Файл: Конспект подготовлен студентами, не проходил проф. Редактуру и может содержать ошибки. Следите за обновлениями на vk. Comteachinmsu.pdf

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
в) Покажем, что ∃ многоугольник D
0
⋐ G с границей ˜
Γ
1
∪ . . . ∪ ˜
Γ
m
, состоящий из замкнутых непересекающихся жордановых ломаных. В силу гладкости ∂D (в част- ности, γ
′
j
(t) ̸= 0 ∀t) у любой точки z
0
∈ ∂D ∃ окрестность в виде прямоугольника
P (z
0
), где D записывается как надграфик D ∩ P (z
0
) = {ξ + iη ∈ P (z
0
) | η > φ(ξ)}.
Тогда D
0
совпадает с D вне всех P (γ
j
(t i
)) и является надграфиком соответствую- щей кусочно-гладкой функции в P (γ
j
(t i
)). Будем выбирать δ таким малым, чтобы в каждый прямоугольник P (γ
j
(t i
)), кроме точки γ
j
(t i
), попадали ещё по 2 сосед- них вершины ломаных слева и справа от γ
j
(t i
) (то есть всего в прямоугольнике окажется 5 вершин). Тогда, так как расстояние между вершинами любого звена
<
ε
4
, то отсюда следует, что самопересечений ломаных и пересечений с другими компонентами нет. Отсюда вытекают все требуемые свойства D
0
Рис. 5.6: Надграфик в прямоугольной окрестности точки z
0 3) Рассмотрим сглаживание изломов с углами, отличными от 0 и 2π. Пусть угол между касательными лучами L
1
и L
2
в точке излома равен α, причём 0 < α < 2π.
Пусть меньший из углов поворота лучей L
1
и L
2
от оси x равен φ
0
. Рассмотрим конформное отображение ζ = ((z − z
0
)e
−iφ
0
)
π
α
, где φ
0
< arg(z − z
0
) < φ
0
+ α. Тогда сектор между L
1
и L
2
отобразится в верхнюю полуплоскость. В новых координатах касательные лучи L
1
и L
2
будут лежать на одной прямой и граница ∂D станет гладкой кривой. Обозначим новые координаты ξ и η. Пусть η = φ(ξ) – уравнение
∂D в новых координатах. ∃ψ(ξ) ∈ C
1
(окрестность 0) :
ψ(ξ) = φ(ξ) при |ξ| > ε
и ψ(ξ) > 0 при |ξ| ≤ ε (в том числе при ξ = 0). Прообраз графика ψ(ξ) при отображении ζ = ((z − z
0
)e
−iφ
0
)
π
α
даст искомое сглаживание.
Рис. 5.7: Сглаживание изломов с углами, отличными от 0 и 2π
4) Рассмотрим случай излома с углом 0 или 2π. При угле 0 надо обрезать область
33
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
так, как показано на рисунке, а при угле 2π надо добавить область так, как показано на рисунке. Дальнейшие действия сводятся к случаю (3).
Рис. 5.8: Сглаживание излома с углом, равным 0
(надо обрезать область с красными точками)
Рис. 5.9: Сглаживание излома с углом, равным 2π
(надо добавить область с синими точками)
34
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 6
Интегральная формула Коши
Утверждение 16. (Интегральная формула Коши)Пусть D ⊂ C – ограничен- ная область с кусочно-гладкой границей и f ∈ O(G) для некоторого открытого множества G ⊃ D. Тогда ∀a ∈ D имеем:
f (a) =
1 2πi
Z
∂D
f (z) dz z − a
(6.1)
Доказательство:
Будем использовать обозначение для открытого круга: B(a, r) := {z ∈ C |
|z − a| < r}.
Пусть ε > 0 :
B(a, ε) ⊂ D. Тогда множество D
ε
:= D\B(a, ε) тоже является ограниченной областью с кусочно-гладкой границей и функция g(z) :=
f (z)
z − a
∈
∈ O(D
ε
).
Рис. 6.1: Область D
ε
:= D\B(a, ε)
Значит, можно применить к g(z) интегральную теорему Коши (5): 0
=
=
Z
∂D
ε
g(z) dz =
Z
∂D
g(z) dz −
Z
∂B(a,ε)
g(z) dz, то есть
Z
∂D
f (z) dz z − a
=
Z
|z−a|=ε
f (z) dz z − a не зави- сит от ε, так как левая часть не зависит от ε. Покажем, что этот интеграл равен
2πif (a).
Вспомним формулу (4.3) из примера (2) из лекции 4, запишем её в следующем виде:
Z
|z−a|=R
(z − a)
n dz =
(
0,
n ∈ Z\{−1}
2πi,
n = −1
∀R > 0.
