функциясының   нүктесіндегі мәні   интервалындағы ең үлкен болатындығы шығады, яғни барлық    үшін   болады. Бұл   функциясының максимум нүктесі болатындығын білдіреді.

 

	9.2-сурет-  нүктесі max және min нүктелері

 

Функцияны экстремумға зерттеу оның барлық экстремумдарын табу деген сөз. Функцияны экстремумға зерттеудің келесі ережелері шығады:

1)   функциясының күдікті нүктелерін табу;

2) олардың ішінен тек анықталу облысының кіретін ішкі нүктелерді таңдап алу;

3) таңдалған әрбір күдікті нүктелердің әрқайсысының оң жағынан және сол жағынан  f ^/(x) туындысының таңбасын зерттеу;

4) 4. теоремасына (экстремумның жеткілікті шарты) сәйкес экстремум нүктелерді (егер олар бар болса) жазып алу және олардағы функция мәнін есептеу.

Теорема 5.  Егер   нүктесінде   функциясының бірінші туындысы нөлге тең (f ^/(x₀)=0)), ал   нүктесіндегі екінші туындысы бар болса, және нөлге тең болмаса, онда f ^//(x₀)<0  болғанда 

---

 нүктесінде функция максимумға ие, ал  f ^//(x₀)>0  болғанда минимумға ие

Д/уі.   болсын делік.   болғандықтан,   нүктесінің аз маңайында   болады. Егер    болса, онда  ; егер    болса, онда    болады. Осылайша,    нүктесі арқылы өткенде бірінші туындының таңбасы минустан плюске өзгереді. Сәйкесінше,  минимум нүкте. Егер   болса, онда   нүктесінде функция максимумға ие болатындығы  осылайша дәлелденеді.

 

 

3. Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәні

 

 функциясы  кесіндісінде үзіліссіз болсын. Мұндай функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәнін қабылдайды және олар не   кесіндісінің ішкі нүктесінде, не кесіндінің ұштарында, яғни   не 

---

 болғанда. Егер   болса, онда   нүктесін берілген функцияның күдікті нүктелерінен іздек керек.

 кесіндісінде функцияның ең үлкен, ең кіші мәндерін табудың келесі ережесін аламыз:

1)   -да функцияның ең үлкен, ең кіші мәндерін табудың келесі ережелерін аламыз;

2) табылған күдікті нүктелердегі функцияның мәнін есептеу;

3) кесінді ұштарында, яғни   нүктелеріндегі функция мәнін есептеу;

4) барлық табылған мәндер ішінен ең үлкені мен ең кішісін таңдау.

 

 

4 .Функция графигінің дөңестігі, иілу нүктелері

 

Егер   дифференциалданатын функциясының графигі оған жүргізілген кез-келген жанамадан жоғары болса, онда график – төменнен дөңес деп, егер жанамадан төмен болса, график – жоғарыдан дөңес деп аталады.

Үзіліссіз   функциясының дөңестігі әртүрлі бөліктерін ажыратып тұратын нүкте–иілу нүктесі деп аталады. 9.3–суретте   қисығы   интервалында жоғарыдан ойыс,   интервалында төменнен ойыс, ал  –иілу нүктесі.

 

	9.3-сурет. М нүктесі иілу нүктесі

---

 

Жоғарыдан және төменнен ойыс интервалдар келесі теореманың көмегімен табылады.

Теорема 5. Егер   функциясының   интервалының барлық нүктесінде екінші туындысы теріс, яғни f ^//(x)<0  болса, онда осы интервалда функция графигі жоғарыдан дөңес. Егер  f ^//(x)>0,  x (a; b) болса, функция графигі төменнен дөңес.

Д/уі:  үшін   болсын. Функция графигінен абциссасы:   болатын кез-келген нүктені алып, М арқылы жанама жүргізейік. Функция графигі жанамадан төмен орналасқанын көрсетейік. Ол үшін   нүктесінде    қисығының   ординатасымен   салыстырайық. Біз білетіндей, жанаманың теңдеуі мына түрде болады:

, яғни  . Лагранж теоремасы бойынша  , мұнда c   және   нүктелерінің арасында жатыр. Сондықтан,

,

---

яғни  .   айырманы тағы да Лагранж формуласы бойынша түрлендірелік:

мұнда   және с арасында жатыр.

Осылайша,

.

Осы теңдікті зерттейміз:

1)    егер  , онда  ,    және . Демек  , яғни ;

2)    егер  , онда  ,    және . Демек  , яғни .

Сонымен,   интервалының барлық нүктелерінде жанаманың ординатасы графиктің ординатасынан үлкен екендігі дәлелденді, яғни функция графигі жоғарыға дөңес. Осыған ұқсас, 

---

Смотрите также файлы

• Доклад на тему биография Ивана Сергеевича Тургенева.docx

• Идея научной философии в позитивизме.docx

• Семинар 2 с примерами решения задач по логике к теме Понятие (часть 2).docx

• Аттестация прокурорских работников.pptx

• Лица, участвующие в деле и другие участники процесса как субъекты гражданских процессуальных правоотношений.doc