Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

50 где
1
)
A
E
(
B



— матрица коэффициентов полных материальных затрат.
Для составления межотраслевого баланса фондоемкости продукции вычисляют в соответствии с формулой








n
1
j i
i ij i
i i
i
Y
f x
f
X
f

продуктово – фондовую матрицу xf и стоимость фондов на конечную продукцию
Yf i
ij ij f
x xf


i i
i f
Y
Yf


(3.23)
Пример 3.3. Пусть в дополнение к исходным данным примера 3.1 заданы объемы фондов в у.е. в отраслях

1200 600 900
(
)

Требуется определить коэффициенты прямой и полной фондоемкости и составить межотраслевой баланс фондозатрат.
Решение. Приведем вычисленные в примере 1 вектор валовой продукции Х,
матрицу межотраслевых потоков х и матрицу полных материальных затрат В
X
775.51 510.204 729.592









x
232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0
145.918









B
2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684









Y
200 100 300









1. Воспользовавшись формулой (1) , находим коэффициенты прямой и полной фондоемкости продукции:
f

T
X









f
1.547 1.176 1.234









F
f
T
B


F
5.187 4.216 4.135
(
)

3. Умножая первую, вторую и третью строки первого и второго квадрантов межотраслевого материального баланса, построенного в примере 3.1, на соответствующие коэффициенты прямой фондоемкости, получаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измерителях) (табл. 3.2).
x1
x
T

x2 1
 
f
1
x1 1
 


x2 2
 
f
2
x1 2
 


x2 3
 
f
3
x1 3
 


ft x2
T

ft
360 182.4 286.993 78.947 300 62.937 451.579 0
180









Yf
1
Y
1
f
1


Yf
2
Y
2
f
2


Yf
3
Y
3
f
3


Yf
309.474 117.6 370.07










51
В таблице 3.3 приведен межотраслевой баланс фондоемкости продукции
Таблица 3.3. Межотраслевой баланс фондоемкости продукции
Производя щие отрасли
Потребляющие отрасли
Межотраслевые фондозатраты
Прямые фондо затраты на конечную продукцию
Фондозатраты в отраслях
1 2
3 1
2 3
360,0 182,4 287,0 78,9 300,0 62,9 451,6 0,0 180,0 309,4 117,6 370,0 1199.9 600,0 899,9
3.5
Варианты заданий лабораторной работы №3
Задание
В таблицах приведены коэффициенты прямых материальных затрат, объемы конечной продукции, трудовые затраты и объемы фондов по отраслям в межотраслевом балансе для трех отраслей
1. проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат;
2. рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;
3. найти объемы валовой продукции отраслей и составить межотраслевой баланс производства и потребления;
4. рассчитать коэффициенты прямой и полной трудоемкости и составить межотраслевой баланс труда;
5. рассчитать коэффициенты прямой и полной фондоемкости составить межотраслевой баланс фондов.
Вариант 1.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.25 0.12
0.51
60
40 25 700 3525 35 2
0.52 0.33 0.24 0
3 0.11 0.02 0.0 300
L
100 300 250
Ф
400 500 300
Вариант 2.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.0 0.32
0.5
60
40 25 50 3525 35 2
0.1 0.13 0.2 10

52 3
0.2 0.25 0.4 35
L
1500 300 1250
Ф
4000 550 1300
Вариант 3.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.02 0.29
0.8
60
40 25 58 3525 35 2
0.5 0.0 0.2 100 3
0.2 0.2 0.14 45
L
500 200 300
Ф
100 300 350
Вариант 4.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.12 0.28
0.15
60 40 25 170 2
0.0 0.13 0.23 20 3
0.22 0.41 0.45 130
L
120 350 200
Ф
150 500 310
Вариант 5.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.5 0.4
0.1
60
40 25 50 3525 35 2
0.5 0.0 0.2 300 3
0.2 0.3 0.4 20
L
10 30 25
Ф
40 50 30
Вариант 6.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.2 0.0
0.1
60
40 25 150 3525 35 2
0.5 0.3 0.2 30 3
0.2 0.2 0.4 230
L
70 40 55
Ф
400 500 300

