1 2k
= 2k sh l
2k sh a
2
+ a
1 2k
,
s = 2k sh a
2
− a
1 2k ch a
2
+ a
1 2k
= 2k sh l
2k ch a
2
+ a
1 откуда на основании первого из соотношений (23)
s
2
− h
2
= что и дает искомую зависимость между l, h и s. Ее можно переписать в следующей форме l
2k l
2k
=
√
s
2
− Если точки подвеса и длина нити заданы, то величины l, h и s известны и мы получаем уравнение для определения параметра k, или если линейная плотность ρ нити также известна, то уравнение (27) может
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . служить для определения горизонтальной составляющей натяжения Положим для сокращения письма ξ,
√
s
2
− h
2
l
= Уравнение (27) превратится в shξ
ξ
= c.
(27 Вспомнив разложение показательной функции в степенной ряд найдем shξ
ξ
=
e
ξ
− e
−ξ
2ξ
= 1 +
ξ
2 3!
+
ξ
4 5!
+
ξ
6 7!
+ . . . откуда видно, что при возрастании ξ от 0 до +∞ отношение также постоянно возрастает от 1 до +∞. Стало быть, при всяком заданном значении c > 1 уравнение (27 1
) имеет один положительный корень, который можно вычислить, пользуясь таблицами гиперболических функций. Данные величины l, h и s должны при этом удовлетворять условию
Рис. 175.
c =
√
s
2
− или s
2
>
h
2
+ которое очевидно и из геометрических соображений, так как+ есть хорда а s — дуга цепной линии между теми же точ- ками.
Пусть, например = 100 мм м, ρ = 20 кг/м,
мы получим c = 0, 02
√
10 000 − 400 = 0, 8 ·
√
6 = 1, и по таблицам гиперболических функций найдем корень уравнения (27 1
):
ξ =
l
2k
= 2, Например, таблицы Янке и Эмде.
√
s
2
− h
2
l
= Уравнение (27) превратится в shξ
ξ
= c.
(27 Вспомнив разложение показательной функции в степенной ряд найдем shξ
ξ
=
e
ξ
− e
−ξ
2ξ
= 1 +
ξ
2 3!
+
ξ
4 5!
+
ξ
6 7!
+ . . . откуда видно, что при возрастании ξ от 0 до +∞ отношение также постоянно возрастает от 1 до +∞. Стало быть, при всяком заданном значении c > 1 уравнение (27 1
) имеет один положительный корень, который можно вычислить, пользуясь таблицами гиперболических функций. Данные величины l, h и s должны при этом удовлетворять условию
Рис. 175.
c =
√
s
2
− или s
2
>
h
2
+ которое очевидно и из геометрических соображений, так как+ есть хорда а s — дуга цепной линии между теми же точ- ками.
Пусть, например = 100 мм м, ρ = 20 кг/м,
мы получим c = 0, 02
√
10 000 − 400 = 0, 8 ·
√
6 = 1, и по таблицам гиперболических функций найдем корень уравнения (27 1
):
ξ =
l
2k
= 2, Например, таблицы Янке и Эмде.
178]
§ 17. Комплексные числа
551
откуда
T
0
= kρ =
l
2ξ
ρ =
50 2 · 2, 15
· 20 = 232 кг.
Пусть точки подвеса находятся на одинаковой высоте. Исследуем стрелу провисания нити f (рис. 175):
f = OA
− OC =
k
2
e l
2k
+ e
−
l
2k
− k =
k
2
e l
2k
+ e
−
l
2k
− Разлагая показательную функцию вряд, получим f =
1 2!
l
2 2
2
· k
+
1 4!
l
4 2
4
· k
3
+ . . Точно также будем иметь для s = дуге формула (27) при h = 0]:
s = 2ksh l
2k
= k
e l
2k
− e
−
l
2k
= l +
1 3!
l
3 2
2
· k
2
+
1 5!
l
5 2
4
· k
4
+ . . Ограничиваясь в ряде (28) одним слагаемым, определим приближенно В разложении (29) удержим первые два слагаемых и подставим найденное для k выражение s ≈ l +
8 Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между удлинением нити и увеличением стрелы провисания ≈
16 3
f df или df ≈
3l
16f Уравнение (25) было нами получено в предположении, что на всякий элемент нити действует сила тяжести, пропорциональная длине элемента. В некоторых случаях, например при рассмотрении цепей висячих мостов, эту силу тяжести надо считать пропорциональной длине не самого элемента, но его проекции на горизонтальную ось. Это случится тогда,
когда нагрузка от настила моста настолько велика по сравнению с собственным весом цепи, что последней можно пренебречь. В этом случае вместо уравнения (25) будем иметь ρdx,
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . откуда y
′
=
ρ
T
0
x + и y =
ρ
2T
0
x
2
+ C
1
x + те. кривая провисания будет параболой.
