Файл: Санктпетербургский.pdf

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
42 информационных сигналов, как правило, имеют непрерывную природу и отображаются непре- рывными (аналоговыми) сигналами. Цифровая обработка сигналов (ЦОС или DSP - digital signal processing) оперирует исключительно с дискретными величинами, причем с квантовани- ем как по координатам динамики своих изменений (во времени, в пространстве, и любым дру- гим изменяемым аргументам), так и по амплитудным значениям физических величин.
Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычис- лительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дис- кретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к су- щественным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.
Стимулом быстрого развития дискретной математики является и то, что стоимость циф- ровой обработки данных меньше аналоговой и продолжает снижаться, даже при очень сложных ее видах, а производительность вычислительных операций непрерывно возрастает. Немаловаж- ным является также и то, что системы ЦОС отличаются высокой гибкостью. Их можно допол- нять новыми программами и перепрограммировать на выполнение различных функций без из- менения оборудования. В последние годы ЦОС оказывает постоянно возрастающее влияние на ключевые отрасли современной промышленности: телекоммуникации, средства информации, цифровое телевидение и пр. Следует ожидать, что в обозримом будущем интерес и к научным, и к прикладным вопросам цифровой обработки сигналов будет нарастать во всех отраслях науки и техники.
Цифровые сигналы формируются из аналоговых операцией дискретизации – последова- тельными квантованными отсчетами (измерением) амплитудных значений сигнала через опре- деленные интервалы времени t или любой другой независимой переменной x. В принципе известны методы ЦОС для неравномерной дискретизации данных, однако области их примене- ния достаточно специфичны и ограничены. Условия, при которых возможно полное восстанов- ление аналогового сигнала по его цифровому эквиваленту с сохранение всей исходно содер- жавшейся в сигнале информации, выражаются теоремами Найквиста, Котельникова, Шеннона, сущность которых практически одинакова.
Для дискретизации аналогового сигнала с полным сохранением информации в его циф- ровом эквиваленте максимальные частоты в аналоговом сигнале должны быть не менее чем вдвое меньше, чем частота дискретизации
(f дискретизации)
=f д, то есть:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
43
ции
дискретиза
f
f
2
max

; min t
2 1

=
Д
f
3.1
Если это условие нарушается, в цифровом сигнале возникает эффект маскирования
(подмены) действительных частот «кажущимися» более низкими частотами. Наглядным при- мером этого эффекта может служить иллюзия, довольно частая в кино – колесо автомобиля начинает вращаться против его движения, если между последовательными кадрами (аналог ча- стоты дискретизации) колесо совершает более чем пол-оборота. При этом в цифровом сигнале вместо фактической регистрируется «кажущаяся» частота, а, следовательно, восстановление фактической частоты при восстановлении аналогового сигнала становится невозможным.
3.2. 1 Арифметические операции над наблюдениями
Вычисление среднего значения. Выборочное среднее значение находится в виде:

=
−
=
1 1
n
n
u
N
u
где N — число отсчетов, а un - значения отсчетов. Рассчитываемая по этой формуле величина
- u
представляет несмещенную оценку истинного среднего значения
.
Приведение процесса к нулевому среднему значению
Для упрощения последующих расчетов и выкладок желательно преобразовать процесс таким образом, чтобы среднее его значение было равно нулю. Определим новую реализацию в виде:
- u
- u(t)
x(t) =
Тогда последовательность {x n
} значений функции x(t) определяется в виде:
−
−
=
+
=
u
u
nh
t
x
x
n
n
)
(
0
N
1,2,.....,
n =

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
44
В этом случае имеем:
0
x
-
=
. Цель представления исходного процесса в виде последова- тельности {x n
}, вместо {u n
}состоит в том, чтобы показать, что среднее значение последова- тельности {x n
} равно нулю.
Вычисление стандартного отклонения. Этот параметр определяется как стандартное отклонение. Выборочное стандартное отклонение вычисляется как:
2
/
1
N
1
n
2
n
]
1
)
(x
[
s

=
−
=
N
где N — число отсчетов, а x n
значения преобразованного процесса со средним
0
x
-
=
. Рассчи- тываемые по этой формуле величины s и s
2
представляют собой несмещенные оценки истин- ных значений стандартного отклонения х и дисперсии х
2
Приведение к единичному стандартному отклонению.
При использовании компьютера удобно выполнить еще одно преобразование процесса.
Умножая преобразованные значения x n
на 1/s, подучим последовательность:
,
z n
s
x
n
=
N
,........,
2
,
1
=
n
Такой процесс будет иметь нулевое выборочное среднее значение равное единице и рав- ное единице выборочное стандартное отклонение.
Исключение тренда
В некоторых случаях в данные наблюдений приходится вводить специальную поправку, чтобы исключить тренд, который определяется как любая составляющая процесса, период ко- торой превышает длину реализации. Отметим, в частности, что высокочастотные цифровые фильтры не позволяют подавить такие колебания. Поэтому необходим специальный метод ис- ключения тренда. Линейный или полиномиальный более высокого порядка тренд может быть исключен при помощи метода наименьших квадратов. Другим, сравнительно менее точным ме- тодом исключения линейного (и только линейного) тренда является метод среднего наклона.
Рассмотрим эти методы.
Метод среднего наклона. Пусть исходная случайная реализация u(t) имеет вид:
)
(
)
2
(
u u(t)
-
t
x
T
t
r
u
+
−
+
=
−

r
T
t 

0

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
45 где
−
u
- выборочное среднее значение функции u(t) на интервале (О, Т
r
); параметр
−
u