Рассмотрим следующий модуль разности и
применим формулы,
выпи- санные выше:
2πif (a) −
Z
∂D
f (z) dz z − a
=
Z
|z−a|=ε
f (a) dz z − a
−
Z
|z−a|=ε
f (z) dz z − a
=
35
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
=
Z
|z−a|=ε
f (a) − f (z)
z − a dz
≤
max
|r−a|=ε
f (z) − f (a)
z − a
· 2πε. Так как под модулем сто- ит разностное отношение, предел которого равен f
′
(a) при z → a, то ∃ε
0
:
max
|r−a|=ε
f (z) − f (a)
z − a
≤ |f
′
(a)| + 1 при 0 < ε < ε
0
. Тогда max
|r−a|=ε
f (z) − f (a)
z − a
· 2πε → 0
при ε → 0. Значит,
2πif (a) −
Z
∂D
f (z) dz z − a
→ 0 при ε → 0, но эта величина не зависит от ε, поэтому
2πif (a) −
Z
∂D
f (z) dz z − a
= 0 ⇔ f (a) =
1 2πi
Z
∂D
f (z) dz z − a
Замечание 10. Из формулы f (a) =
1 2πi
Z
∂D
f (z) dz z − a вытекает, что значения функ- ции f ∈ O(D) в области D однозначно определяются её значениями на ∂D.
Замечание 11. Если a ∈ C\D, то по интегральной теореме Коши (5) получаем:
1 2πi
Z
∂D
f (z) dz z − a
= 0.
Напоминание о равномерной сходимости
Определение 14. Пусть K ⊂ C – произвольное множество и функции f n
, f :
K
→ C ограничены. Ряд
∞
X
n=1
f n
(z) сходится к f (z) равномерно на K, если lim n→∞
f −
n
X
m=1
f m
K
= 0, где ∥g∥
K
:= sup |g(z)| при z ∈ K.
Свойства равномерной сходимости:
1) (Признак Вейерштрасса) Если f n
: K → C – ограниченная функция и
∃c n
> 0 (n = 1, 2, . . .) такие, что ∥f n
∥
K
≤ c n
∀n = 1, 2, . . . и
∞
X
n=1
c n
< +∞. Тогда ряд
∞
X
n=1
f n
(z) сходится равномерно на K.
Доказательство:
По критерию Коши ∀ε > 0 ∃N = N (ε) :
m
X
k=n c
k
< ε ∀m > n > N (ε). Тогда m
X
k=n f
k
(z)
≤
m
X
k=n
|f k
(z)| ≤
m
X
k=n c
k
< ε ∀m > n > N (ε) ∀z ∈ K. Следовательно,
ряд
∞
X
k=1
f k
(z) сходится ∀z ∈ K. Его сумма f (z) ограничена на K (числом
∞
X
k=1
c k
) и
36
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
предельный переход m → ∞ в полученном выше неравенстве m
X
k=n f
k
(z)
< ε ∀m >
> n > N (ε) ∀z ∈ K даёт, что f −
n−1
X
k=1
f k
K
≤ ε ∀n > N (ε), то есть ряд
∞
X
n=1
f n
(z)
сходится к f (z) равномерно на K.
2)
(Почленное интегрирование)
Пусть
D
⊂
C
–
открытое мно- жество, γ : [a, b] → D – кусочно-непрерывно-дифференцируемое отображение и f, f n
: D → C – такие непрерывные функции, что
∞
X
n=1
f n
(z) сходится к f (z) рав- номерно на γ([a, b]). Тогда
Z
γ
f (z) dz =
∞
X
n=1
Z
γ
f n
(z) dz.
Доказательство:
Z
γ
f dz −
n
X
k=1
Z
γ
f k
dz
=
Z
γ
f −
n
X
k=1
f k
!
dz
≤
f −
n
X
k=1
f k
γ([a,b])
· (длина γ) → 0
при n → ∞, так как по условию f −
n
X
k=1
f k
γ([a,b])
→ 0 при n → ∞.
Теорема о разложении голоморфной функции в степенной ряд
Теорема 6. Пусть f ∈ O(B(a, R)). Тогда ∀n = 0, 1, 2, . . . числа c
n
= c n
(f, a) :=
1 2πi
Z
|ζ−a|=r f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
(6.2)
не зависят от выбора r ∈ (0, R), и ∀z ∈ B(a, R) имеем:
f (z) =
∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
(6.3)
Доказательство:
Независимость c n
от r вытекает из интегральной теоремы Коши (5) для функ- ции g(z) =
f (z)
(z − a)
n+1
и области D = {r
1
< |z − a| < r
2
}, где r
1
< r
2
< R:
0 =
=
Z
∂D
g(z) dz =
Z
|z−a|=r
2
g(z) dz −
Z
|z−a|=r
1
g(z) dz, значит,
Z
|z−a|=r
1
g(z) dz =
Z
|z−a|=r
2
g(z) dz.