Рис. Положим, что концы нити и находятся на одинаковой высоте, и поместим начало координат в вершину параболы (рис. 176), так что уравнение ее будет y = αx
2
α Как и выше, определим длину пролета l и стрелу прогиба f = OA. Из уравнения параболы получим f = α
l
2 откуда =
4f Вычислим длину дуги A
1
A
2
, равную удвоенной дуге OA
2
:
s = 2
l
2
Z
0
p
1 + По формуле бинома Ньютона имеем p
1 + 4α
2
x
2
= (1 + 4α
2
x
2
)
1
/
2
= 1 + 2α
2
x
2
− 2α
4
x
4
+ . . и интегрируя, находим разложение для s:
s = l +
1 6
α
2
l
3
−
1 40
α
4
l
5
+ . . Подставим вместо α найденное выше его выражение = l +
8 3
f l
2
l −
32 5
f l
4
l + . . . = l
1 +
8 3
ε
2
−
32 5
ε
4
+ . . .
,
′
=
ρ
T
0
x + и y =
ρ
2T
0
x
2
+ C
1
x + те. кривая провисания будет параболой.
Рис. Положим, что концы нити и находятся на одинаковой высоте, и поместим начало координат в вершину параболы (рис. 176), так что уравнение ее будет y = αx
2
α Как и выше, определим длину пролета l и стрелу прогиба f = OA. Из уравнения параболы получим f = α
l
2 откуда =
4f Вычислим длину дуги A
1
A
2
, равную удвоенной дуге OA
2
:
s = 2
l
2
Z
0
p
1 + По формуле бинома Ньютона имеем p
1 + 4α
2
x
2
= (1 + 4α
2
x
2
)
1
/
2
= 1 + 2α
2
x
2
− 2α
4
x
4
+ . . и интегрируя, находим разложение для s:
s = l +
1 6
α
2
l
3
−
1 40
α
4
l
5
+ . . Подставим вместо α найденное выше его выражение = l +
8 3
f l
2
l −
32 5
f l
4
l + . . . = l
1 +
8 3
ε
2
−
32 5
ε
4
+ . . .
,
179]
§ 17. Комплексные числа
553
где ε =
f l
. Ограничиваясь в написанном разложении двумя первыми слагаемыми, получим приближенную формулу s ≈ l +
8 совпадающую с аналогичной формулой для цепной линии. Логарифмирование. Натуральным логарифмом комплексного числа r(cos ϕ+i sin ϕ) называется показатель степени, в которую надо возвести e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм символом Log, можем сказать, что равенство ϕ + i sin ϕ)] = x + yi равносильно следующему x+yi
= r(cos ϕ + i sin Последнее равенство можно написать так x
(cos y + i sin y) = r(cos ϕ + i sin откуда, сравнивая модули и аргументы, получим e
x
= r,
y = ϕ + 2kπ
(k = 0, ±1, ±2, . . то есть x = log r и x + yi = log r + (ϕ + 2kπ)i и окончательно ϕ + i sin ϕ)] = log r + (ϕ + те. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует. Если мы подчиним значение аргумента неравенству < ϕ 6 π,
1 ... 35 36 37 38 39 40 41 42 43
k = то получим так называемое главное значение логарифма. Для отличия главного значения логарифма от общего его значения, даваемого формулой (30), пользуются для главного значения обозначением log вместо Log, так что log[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = log r + где −π < ϕ 6 С помощью логарифма определим комплексную степень любого комплексного числа. Если u и v — два комплексных числа, причем u 6= 0, то положим u
v
= e Заметим, что Log u, а потому и u имеют, вообще говоря, бесчисленное множество значений.
Примеры. 1. Модуль i равен единице и аргумента потому i =
π
2
+ 2kπ
i
(k = 0, ±1, ±2, . . Определим i i
:
i i
= e iLogi
= e
−
π
2
+2kπ
(k = 0, ±1, ±2, . . .).
180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.
Укажем на применение комплексных величин при изучении гармонических колебаний. Рассмотрим переменный ток, сила которого j в каждый момент времени имеет во всей цепи одно и тоже значение, определяемое по формуле j = j m
sin(ωt + где t — время, аи постоянные
180]
§ 17. Комплексные числа
555
Постоянная j m
, которую мы будем считать положительной, называется амплитудой постоянная ω называется частотой и связана с периодом соотношением постоянная ϕ называется фазой переменного тока.