означает средний наклон функции u(t) относительно t, a x(t) - исправленная реализация с нуле- вым средним значением и с нулевым средним наклоном. Полагаем, что исследуемая функция имеет нулевой средний наклон, который характеризуется значением:
0
=
−
u

Интегрируя u(t) в пределах от 0 до Т
r
/3 и от 2 Т
r
/3 до Тr и вычитая первый интеграл из второго, найдем значение параметра аи в виде:




−
=


−
r
r
r
T
T
T
r
r
dt
t
u
dt
t
u
T
T
3
/
2 3
/
0
u
)
(
)
(
3
/
2
)(
3
/
(
1

Заменяя непрерывные функции дискретной последовательностью:
N
........,
,
3
,
2
,
1
},
{u n
=
n
Где
Д
r f
T
N =
получаем:






−
=


−
=
=
−
N
N
n
n
n
n
u
u





1
д u
)
-
N
)(
f
(
1
где частота дискретизации min д
1
f


=
, а параметр  соответствует наибольшему целому числу, примерно равному N/3
Метод наименьших квадратов.
Покажем теперь, каким образом используется для исключения тренда метод наименьших квад- ратов. Обозначим, как и прежде, значения процесса, отстоящие друг от друга на интервал f д
, через {un}, n= 1, 2,……, N. Пусть для тренда, содержащегося в анализируемых данных, требу- ется найти приближение в виде полинома степени К:

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
46
N
n
nf
b
Д
K
k
k
,......,
2
,
1
,
)
(
u k
0
^
=
=

=
Согласно методу наименьших квадратов, последовательность коэффициентов {b k
} вы- бирается таким образом, чтобы неотрицательная при любых значениях b = (b
0
, b
1
, b
2
, …. b k
) величина:
2 0
0
k
2
^
N
1
n n
)
(
)
(u
Q(b)



=
=
=






−
=
−
=
N
k
K
k
Д
k
n
n
nf
b
u
u
была наименьшей. Искомая последовательность коэффициентов отыскивается путем прирав- нивания нулю частных производных уравнения этого выражения по переменной b l
;
]
)
(
][
)
(
[
2
b
Q
k
0 1
l
l
Д
Д
K
k
k
N
n
n
nf
nf
b
u
−
−
=




=
=
В результате получается система из К + 1 уравнений, решение которых позволяет опре- делить:
−
−
−
+
=


=
=
)
1
(
6
)
1 2
(
2
b
1 1
0
N
N
nu
u
N
N
n
N
n
n
n
−
+
−
−
−
=


=
=
1)
N
)(
1
(
)
1
(
6 12
b
1 1
0
N
Nf
u
N
nu
Д
N
n
N
n
n
n
1)
N
)(
1
(
)
1
(
6 12
b
1 1
1
+
−
−
−
=


=
=
Т
Nf
u
N
nu
Д
N
n
N
n
n
n
Полученные таким путем оценки оказываются более точными, чем в случае исключения линейного тренда по методу среднего наклона. Метод наименьших квадратов позволяет доста- точно эффективно и просто исключить и тренд, представленный полиномом второго или треть-

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
47 его порядка. Пример исключения линейного тренда показан на рис. 3.1. Пример исключения низких и высоких частот, фильтрации сигнала, показан на рис. 3.2.
Исключение тренда является важным промежуточным этапом цифрового анализа, и ему следует уделять должное внимание. Если в данных наблюдений содержится тренд, то при по- следующей обработке в оценки корреляционных функций и спектральных плотностей могут быть внесены сильные искажения.
В частности, совершенно недостоверной окажется оценка спектральной плотности на низких частотах. В некоторых задачах знание тренда желательно само по себе. Однако здесь нужно проявлять осторожность: исключение тренда следует производить только в том случае, если его присутствие очевидно или вытекает из физических соображений.
Рис. 3.1 Примеры обработки сигналов: исключения линейного тренда

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
48
Рис. 3.2 Пример фильтрации сигнала
а) исходная реализация сигнала; б) реализация после фильтрации высоких частот; в) реализа-
ция после фильтрации низких частот
3.3 Применение цифровых фильтров
Фильтрацию данных наблюдений можно осуществлять с целью сглаживания процесса, выделения составляющих в отдельных частотных диапазонах и исследования их свойств. На рис. 3.2 показано действие высокочастотного и низкочастотного фильтров на процесс, состоя- щий из суммы гармонического колебания и высокочастотного шума. Высокочастотный фильтр пропускает обладающий высокой частотой шум, а низкочастотный — выделяет сглаженное гармоническое колебание.
Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются:
•
Высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы).
•
В отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характе- ристик элементов.
•
Гибкость настройки, легкость изменения.
• компактность — аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей.

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
49
Недостатками цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми являются:
•
Трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой
Найквиста, равной половине частоты дискретизации сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сиг- нала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, за- тем обрабатывают сигнал цифровым фильтром.
•
Трудность работы в реальном времени — вычисления должны быть завершены в тече- ние периода дискретизации.
•
Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.
Рассмотрим теоретические основы цифровой фильтрации. Общее соотношение между процессами x(t) на входе и у(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки:



=
-
)d
-
)x(t h(
y(t)



3.2 где h() — весовая функция фильтра. Его частотная характеристика представляет собой преобразование Фурье функции h():




d
)
2
)exp(- h(
H(f)
-



=
3.3
При построении цифрового фильтра в противоположность аналоговому случаю нет необходи- мости вводить условие физической осуществимости. Иначе говоря, не нужно требовать, чтобы весовая функция h() была равна нулю при < 0 поскольку данные могут быть накоплены в компьютере и в нужный момент поданы на фильтр, реализуемый программно.
Примеры идеальных амплитудных частотных характеристик H(f) низкочастотного, вы- сокочастотного и полосового фильтров показаны на рис. 3.3. Частотные характеристики рас- сматриваемых ниже цифровых фильтров изображены на рис. 3.4 . Такие фильтры легко про- граммируются, причем в программе достаточно указать лишь некоторые простые их парамет- ры, в частности, частоту среза f
0
и требуемую скорость затухания частотной характеристики.
3.4 Нерекурсивные цифровые фильтры

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
50
Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр) представляет один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограни- ченность по времени его импульсной характеристики. Для такого фильтра с какого-то момента времени импульсная характеристика становится точно равной нулю. Фильтр называют нере- курсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого филь- тра представлен константой.
Эквивалентная уравнению (3.2) конечная сумма при t
k t

=
, k = 1, 2, ….., М, может быть записана в виде выражения:
),
(
y
1
n
k
n
M
k
k
n
k
x
x
h
−
=
+
+
=

N
,........,
2
,
1
=
n
3.4 характеризующего симметричный фильтр, для которого h
k
= h
-k
. Заметим, что в равенство (3.4) входят будущие значения входного процесса. Для удоб-
Рис. 3.3 Амплитудные час- тотные характеристики иде- альных фильтров
а) низкочастотный фильтр;
б)высокочастотный фильтр;
в) полосовой фильтр
Рис. 3.4 Амплитудные час- тотные характеристики циф- ровых фильтров а) низкочастотный фильтр;
б)высокочастотный фильтр;
в) полосовой фильтр

Системный анализ и принятие решений Макаров Л.М.
51 ства интервал дискретности t обычно включается в значения весовой функции h k
фильтра. В случае симметричного фильтра эквивалентная уравнению (3.3) конечная сумма определяет фильтр, фазовая частотная характеристика которого равна нулю:

=

=
M
1
k
)
2
cos(
2
H(f)
t
fk
h
k

3.5
Если из физических соображений желательно получить отличную от нуля фазовую ча- стотную характеристику, то это можно сделать используя несимметричный фильтр. Заметим, что общее число коэффициентов h k
(называемых весами фильтра) в формулах (3.4) и (3.5) рав- но М. Эти веса определяются обратным преобразованием Фурье уравнения (3.5):
df
t
fk
f
H
)
2
cos(
)
(
h k



−

=

3.6
Симметричные или несимметричные фильтры такого типа называются нерекурсивными цифровыми фильтрами, поскольку каждое значение выходного процесса есть результат преоб- разования лишь конечного числа значений процесса на входе.
В качестве примера рассмотрим нерекурсивный низкочастотный цифровой фильтр. Рас- смотрим в качестве примера последовательность весов симметричного нерекурсивного низко- частотного фильтра с идеальной частотной характеристикой:
Согласно формуле (3.6), веса фильтра {h k
} определяются выражением:
Таким образом, значения весов пропорциональны величине 1/k, так что первые весовые коэф- фициенты фильтра затухают довольно медленно. На практике для построения подобного филь- тра приходится задавать слишком много весовых коэффициентов. Типичный случай соответ- ствует примерно 100 коэффициентам. Вычисление столь длинного ряда весовых коэффициен- тов характеризует метод фильтрации неэффективным. Значение частотной характеристики (3.7)





−
=
f
__других__
__
0
f
__
__
1
H(f)
0 0
при
f
f
при
3.7

−


=

=
0 0
)
2
sin(
)
2
cos(
h
0
k
f
f
t
k
t
k
f
df
t
fk



3.8