Фиксируем z ∈ B(a, R) и выберем любое r ∈ (|z − a|, R). Тогда по интегральной формуле Коши (6.1) f (z) =
1 2πi
Z
∂B(a,r)
f (ζ) dζ
ζ − z
37
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Рис. 6.2: Точка z фиксирована в круге радиуса r,
а точка ζ пробегает границу этого круга
Вспомним формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1 + q +
+ q
2
+ . . . =
1 1 − q при q ∈ C, |q| < 1.
Запишем разложение
1
ζ − z в ряд:
1
ζ − z
=
1
(ζ − a) − (z − a)
=
1
ζ − a
·
1 1 −
z − a
ζ − a
=
=
∞
X
n=0
(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
. Тогда ряд f (ζ)
ζ − z
=
∞
X
n=0
f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
сходится равномерно на
∂B(a, r) = {|ζ − a| = r} по признаку Вейерштрасса (свойство (1) равномер- ной сходимости), так как ∀ζ ∈ ∂B(a, r) выполнено неравенство f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
≤
≤
M
r
|z − a|
r

n
=
M
r q
n
, где M :=
max
ζ∈∂B(a,r)
|f (ζ)|, а q =
|z − a|
r
< 1.
По свойству (2) равномерной сходимости ряд f (ζ)
ζ − z
=
∞
X
n=0
f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
можно проинтегрировать почленно.
Тогда получим:
Z
|ζ−a|=r f (ζ) dζ
ζ − z
=
=
∞
X
n=0
Z
|ζ−a|=r f (ζ)(z − a)
n
(ζ − a)
n+1
dζ.
Поделим это равенство на
2πi,
получим:
1 2πi
Z
|ζ−a|=r f (ζ) dζ
ζ − z
=
∞
X
n=0 1
2πi
Z
|ζ−a|=r f (ζ)
(ζ − a)
n+1
dζ · (z − a)
n
. Воспользовавшись формулой Коши, написанной выше, и определением чисел c n
, получаем: f (z) =
=
∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
38
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Неравенства Коши
Утверждение 17. (Неравенства Коши) В условиях теоремы (6) о разложении голоморфной функции в степенной ряд имеем:
|c n
| ≤
M (r)
r n
(6.4)
∀n = 0, 1, 2, . . . при 0 < r ≤ R, где M (r) := max
|z−a|=r
|f (z)|.
Доказательство:
По определению (6.2) |c n
| =
1 2πi
Z
|ζ−a|=r f (ζ) dζ
(ζ − a)
n+1
≤
1 2π
max
|ζ−a|=r
|f (ζ)|
|ζ − a|
n+1
· 2πr ≤
≤
1 2π
M (r)
r n+1
· 2πr =
M (r)
r n
Теорема Лиувилля
Теорема 7. (Теорема Лиувилля) Если f ∈ O(C) и ∃M > 0 : |f (z)| ≤ M ∀z ∈ C,
то f ≡ const.
Доказательство:
Разложение с центром a = 0 f (z) =
∞
X
n=0
c n
z n
справедливо для всех z ∈ C, то есть неравенства Коши (6.4) верны ∀r > 0:
|c n
| ≤
M (r)
r n
≤
M
r n
∀r > 0 ∀n = 0, 1, 2, . . ..
При n ≥ 1 отсюда, устремляя r → ∞, получаем c n
= 0. Следовательно, f (z) =
=
∞
X
n=0
c n
z n
= c
0
≡ const ∀z ∈ C.
Сформулируем следствия из теоремы Лиувилля (7).
Утверждение 18. ∄ конформного отображения f : C → U = {w ∈ C | |w| < 1}
(хотя ∃ гомеоморфизм C на U ).
Доказательство:
Если f – такое конформное отображение, то f ∈ O(C), f
′
(z) ̸= 0
∀z ∈ C и
|f (z)| < 1 ∀z ∈ C, так как f(C) ⊂ U. Следовательно, по теореме Лиувилля (7)
f ≡ const. Это противоречит конформности (и взаимооднозначности) f .
Упражнение 9. Докажите, что на полуплоскость {Im w > 0} и даже на плос- кость без луча C\(−∞, 0] тоже нельзя конформно отобразить C, хотя они и не ограничены.