Ток, сила которого определяется по формуле (32), называется синусоидальным. Сказанное применяется и для напряжения v = v m
sin(ωt + ив дальнейшем мы будем рассматривать силы тока и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному закону, определяемому формулами (и (Существует простое геометрическое изображение синусоидальных величин одной и той же частоты. Через некоторую точку O плоскости проводим луч, который мы будем вращать с угловой скоростью ω почасовой стрелке этот луч назовем осью времени.
Пусть начальное положение оси времени при t = 0 совпадает с осью. Построим вектор OA (рис. 177) длины j m
, который образует угол с начальным положением оси времени (напомним, что положительным направлением отсчета углов мы считаем направление против часовой стрелки).
(1)
Рис. В момент t вектор OA будет образовывать угол (ϕ + ωt) с осью времени, повернувшейся на угол ωt; проекция вектора OA на направление,
перпендикулярное оси времени и получающееся поворотом ее на угол
π
2
против часовой стрелки, или, короче говоря, взятая с надлежащим
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . знаком длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора OA на ось времени, и дает нам, очевидно, величину j = j m
sin(ωt + Для изображения другой синусоидальной величины того же периода j
(1)
= j
(1)
m sin(ωt + надо будет отложить вектор длины j
(1)
m
, образующий с первым вектором угол = ϕ
1
− Таким образом, при помощи неподвижных векторов на плоскости мы можем изображать синусоидальные величины одной и той же частоты.
Длина всякого вектора дает амплитуду соответствующей величины, а угол между двумя векторами представляет собой разность фаз соответствующих этим векторам величин. Построенные указанным образом векторы дают так называемую векторную диаграмму системы синусоидальных величин одного итого же периода.
Геометрическая сумма нескольких векторов векторной диаграммы,
согласно теореме о проекции замыкающей, будет соответствовать синусоидальной величине того же периода, равной сумме синусоидальных величин, соответствующих слагаемым векторам.
Пользуясь определением умножения, приведенным в [172], можно придать операциям с векторными диаграммами удобный аналитический вид.
В дальнейшем мы будем обозначать векторы теми же буквами, но жирным шрифтом.
Произведение вектора j на комплексное число re
ϕi будем считать равным вектору, который получается из вектора j, если его длину умножить на r и повернуть его на угол ϕ, те. будем считать, что произведение re
ϕi получается согласно приведенному в [172] правилу умножения комплексного числа, изображающего вектор j, на комплексное число Если комплексное число re
ϕi написать в виде (a+bi), то произведение можно представить в виде суммы двух векторов + bi)j = aj + причем первое слагаемое есть вектор, параллельный вектору j, а второе слагаемое есть вектор, перпендикулярный вектору Разлагая какой-либо вектор на два взаимно перпендикулярных направления, можем представить его в виде j
1
= aj + bij = (a + bi)j.
sin(ωt + Для изображения другой синусоидальной величины того же периода j
(1)
= j
(1)
m sin(ωt + надо будет отложить вектор длины j
(1)
m
, образующий с первым вектором угол = ϕ
1
− Таким образом, при помощи неподвижных векторов на плоскости мы можем изображать синусоидальные величины одной и той же частоты.
Длина всякого вектора дает амплитуду соответствующей величины, а угол между двумя векторами представляет собой разность фаз соответствующих этим векторам величин. Построенные указанным образом векторы дают так называемую векторную диаграмму системы синусоидальных величин одного итого же периода.
Геометрическая сумма нескольких векторов векторной диаграммы,
согласно теореме о проекции замыкающей, будет соответствовать синусоидальной величине того же периода, равной сумме синусоидальных величин, соответствующих слагаемым векторам.
Пользуясь определением умножения, приведенным в [172], можно придать операциям с векторными диаграммами удобный аналитический вид.
В дальнейшем мы будем обозначать векторы теми же буквами, но жирным шрифтом.
Произведение вектора j на комплексное число re
ϕi будем считать равным вектору, который получается из вектора j, если его длину умножить на r и повернуть его на угол ϕ, те. будем считать, что произведение re
ϕi получается согласно приведенному в [172] правилу умножения комплексного числа, изображающего вектор j, на комплексное число Если комплексное число re
ϕi написать в виде (a+bi), то произведение можно представить в виде суммы двух векторов + bi)j = aj + причем первое слагаемое есть вектор, параллельный вектору j, а второе слагаемое есть вектор, перпендикулярный вектору Разлагая какой-либо вектор на два взаимно перпендикулярных направления, можем представить его в виде j
1
= aj + bij = (a + bi)j.