53 3
0.0 0.7 0.8 300
L
100 350 250
Ф
450 550 300
Вариант 8.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.7 0.25
0.6
60
40 25 30 3525 35 2
0.5 0.3 0.2 40 3
0.3 0.0 0.4 50
L
1000 3000 2500
Ф
400 500 300
Вариант 9.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.2 0.2
0.1
60
40 25 50 3525 35 2
0.5 0.3 0.2 0
3 0.2 0.2 0.4 30
L
100 300 250
Ф
400 500 300
Вариант 10.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.25 0.28
0.19
60
40 25 50 3525 35 2
0.57 0.34 0.21 70 3
0.22 0.23 0.46 30
L
100 300 250
Ф
400 500 300
Вариант 11.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.0 0.2
0.1
60
40 25 0.0 2
0.5 0.5 0.2 60 3
0.2 0.1 0.3 30
L
200 200 250
Ф
300 400 200
Вариант 12.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.7 0.4
0.2
60
40 25 50 3525 35

54 2
0.5 0.5 0.2 40 3
0.4 0.3 0.2 30
L
500 200 250
Ф
200 100 300
Вариант 13.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.9 0.3
0.1
60
40 25 20 3525 35 2
0.5 0.4 0.2 30 3
0.1 0.7 0.6 30
L
500 200 200
Ф
300 800 400
Вариант 14.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная
продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.4 0.6
0.8
60
40 25 50 3525 35 2
0.5 0.6 0.2 70 3
0.5 0.3 0.7 30
L
100 300 250
Ф
400 500 300
Вариант 15.
Коэффициенты прямых
затрат
Конечная продукция
Отрасль
1 2
3 1
50 2
25 0.1 0.2
0.3
60 40 25 10 3525 35 2
0.4 0.5 0.2 20 3
0.4 0.3 0.6 30
L
100 300 250
Ф
400 500 300

55
4.
Лабораторная работа № 4. Потоки платежей. Ренты
Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней или один раз в месяц через 30 дней. Плата за квартиру — поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т.д. Поэтому изучение потоков платежей очень важно.
4.1. Потоки платежей
Поток платежей — это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.
Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, — это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты.
Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.
Пусть
{
, }
k
k
Q
R t

— поток платежей, в нем
k
t
— моменты времени,
k
R
— платежи. Кроме того, предполагается, что известна ставка процента
i
,
обычно неизменная в течение всего потока.
Современной величиной потока в момент
T
называется сумма платежей потока, дисконтированных к этому моменту
—
( )
(1
)
k
T t
k
k
Q T
R
i




Достаточно найти величину потока в какой-то момент
( )
Q T
, тогда в любой другой момент
t
величина потока
( )
( )(1
)
t T
Q t
Q T
i



Величина
(0)
Q
называется современной величиной потока; если есть пследний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется
конечной величиной потока.
Пример 4.1. Пусть поток есть
{( 2000,1); (1000, 2); (2000,3)}
Q
 
Найдем характеристики этого потока при ставке процента
i
= 10%.
Сначала найдем современную величину потока:
1 2
(0)
2000 (1 0.1)
1000 (1 0.1)
Q


 
 

 
3 2000 (1 0.1)
510.8


 

Теперь можно найти и конечную величину потока:
3
(3)
(0) (1
)
679.8
Q
Q
i

 


Поток положительных платежей с постоянными промежутками между ними называется рентой. Часто сами платежи также являются одинаковыми. Далее рассматриваются только ренты с одинаковыми платежами.

56
4.2. Конечная годовая рента
Это самая простая рента: в ней только один платеж
R
в год, длительность ее
n
лет, годовая процентная ставка
i
.
На рентные платежи начисляются сложные проценты.
Пример 4.2. Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка
i
= 10%.
Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных
10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100.
В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10%
. Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем
5 6105.1/(1 0.1)
3791



Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называется
постнумерандо, в начале — пренумерандо. Рассматриваемая в примере рента постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты.
Изучим подробно конечную годовую ренту
{ , , }
R n i
в общем виде.
Главная задача — найти современную величину этой ренты. Имеем
1 1
1
(1
)
(1
)
n
n
t
t
t
t
R
A
R
i
i








Имеем сумму
n
членов геометрической прогрессии с первым членом
1
(1
)
i


и знаменателем
1
(1
)
i


. Как известно, сумма
n
членов геометрической прогрессии с первым членом
1
a
и знаменателем
q
равна
1
(
1)
1
n
q
a
q