Теорема 8. (Основная теорема алгебры) Любой полином P (z) = z n
+ a
1
z n−1
+
+ . . . + a n
, где a
1
, . . . , a n
∈ C и n ≥ 1, имеет хотя бы один корень в C (то есть
∃z
0
∈ C : P (z
0
) = 0).
39
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Доказательство:
Иначе функция f (z) :=
1
P (z)
будет O(C). Но если R > max(2(|a
1
|+. . .+|a n
|), 1), то при |z| ≥ R имеем: |P (z)| ≥ |z n
|−(|a
1
|·|z|
n−1
+. . .+|a n
|) ≥ R
n
−(|a
1
|·R
n−1
+. . .+|a n
|) ≥
≥ R
n
−
R
n
2
=
R
n
2
. Таким образом, |f (z)| ≤
2
R
n при |z| ≥ R. А max
|z|≤R
|f (z)| ≤ const по теореме Вейерштрасса о непрерывной функции на компакте ⇒ f ограничена на C ⇒ f ≡ const по теореме Лиувилля (7) ⇒ P ≡ const ⇒ deg P = 0. Это противоречит условию n ≥ 1.
40
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Лекция 7
Формула Коши-Адамара
Утверждение 19. (Формула Коши-Адамара) Пусть a, b n
∈ C, n = 0, 1, 2, . . ..
Определим R ∈ [0, +∞] формулой
1
R
= lim n→∞
n p|b n
|.
(7.1)
Тогда степенной ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n сходится при |z − a| < R, причём абсолютно и равномерно на каждом компакте K ⊂ B(a, R), и расходится при |z − a| > R.
Доказательство:
1) Пусть 0
<
R
<
+∞. Тогда формула (7.1) эквивалентна тому, что lim n→∞
n p|b n
|R
n
= 1.
Докажем абсолютную и равномерную сходимость при |z − a| < R. ∀ компакта
K ⊂ B(a, R) ∃r ∈ (0, R) : K ⊂ B(a, r) (достаточно взять max z∈K
|z − a| < r < R).
По определению lim из равенства lim n→∞
n p|b n
|R
n
= 1 вытекает, что ∀ε > 0 ∃N =
= N (ε) : n > N
⇒ |b n
|R
n
< (1 + ε)
n
. Выберем ε > 0 так, чтобы выполнялось неравенство (1 + ε)
r
R
=: q < 1. Тогда ∀n > N (ε) ∀z ∈ K имеем: |b n
(z − a)
n
| = |b n
|R
n
·
·
|z − a|
n
R
n
< (1+ε)
n
·

r
R

n
= q n
. Таким образом, ряд
∞
X
n=0
b n
(z−a)
n сходится абсолютно и равномерно на K по признаку Вейерштрасса (так как ряд
∞
X
n=0
q n
сходится при
0 ≤ q < 1).
Докажем расходимость при |z − a| > R. По определению lim из равенства lim n→∞
n p|b n
|R
n
= 1 вытекает, что ∀ε > 0 ∃ подпоследовательность n k
→ ∞ : |b n
|R
n
>
> (1 − ε)
n при всех n = n k
. Выберем ε > 0 так, чтобы выполнялось неравенство
(1 − ε)
|z − a|
R
=: Q > 1. Тогда при n = n k
получаем: |b n
(z − a)
n
| = |b n
|R
n
·
|z − a|
n
R
n
>
> (1 − ε)
n
|z − a|
n
R
n
= Q
n
→ ∞ при n k
→ ∞. Таким образом, b n
(z − a)
n
̸→ 0 при n → ∞, значит, ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n расходится.
2) Пусть R = 0, то есть lim n→∞
n p|b n
| = +∞. Тогда ∀z ∈ C\{a} будет выполнено неравенство n
p|b n
| · |z − a|
n
> 2 при n = n k
→ ∞. Таким образом, b n
(z − a)
n
̸→ 0
при n → ∞, значит, ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n расходится ∀z ∈ C\{a}.
3) Пусть R = +∞, то есть lim n→∞
n p|b n
| = 0, то есть lim n→∞
n p|b n
| = 0. ∀ компакта
K ∈ C положим r := max z∈K
|z − a|. Тогда ∀z ∈ K имеем:
n p|b n
(z − a)|
n
≤
n p|b n
| · r → 0 41
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
при n → ∞. Значит, ∃N :
n > N
⇒
n p|b n
(z − a)|
n
<
1 2
. Следовательно, ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n сходится абсолютно и равномерно на K по признаку Вейерштрасса
(так как ряд
∞
X
n=0
q n
сходится при q =
1 2
).