180]
§ 17. Комплексные числа
557
При этом |a + bi| равно, очевидно, отношению длин векторов j и j
1
, а аргумент числа (a+bi) представляет собой угол, образованный вектором с вектором j. Этот угол дает разность фаз величин, соответствующих векторами Введем понятие о среднем квадратичном значении синусоидальной величины (32), которое мы обозначим символом M (j
2
). Оно определяется равенством (j
2
) Интегрируя выражение j
2
= j
2
m sin
2
(ωt + ϕ) =
1 2
j
2
m
−
1 2
j
2
m cos 2(ωt + в пределах от 0 дополучим Корень квадратный из среднего квадратичного значения называется эффективным, или действующим, значением величины ef f
=
p
M (j
2
) =
j На практике при построении векторных диаграмм обычно принимают длину вектора равной не амплитуде, а эффективному значению величины, те. по сравнению с описанным выше построением длины векторов уменьшают в отношении 1 Дифференцируя формулу (32), получим dj dt
= ωj m
cos(ωt + ϕ) = ωj m
sin
ωt + ϕ +те. производная dj dt отличается от j лишь тем, что амплитуда умножается на ω и к фазе прибавляется
π
2
Выведенное соотношение в векторных обозначениях напишется так dt
= ωij.
(34)
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Интегрируя формулу (32) и отбрасывая произвольную постоянную,
что необходимо делать, если мы желаем получить также синусоидальную величину того же периода, имеем = −
1
ω
j m
cos(ωt + ϕ) =
1
ω
j m
sin
ωt + ϕ откуда следует dt =
1
ωi j
(35)
181. Примеры. Рассмотрим цепь переменного тока, в которую введены последовательно сопротивление R, самоиндукция L и емкость. Обозначив через v напряжение и через j силу тока, будем иметь известное из физики соотношение = Rj + L
dj Ограничимся пока только явлениями установившимися ипритом тем случаем, когда и напряжение и сила тока оказываются синусоидальными величинами одного итого же периода. Предыдущее уравнение можно переписать в векторной форме, введя вместо v и j векторы напряжения и тока v и j:
v
= Rj + L
dj dt
+
1
C
Z
j вспомнив формулы (34) и (35), находим отсюда v
= Rj + ωLij +
1
ωCi j
= (R + ui)j = где u = ωL −
1
ωC
,
ζ = R + Полученная зависимость между векторами напряжения и тока имеет вид обычного закона Ома стою только разницей, что вместо омического сопротивления здесь входит комплексный множитель ζ, который называется кажущимся сопротивлением цепи и состоит из суммы трех
19
Символ dj dt обозначает вектор, соответствующий синусоидальной величине dj dt
, а символ jdt — вектор, соответствующий R jdt.
что необходимо делать, если мы желаем получить также синусоидальную величину того же периода, имеем = −
1
ω
j m
cos(ωt + ϕ) =
1
ω
j m
sin
ωt + ϕ откуда следует dt =
1
ωi j
(35)
181. Примеры. Рассмотрим цепь переменного тока, в которую введены последовательно сопротивление R, самоиндукция L и емкость. Обозначив через v напряжение и через j силу тока, будем иметь известное из физики соотношение = Rj + L
dj Ограничимся пока только явлениями установившимися ипритом тем случаем, когда и напряжение и сила тока оказываются синусоидальными величинами одного итого же периода. Предыдущее уравнение можно переписать в векторной форме, введя вместо v и j векторы напряжения и тока v и j:
v
= Rj + L
dj dt
+
1
C
Z
j вспомнив формулы (34) и (35), находим отсюда v
= Rj + ωLij +
1
ωCi j
= (R + ui)j = где u = ωL −
1
ωC
,
ζ = R + Полученная зависимость между векторами напряжения и тока имеет вид обычного закона Ома стою только разницей, что вместо омического сопротивления здесь входит комплексный множитель ζ, который называется кажущимся сопротивлением цепи и состоит из суммы трех
19
Символ dj dt обозначает вектор, соответствующий синусоидальной величине dj dt
, а символ jdt — вектор, соответствующий R jdt.
181]
§ 17. Комплексные числа
559
«сопротивлений»: омического R, сопротивления от самоиндукции (и сопротивления от емкости
1
ωCi
Формула (36) дает вместе стем разложение вектора v на две составляющие по направлению j и uij — по направлению, перпендикулярному к j. Первая называется ваттной, вторая — безваттной составляющими напряжения. Эти термины станут ясными, если мы вычислим среднюю мощность W тока нашей цепи, которая определяется как среднее арифметическое по всему периоду от мгновенной мощности vj:
W =
1
T
T
Z
0
vjdt =
v m
j m
T
T
Z
0
sin(ωt + ϕ
1
) sin(ωt + означает здесь фазу напряжения, ϕ
2
— фазу тока, так что v = v m
sin(t + ϕ
1
),
j = j m
sin(ωt + Без труда находим =
v m
j m
2T
T
Z
0
[cos(ϕ
1
− ϕ
2
) − cos(2ωt + ϕ
2
)]dt =
=
v m
j m
2
cos(ϕ
1
− ϕ
2
) = v ef f j
ef f cos(ϕ
1
− Таким образом, наибольшая по абсолютному значению средняя мощность получается, когда фазы напряжения и тока совпадают или отличаются на π; наименьшая, равная нулю, мощность получается тогда, когда эти фазы отличаются на При составлении этого выражения W безваттная составляющая uij вектора v дает среднюю мощность, равную нулю, ибо вектор uij перпендикулярен вектору j, те. для него cos(ϕ
1
− ϕ
2
) = 0, и вся средняя мощность, которая переходит в джоулево тепло, получается лишь от ваттной
(«рабочей») составляющей.
Соотношение (36) можно переписать в виде j
=
1
ζ
v
= где =
1
R + ui
= g + hi или j
= gv + hiv.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Комплексный множитель η называется кажущейся проводимостью цепи, он равен обратной величине кажущегося сопротивления. Предыдущая же формула дает разложение вектора тока на ваттную и безватт- ную составляющие (по направлению v и перпендикулярно к нему).
2.
Основные правила для вычисления сопротивления сложной цепи постоянного тока, в которую включены сопротивления последовательно или параллельно, правила, которые выводятся из законов Ома и Кир- гофа, остаются в силе и для цепей с переменным установившимся синусоидальным током, если только условимся мгновенные значения напряжения и тока заменить соответствующими векторами, а омические сопротивления — кажущимися.
Так, если в цепь включены последовательно кажущиеся сопротивления. то векторы напряжения и тока будут связаны соотношениями где ζ
1
+ ζ
2
+ . . . те. при последовательном включении кажущиеся сопротивления скла- дываются.
Наоборот, если те же сопротивления включены параллельно, то мы получим соотношение v
= где+ . . . те. при параллельном включении складываются кажущиеся проводи- мости.
Графически построение полного кажущегося сопротивления при последовательном включении кажущихся сопротивлений ζ
1
, ζ
2
, . . . сводится просто к построению геометрической суммы векторов, изображающих эти комплексные числа.
Укажем построение в случае параллельного включения двух кажущихся сопротивлений и ζ
2
. Мы имеем по предыдущему правилу 1
ζ
1
+
1
ζ
2
=
ζ
1
ζ
2
ζ
1
+ Положив ρe
θi
,
ζ
1
= ρ
1
e
θ
1
i
,
ζ
2
= ρ
2
e
θ
2
i
,
ζ
1
+ ζ
2
= ρ
0
e
θ
0
i
,
2.
Основные правила для вычисления сопротивления сложной цепи постоянного тока, в которую включены сопротивления последовательно или параллельно, правила, которые выводятся из законов Ома и Кир- гофа, остаются в силе и для цепей с переменным установившимся синусоидальным током, если только условимся мгновенные значения напряжения и тока заменить соответствующими векторами, а омические сопротивления — кажущимися.
Так, если в цепь включены последовательно кажущиеся сопротивления. то векторы напряжения и тока будут связаны соотношениями где ζ
1
+ ζ
2
+ . . . те. при последовательном включении кажущиеся сопротивления скла- дываются.
Наоборот, если те же сопротивления включены параллельно, то мы получим соотношение v
= где+ . . . те. при параллельном включении складываются кажущиеся проводи- мости.
Графически построение полного кажущегося сопротивления при последовательном включении кажущихся сопротивлений ζ
1
, ζ
2
, . . . сводится просто к построению геометрической суммы векторов, изображающих эти комплексные числа.
Укажем построение в случае параллельного включения двух кажущихся сопротивлений и ζ
2
. Мы имеем по предыдущему правилу 1
ζ
1
+
1
ζ
2
=
ζ
1
ζ
2
ζ
1
+ Положив ρe
θi
,
ζ
1
= ρ
1
e
θ
1
i
,
ζ
2
= ρ
2
e
θ
2
i
,
ζ
1
+ ζ
2
= ρ
0
e
θ
0
i
,
181]
§ 17. Комплексные числа
561
мы будем иметь =
ρ
1
ρ
2
ρ
0
,
θ = θ
1
+ θ
2
− Это приводит нас к следующему геометрическому построению (рис. Находим прежде всего сумму ζ
1
+ ζ
2
= OC; затем строим AOD, подобный, для чего поворачиваем △ COB в положение и проводим прямую AD || Из подобия треугольников выводим = то есть =
ρ
1
ρ
2
ρ
0
,
θ = θ
2
− θ
0
(θ
1
= что и требовалось доказать.
3.
Рассмотрим связанные колебания двух цепей, находящихся в магнитном соединении (рис. 179). Пусть v
1
, означают внешнюю электродвижущую силу и силу тока вцепи силу тока вцепи (без внешней электродвижущей силы R
1
, R
2
, L
1
, L
2
, C
1
, C
2
— соответственно:
Рис. Рис. сопротивления, коэффициенты самоиндукции и емкости этих цепей, M коэффициенты взаимной индукции цепей I и Имеем соотношения v
1
= R
1
j
1
+ L
1
dj
1
dt
+ M
dj
2
dt
+
1
C
1
Z
j
1
dt,
0 = R
2
j
2
+ L
2
dj
2
dt
+ На чертеже мы для упрощения направили ось OX по вектору ζ
1
, что приводится к предположению θ
1
= 0. В общем случае достаточно повернуть ось
OX
на угол почасовой стрелке
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если рассматривать установившийся процесс, в котором напряжение и ток меняются по синусоидальному закону одинаковой частоты, то эти уравнения можно переписать в векторной форме+ ωL
1
i +
1
ωC
1
i
j
1
+ ωM ij
2
= ζ
1
j
1
+ ωM ij
2
,
0 = ωM ij
1
+
R
2
+ ωL
2
i +
1
ωC
2
i
j
2
= ωM ij
1
+ где и ζ
2
— кажущиеся сопротивления цепей I и II, если они взяты сами по себе. Решая относительно и j
2
, получим без труда j
1
=
ζ
2
ζ
1
ζ
2
+ ω
2
M
2
v
1
, j
2
= −
ωM
i
ζ
1
ζ
2
+ Переписав первое уравнение в виде:
v
1
=
ζ
1
+
ω
2
M
2
ζ
2
j
1
,
мы можем сказать, что наличие цепи II изменяет кажущееся сопротивление цепи I на слагаемое 182. Кривые в комплексной форме.
Если вещественные числа условимся изображать точками на данной оси OX, то изменение вещественной переменной приводится к передвижению соответствующей точки по оси OX. Совершенно аналогично изменению комплексной переменной приводится к передвижению изображающей точки по плоскости XOY Особенно интересен тот случай, когда переменная ζ при своем изменении описывает некоторую кривую это случится тогда, когда вещественная и мнимая части, те. координаты x и y, суть функции некоторого параметра u, который мы будем считать вещественным x = ϕ
1
(u),
y = Мы будем тогда писать просто = f (где f (u) = ϕ
1
(u) + и будем называть это уравнение — уравнением рассматриваемой кривой) в комплексной форме
182]
§ 17. Комплексные числа
563
Уравнения (41) дают параметрическое представление кривой в прямоугольных координатах. К представлению ее в полярных координатах мы придем, если напишем переменную ζ в показательной форме = ρe
θi
,
ρ = ψ
1
(u),
θ = В этом выражении множитель ρ есть нечто иное, как |ζ|, множитель же e
θi
, который в случае вещественных ζ(θ = или) совпадает со
«знаком» (±1), есть вектор длины единицы и обозначается символом = сокращенное латинское слово «Signum» — знак).
К необходимости рассмотрения уравнений кривых в комплексной форме приводят векторные диаграммы. Если мы в соотношении v
= ζj будем считать вектор тока j постоянным, но будем менять какую-нибудь из различных постоянных цепи, то будет меняться кажущееся сопротивление и вектор v; конец этого вектора v опишет кривую, которая называется диаграммой напряжения, построив которую, мы получим ясную картину изменения вектора v. Точка ζ также опишет кривую (диаграмма сопротивления, которая только выбором масштаба будет отличаться от диаграммы напряжения (за единицу будет принят вектор Рассмотрим теперь уравнения некоторых простейших кривых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку ζ
0
= x
0
+ y
0
i и образующий угол α с осью OX:
ζ = ζ
0
+ параметр u означает здесь расстояние, отсчитываемое от точки до ζ.
2. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом r:
ζ = ζ
0
+ re ui
3. Эллипс с центром вначале координат и полуосями a и b, причем большая ось направлена по оси OX, имеет в комплексной форме уравнение Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если большая ось образует угол с осью OX, то уравнение эллипса примет вид = e
ϕ
0
i
a + b
2
e ui
+
a − В общем случае, когда центр эллипса находится в точке и большая ось образует угол с осью OX, эллипс будет иметь уравнение = ζ
0
+ e
ϕ
0
j
a + b
2
e ui
+
a − Если b = a, уравнение это обращается в уравнение окружности радиуса+ где (ϕ
0
+ u), также как и u — вещественный параметр. Если b = 0, получим отрезок прямой = ζ
0
+ ae
ϕ
0
i e
ui
+ e
−ui
2
= ζ
0
+ ae
ϕ
0
i cos u,
ζ = ζ
0
+ образующий угол с осью OX, длины 2a, середина которого в точке, ибо параметр v = a cos u — вещественный, подобно u, но может принимать значения только между (−a) и (Рассматривая случаи окружности и отрезка прямой как предельные случаи эллипса, получающиеся, когда малая полуось становится равной большой или обращается в нуль, мы можем теперь сказать вообще, что уравнение = ζ
0
+ µ
1
e ui
+ где ζ
0
, µ
1
, µ
2
— какие угодно комплексные числа, всегда представляет уравнение эллипса.
В самом деле, положив M
1
e
θ
1
i
,
µ
2
= M
2
e
θ
2
i
,
θ
1
+ θ
2 2
= ϕ,
θ
1
− θ
2 2
= можем переписать уравнение (42) в виде = ζ
0
+ M
1
e
(u+θ
1
)i
+ M
2
e
−(u−θ
2
)i
= ζ
0
+ e
ϕ
0
i h
M
1
e
(u+θ
0
)i
+ M
2
e
(u+θ
0
)i откуда ясно, что рассматриваемая кривая есть действительно эллипс с центром в точке ζ
0
, полуосями (M
1
± M
2
), и большая ось которого образует угол с осью OX, те. имеет направление биссектрисы угла между
182]
§ 17. Комплексные числа
565
векторами и µ
2
. При M
2
= 0 эллипс обращается в окружность, при M
1
— в отрезок прямой. При исследовании явлений переменного тока в цепях с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями и самоиндукцией большое значение имеют кривые, уравнение которых в комплексной форме имеет вид = где ν и γ — какие угодно комплексные постоянные.
Положив ν = N
1
e
ϕ
0
i
, γ = a + bi и переходя к полярным координатам,
имеем отсюда = ρe
θi
= N
1
e
ϕ
0
i e
(a+bi)u
= N
1
e au то есть = N
1
e au
,
θ = bu + откуда u =
θ − или окончательно = N e a
b
θ
N = те. рассматриваемая кривая есть логарифмическая спираль
рис. соответствующий случаю a
b
> Рис. Рис. 181.
1
i +
1
ωC
1
i
j
1
+ ωM ij
2
= ζ
1
j
1
+ ωM ij
2
,
0 = ωM ij
1
+
R
2
+ ωL
2
i +
1
ωC
2
i
j
2
= ωM ij
1
+ где и ζ
2
— кажущиеся сопротивления цепей I и II, если они взяты сами по себе. Решая относительно и j
2
, получим без труда j
1
=
ζ
2
ζ
1
ζ
2
+ ω
2
M
2
v
1
, j
2
= −
ωM
i
ζ
1
ζ
2
+ Переписав первое уравнение в виде:
v
1
=
ζ
1
+
ω
2
M
2
ζ
2
j
1
,
мы можем сказать, что наличие цепи II изменяет кажущееся сопротивление цепи I на слагаемое 182. Кривые в комплексной форме.
Если вещественные числа условимся изображать точками на данной оси OX, то изменение вещественной переменной приводится к передвижению соответствующей точки по оси OX. Совершенно аналогично изменению комплексной переменной приводится к передвижению изображающей точки по плоскости XOY Особенно интересен тот случай, когда переменная ζ при своем изменении описывает некоторую кривую это случится тогда, когда вещественная и мнимая части, те. координаты x и y, суть функции некоторого параметра u, который мы будем считать вещественным x = ϕ
1
(u),
y = Мы будем тогда писать просто = f (где f (u) = ϕ
1
(u) + и будем называть это уравнение — уравнением рассматриваемой кривой) в комплексной форме
182]
§ 17. Комплексные числа
563
Уравнения (41) дают параметрическое представление кривой в прямоугольных координатах. К представлению ее в полярных координатах мы придем, если напишем переменную ζ в показательной форме = ρe
θi
,
ρ = ψ
1
(u),
θ = В этом выражении множитель ρ есть нечто иное, как |ζ|, множитель же e
θi
, который в случае вещественных ζ(θ = или) совпадает со
«знаком» (±1), есть вектор длины единицы и обозначается символом = сокращенное латинское слово «Signum» — знак).