.
Следовательно, сумма в фигурных скобках есть
1 (1
)
n
i
i

 
.
И потому современная величина ренты есть

57 1 (1
)
n
i
A
R
i

 

Величина
1 (1
)
n
i
i

 
обозначается
( , )
a n i
и называется коэффициентом
приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем
( , )
A
R a n i
 
.
Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая называется еще наращенной величиной ренты
S
:
(1
)
n
S
A
i
  
или
(1
)
1
( , ) (1
)
n
n
i
S
R a n i
i
R
i


 
 

Величина
(1
)
1
n
i
i


обозначается
( , )
s n i
и называется коэффициентом
наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем
( , )
S
R s n i
 
.
Величины
( , )
a n i
и
( , )
s n i
связаны очевидным соотношением:
( , )
( , ) (1
)
n
s n i
a n i
i

 
или
( , )
( , )
( , )
s n i
a n i M n i


Коэффициент наращения
( , )
s n i
показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия «современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под
i
процентов годовых, то к концу
n
- го года она вырастет до наращенной величины ренты
S
. Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты
( , )
A
R a n i
 
,
( , )
S
R s n i
 
(4.1)
Эти формулы формально имеют смысл и для нецелых
n
При этом надо использовать определяющие формулы для
( , )
a n i
и
( , )
s n i
Ниже приведены фрагменты таблиц коэффициентов приведения и наращения годовой ренты.
Коэффициенты приведения годовой ренты
( , )
[1 (1
)
] /
n
a n i
i
i

  
i
n
3 4
5 6
7 8
9 10 11 3
2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,444 4
3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170 3,102 5
4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791 3,696 6
5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,231 7
6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,712 8
7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335 5,146 9
7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,537 10 8,530 8,110 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 5,889

58
Коэффициенты наращения годовой ренты
( , )
[(1
)
1] /
n
s n i
i
i



i
n
3 4
5 6
7 8
9 10 11 3
3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,310 3,342 4
4,184 4,246 4,310 4,375 4,440 4,506 4,573 4,641 4,710 5
5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,228 6
6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 7,913 7
7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,200 9,487 9,783 8
8,892 9,214 9,549 9,897 10,260 10,637 11,028 11,436 11,859 9
10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,164 10 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 16,722
Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере.
Пример 4.3. Найти современную и наращенную величины годовой ренты с
R
= 1000,
n
= 8,
i
= 8%.
Находим по таблицам
( , )
a n i
= 5,747,
( , )
s n i
= 10,637.
Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная — 10637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим
(8,8)
M
= 1,851.
Проверка: 5747

1,851=10 638.

4.3. Определение параметров годовой ренты
Выше уже сказано, что годовая рента характеризуется годовым платежом
R
,
длительностью
n
лет и процентной ставкой
i
. Процентная ставка обычно неуправляема, но зато к параметрам можно причислить современную величину
A
и наращенную величину
S
. Все эти величины не являются независимыми, поэтому если задать некоторые из них, то остальные можно определить:
1) если заданы
, ,
R n i
,
тогда
( , )
A
R a n i
 
,
( . )
S
R s n i
 
;
2) если заданы
, ,
R A i
,
тогда для определения
n
имеем уравнение
[1 (1
)
] /
n
A
R
i
i


 
и получаем ln(1
/ ) / ln(1
)
n
A i R
i
 
 

Если последнее выражение не целое, то
n
определяется как ближайшее целое к нему, смотря по конкретным требованиям. Можно обойтись и без нахождения
n
по указанной выше громоздкой формуле.
Имеем
( , )
/
a n i
A R

,
затем подбираем по таблице коэффициентов приведения ренты приблизительно подходящее
n
(учитывая, что
i
известно).
Пример 4.4. Пусть
R
= 1000,
i
= 8% . Найти длительность ренты с современной величиной
A
= 4000.
Решение. Имеем
( , )
/
a n i
A R

= 4. По таблице коэффициентов приведения ренты находим, что
(5,8)
a
= 3,993.
Значит, приблизительно
n
= 5.

Продолжаем исследование по определению параметров рент:
3) заданы
, ,
R S i
— действуем аналогично предыдущему случаю;