Определение 15. Число R ∈ [0, +∞] называется радиусом сходимости ряда
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n
, а открытый круг B(a, R) = {z ∈ C | |z − a| < R} (равный ∅ при
R = 0 или C при R = +∞) называется кругом сходимости этого ряда.
Приведём примеры.
1) Для ряда
∞
X
n=1
n n
z n
радиус сходимости R = 0.
2) Для ряда
∞
X
n=0
z n
радиус сходимости R = 1.
3) Для ряда
∞
X
n=1

z n

n радиус сходимости R = +∞.
Сформулируем следствие из формулы Коши-Адамара.
Утверждение 20. Любой степенной ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n сходится равномерно на компактных подмножествах в своём круге сходимости. В частности, его сумма f (z) =
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n непрерывна в круге сходимости B(a, R).
Упражнение 10. Введём обозначение: R
1
:= sup {r ≥ 0 | последовательность
|b n
|r n
ограничена}. Доказать непосредственно, что ряд
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n сходится при |z − a| < R
1
и расходится при |z − a| > R
1
(Это даёт доказательство предыдущего утверждения без lim).
Голоморфность суммы степенного ряда
Теорема 9. Сумма f (z) =
∞
X
n=0
b n
(z − a)
n любого степенного ряда голоморфна в его круге сходимости B(a, R), причём ∀z ∈ B(a, R) имеем:
f
′
(z) =
∞
X
n=1
nb n
(z − a)
n−1
(7.2)
42
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
Доказательство:
Заметим, что ряд g(z) :=
∞
X
n=1
nb n
(z − a)
n−1
сходится равномерно на компактах в круге сходимости B(a, R). Действительно, любой компакт K ∈ B(a, R) лежит в
B(a, r) для некоторого r < R (мы считаем, что R > 0, иначе нечего доказывать).
Выберем любое ρ ∈ (r, R). Тогда последовательность |b n
|ρ
n ограничена (так как ряд
∞
X
n=0
|b n
|ρ
n сходится по определению R), то есть ∃C > 0 : |b n
|ρ
n
≤ C. Следовательно,
∀z ∈ K имеем: n|b n
||z − a|
n−1
≤ n|b n
|r n−1
≤ n ·
C
ρ
n
· r n−1
=
C
ρ
· nq n−1
, где q =
r
ρ
<
< 1. Поскольку
∞
X
n=1
nq n−1
< +∞, ряд
∞
X
n=1
nb n
(z − a)
n−1
сходится равномерно на K
по признаку Вейерштрасса. Следовательно, g(z) непрерывна в круге B(a, R). При этом ∀ открытого треугольника T :
T ⊂ B(a, R) в силу равномерной сходимости на компакте ∂T имеем:
Z
∂T
g(z) dz =
∞
X
n=1
nb n
Z
∂T
(z − a)
n−1
dz. По лемме Гурса (1) (или по формуле Ньютона-Лейбница (4.2))
Z
∂T
(z − a)
n−1
dz = 0 ∀n ≥ 1, значит,
Z
∂T
g(z) dz =
= 0. Следовательно, по теореме (4) о ∃ первообразной в круге функция G(z) :=
:=
Z
[a,z]
g(ζ) dζ ∈ O(B(a, R)) и G
′
= g в B(a, R). Но g(z) :=
∞
X
n=1
nb n
(z − a)
n−1
сходится равномерно на [a, z], следовательно, G(z) =
∞
X
n=1
nb n
Z
[a,z]
(ζ − a)
n−1
dζ =
∞
X
n=1
b n
(z −
− a)
n
= f (z) − b
0
(применили формулу Ньютона-Лейбница (4.2)). Следовательно,
f (z) = G(z) + b
0
голоморфна в B(a, R) и f
′
(z) = g(z) в B(a, R).
Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций
Утверждение 21. Для любой f ∈ O(D), где D ∈ C – открытое множество,
имеем: f
′
∈ O(D). В частности, любая голоморфная функция имеет производные всех порядков: f
′
, f
′′
, . . ..
Доказательство:
∀a ∈ D пусть U = B(a, r) – круг, лежащий в D. По теореме (6) о разложении голоморфной функции в степенной ряд ∀z ∈ U имеем: f (z) =
∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
, где c
n
:=
1 2πi
Z
|z−a|=ρ
f (z) dz
(z − a)
n+1
, где c n
не зависят от выбора ρ ∈ (0, r).
Следовательно, U лежит в круге сходимости B(a, R) ряда
∞
X
n=0
c n
(z − a)
n
, тогда по
43
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА