ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

«Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей»

Данные представлены таблицей значений независимой переменной X и зависимой переменной Y.

Задание

1.Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи.

2.На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3.Составить уравнение парной регрессии Y = b₀ + b₁X.

4.Нанести данные на чертеж и изобразить прямую регрессии.

5.С помощью коэффициента детерминации R² оценить качество построенной модели.

6.Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа.

7.При уровне значимости  = 0,05 построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии β₁, β₀ и сделать вывод об их значимости.

8.При уровне значимости  = 0,05 получить доверительные интервалы для оценки среднего и индивидуального значений зависимой переменной Y, если значение объясняющей переменной X принять равным x^*.

9	x	26	23	22	25	24	29	25	25	30	23
	y	29	23	24	30	26	30	27	28	32	23

Решение

1. Вычисление коэффициента корреляции

---

проведем по формуле:

,

а расчёт параметров b₁ и b₀ выборочного уравнения парной регрессии соответственно по формулам:

, ,

где , , а n – объём выборки.

Для расчётов удобно использовать следующую таблицу:

Таблица 1

Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения парной регрессии

№
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	26	29	4	841	754	28,067	0,933	0,870
2	23	23	676	529	529	24,815	-1,815	3,296
3	22	24	529	576	528	23,732	0,268	0,072
4	25	30	484	900	750	26,983	3,017	9,101
5	24	26	625	676	624	25,899	0,101	0,010
6	29	30	576	900	870	31,319	-1,319	1,739
7	25	27	841	729	675	26,983	0,017	0,000
8	25	28	625	784	700	26,983	1,017	1,034
9	30	32	625	1024	960	32,403	-0,403	0,162
10	23	23	900	529	529	24,815	-1,815	3,296
	252	272	5885	7488	6919	272	0	19,581

---

Столбцы 7 – 9 таблицы 1 заполняются после получения выборочного уравнения прямой регрессии и будут необходимы для выполнения последующих пунктов задания.

Используя результаты вычислений, представленные в таблице 1, найдём значение выборочного коэффициента корреляции:

.

Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными и имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением одной из переменных значения другой переменной также увеличиваются.

2. Для оценки значимости коэффициента корреляции следует использовать статистику

,

которая в условиях нулевой гипотезы H₀:ρ_xy = 0 имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным n – 2. В нашем случае получаем следующее расчётное значение статистики:

.

Используя таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне надёжности и числе степеней свободы, равном 8, определим критическое значение статистики: .

Поскольку , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

3. Для того чтобы составить выборочное уравнение прямой регрессии, необходимо вычислить коэффициенты b₁ и b₀. Используя результаты расчётов, представленных в таблице 1, находим:



,

.

Таким образом, получаем следующее регрессионное уравнение:

.

4. Прямая регрессии представлена на рисунке 1.

---

Рисунок 1 – График линейной регрессионной модели
5. Качество регрессионной модели может быть оценено с помощью коэффициента детерминации R², который определяется формулой:

,

где ŷ_i = b₀ + b₁x_i, – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений X в уравнение регрессии. Для вычисления этих значений используются столбцы 7 – 9 таблицы 1. В нашем случае имеем:

.

Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной Y воспроизводит (объясняет) построенное уравнение регрессии. В нашем случае построенное уравнение регрессии на 78,15% объясняет зависимость переменной от переменной X.

6. Проверка значимости уравнения регрессии заключается в установлении его существенности. Другими словами эта проверка даёт ответ на вопрос о том, насколько можно быть уверенным, что рассматриваемая регрессионная зависимость действительно наличествует в генеральной совокупности, а не является результатом случайного отбора наблюдений.

Проверка значимости регрессионной зависимости производится методом однофакторного дисперсионного анализа, где в качестве фактора выступает построенное уравнение регрессии. Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде стандартной таблицы 2.

Таблица 2

Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	F -отношение
Регрессия		1
Остаточная		n – 2
Общая		n – 1

---

В нашем случае при расчёте сумм квадратов следует принять во внимание следующие равенства:

;

RSS = TSS – ESS.

С учётом результатов, представленных в таблице 1, получим следующие значения:

; ;

.

Тогда таблица дисперсионного анализа примет вид таблицы 3.

Таблица 3

Результаты дисперсионного анализа

Компоненты вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты	F -отношение
Регрессия	70,019	1	70,019
Остаточная	19,581	8	2,448
Общая	89,6	9

При отсутствии линейной зависимости между переменными X и Yстатистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v₁ = 1; v₂ = n – 2 = 8.

Принимая стандартный 5% уровень значимости, в таблице критических точек распределения Фишера находим .

Поскольку превышает , то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

7. Исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам:



Используя результаты вычислений из предыдущих пунктов, получаем:



;

.

Отсюда:

;

---

Смотрите также файлы

• Введите запрос Тревога как психологический феномен.docx

• Задание к теме 5 Товарнохозяйственные операции.doc

• Техническая записка по эксплуатации взд (Винтовой Забойный Двигатель).docx

• Позиции для рассмотрения Ответ обучающегося.docx

• Цель спроектировать локальную вычислительную сеть.docx