К необходимости рассмотрения уравнений кривых в комплексной форме приводят векторные диаграммы. Если мы в соотношении v
= ζj будем считать вектор тока j постоянным, но будем менять какую-нибудь из различных постоянных цепи, то будет меняться кажущееся сопротивление и вектор v; конец этого вектора v опишет кривую, которая называется диаграммой напряжения, построив которую, мы получим ясную картину изменения вектора v. Точка ζ также опишет кривую (диаграмма сопротивления, которая только выбором масштаба будет отличаться от диаграммы напряжения (за единицу будет принят вектор Рассмотрим теперь уравнения некоторых простейших кривых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку ζ
0
= x
0
+ y
0
i и образующий угол α с осью OX:
ζ = ζ
0
+ параметр u означает здесь расстояние, отсчитываемое от точки до ζ.
2. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом r:
ζ = ζ
0
+ re ui
3. Эллипс с центром вначале координат и полуосями a и b, причем большая ось направлена по оси OX, имеет в комплексной форме уравнение Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Если большая ось образует угол с осью OX, то уравнение эллипса примет вид = e
ϕ
0
i
a + b
2
e ui
+
a − В общем случае, когда центр эллипса находится в точке и большая ось образует угол с осью OX, эллипс будет иметь уравнение = ζ
0
+ e
ϕ
0
j
a + b
2
e ui
+
a − Если b = a, уравнение это обращается в уравнение окружности радиуса+ где (ϕ
0
+ u), также как и u — вещественный параметр. Если b = 0, получим отрезок прямой = ζ
0
+ ae
ϕ
0
i e
ui
+ e
−ui
2
= ζ
0
+ ae
ϕ
0
i cos u,
ζ = ζ
0
+ образующий угол с осью OX, длины 2a, середина которого в точке, ибо параметр v = a cos u — вещественный, подобно u, но может принимать значения только между (−a) и (Рассматривая случаи окружности и отрезка прямой как предельные случаи эллипса, получающиеся, когда малая полуось становится равной большой или обращается в нуль, мы можем теперь сказать вообще, что уравнение = ζ
0
+ µ
1
e ui
+ где ζ
0
, µ
1
, µ
2
— какие угодно комплексные числа, всегда представляет уравнение эллипса.
В самом деле, положив M
1
e
θ
1
i
,
µ
2
= M
2
e
θ
2
i
,
θ
1
+ θ
2 2
= ϕ,
θ
1
− θ
2 2
= можем переписать уравнение (42) в виде = ζ
0
+ M
1
e
(u+θ
1
)i
+ M
2
e
−(u−θ
2
)i
= ζ
0
+ e
ϕ
0
i h
M
1
e
(u+θ
0
)i
+ M
2
e
(u+θ
0
)i откуда ясно, что рассматриваемая кривая есть действительно эллипс с центром в точке ζ
0
, полуосями (M
1
± M
2
), и большая ось которого образует угол с осью OX, те. имеет направление биссектрисы угла между
182]
§ 17. Комплексные числа
565
векторами и µ
2
. При M
2
= 0 эллипс обращается в окружность, при M
1
— в отрезок прямой. При исследовании явлений переменного тока в цепях с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями и самоиндукцией большое значение имеют кривые, уравнение которых в комплексной форме имеет вид = где ν и γ — какие угодно комплексные постоянные.
Положив ν = N
1
e
ϕ
0
i
, γ = a + bi и переходя к полярным координатам,
имеем отсюда = ρe
θi
= N
1
e
ϕ
0
i e
(a+bi)u
= N
1
e au то есть = N
1
e au
,
θ = bu + откуда u =
θ − или окончательно = N e a
b
θ
N = те. рассматриваемая кривая есть логарифмическая спираль
рис. соответствующий случаю a
b
> Рис. Рис. 181.
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Более сложные кривые типа = ν
1
e
γ
1
u
+ ν
2
e
γ
2
u
+ . . . + ν
s e
γ
s можно получить, построив составляющие спирали ν
1
e
γ
1
u
,
ζ
2
= ν
2
e
γ
2
u
,
. . . , ζ
s
= ν
s e
γ
s и вычисляя геометрически при каждом значении u сумму соответствующих значений ζ
1
, ζ
2
, . . . , рис. 181).
183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.
Гармоническое затухающее колебание выражается формулой+ где A и ε — положительные постоянные. Введем в рассмотрение комплексную величину = Ae(
ϕ
0
−
π
2
)
i e
1
e
γ
1
u
+ ν
2
e
γ
2
u
+ . . . + ν
s e
γ
s можно получить, построив составляющие спирали ν
1
e
γ
1
u
,
ζ
2
= ν
2
e
γ
2
u
,
. . . , ζ
s
= ν
s e
γ
s и вычисляя геометрически при каждом значении u сумму соответствующих значений ζ
1
, ζ
2
, . . . , рис. 181).
183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.
Гармоническое затухающее колебание выражается формулой+ где A и ε — положительные постоянные. Введем в рассмотрение комплексную величину = Ae(
ϕ
0
−
π
2
)
i e