Файл: А. А. Мицель математическое и имитационное.pdf

59 4) заданы
, ,
A n i
,
тогда для определения R имеем уравнение
( , )
A
R a n i
 
,
причем последняя величина известна, значит
/ ( , )
R
A a n i

;
5) заданы
, ,
S n i
— действуем аналогично п. 4;
6) хотя процентная ставка неуправляема организатором ренты, можно задуматься о желаемой процентной ставке. Т.е. пусть заданы
, ,.
R A n
,
надо подобрать процентную ставку
i
Это посложнее, чем в предыдущих задачах. Для определения
i
имеем уравнение
[1 (1
)
] /
n
A
R
i
i

   
,
но решить это уравнение аналитически невозможно, поэтому его надо решать численными методами.
4.4. Общая рента
Пусть платежи поступают
p
раз в году через равные интервалы, и суммарный годовой платеж равен
R
,
так что единичный платеж равен
/
R p
;
проценты начисляются
m
раз в году также через равные интервалы. Рассмотрим подробно 1-й год.
Рисунок отражает ситуацию при
p
= 4,
m
= 2 (платежи вносятся в моменты, обозначенные *, начисления процентов происходят в моменты + , т.е. в середине года и в конце года).
Необходимы некоторые уточнения. В очередной момент начисления проценты начисляются по ставке сложных процентов на каждый более ранний платеж с учетом момента его поступления. Так как
k
-
й платеж отстоит от конца на
(
/ )
n k p

лет, то на него будет произведено
[(
/ )
]
n k p m


начислений по полной ставке
/
i m
(
[ ]
a
— целая часть
a
) и, возможно, еще одно начисление по неполной ставке, и его частичный вклад в наращенную сумму ренты составит
(
/ )
( / ) (1
/ )
n k p m
k
S
R p
i m


 
.
Сумма всех таких частичных вкладов и составляет наращенную сумму ренты
(
/ )
1 1
( / ) (1
/
)
n p
n p
n k p m
k
k
k
S
S
R p
i m







 


Здесь
n p

— количество поступлений платежей.
Изменяя порядок суммирования, сумму можно записать так:
1 0
( / ) (1
/
)
m
n p
k
p
k
S
R p
i m
 


 

Ясно, что слагаемые этой суммы есть члены геометрической прогрессии с первым членом
/
R p
,
знаменателем
/
(1
/
)
m p
i m

и числом членов
n p

.
Значит их сумма равна
/
(1
/ )
1
( / )
(1
/ )
1
nm
m p
i m
S
R p
i m





(4.2)

60
Найдя наращенную величину ренты, без труда можно найти современную величину ренты
(1
/ )
nm
S
A
i m


(4.3)
Из этой общей формулы можно получить формулы для подсчета наращенной величины частных рент: когда платеж один раз в году, а начислений процентов несколько раз; когда, наоборот, начисление процентов только раз в году, зато платежей несколько раз, и т.п.
Например, пусть
p
— число платежей в году, а проценты начисляются один раз, т.е.
m
= 1, тогда наращенная величина такой ренты есть
1/
(1
)
1
( / )
(1
)
1
n
p
i
S
R p
i





и
1/
1 (1
)
(1
)
1
n
p
R
i
A
p
i

 
 


(4.4)
Или, пусть в году один платеж (
p
= 1), зато проценты начисляются
m
раз в году, тогда наращенная величина такой ренты есть
(1
/ )
1
(1
/ )
1
nm
m
i m
S
R
i m





и
1 (1
/ )
(1
/ )
1
nm
m
i m
A
R
i m

 



(4.5)
Весьма часто
m
p

, т.е. число платежей в году и число начислений процентов совпадают, тогда из общей формулы (2) получаем
(1
/ )
1
( / )
( / )
nm
i m
S
R m
i m



,
(4.6)
1 (1
/ )
( / )
( / )
nm
i m
A
R m
i m

 

(4.7)
Формулу (4.6) легко получить из формулы (4.1) для конечной годовой ренты, положив в ней
/
R m
вместо
R
с учетом того, что число платежей есть
nm
, а не
n

61
4.
6. Объединение и замена рент
Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.
Пример 4.6. Найдем ренту-сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и платежом 800. Годовая ставка процента 8%.
По таблицам находим коэффициенты приведения:
(5,8)
a
= 3,993,
(8,8)
a
= 5
,747. Далее,
1
A
= 1000 • 3,993 = 3993,
2
A
= 800
•5,747=4598.
Значит, у ренты-суммы современная величина
A
= 8591.
Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится. Такие задачи рассмотрены в п.
4.3.
Примерно так же решается и вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами.
4.6.Примеры решения типовых задач в Mathcad
Задание 1. В банк помещен депозит в размере
A
=
5000 руб. По этому депозиту в первом году будет начислено
1
i
= 10
% , во втором -
2
i
=
12%, в третьем -
3
i
=
15%, в четвертом и пятом -
4 5
i
i

= 16% годовых. Сколько будет на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке
i
= 13%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.
Решение. Формула наращения по схеме сложных и простых процентов для переменной ставки имеет вид а)
3 1
2 4
1 2
3 4
(1
)
(1
)
(1
)
(1
)
n
n
n
n
S
A
i
i
i
i


 
 
 
, б)
4 1
(1
)
k k
k
S
A
n i




где
i
n
—
i
- й период начисления процентов (
1 2
3 4
1,
2
n
n
n
n




,
4 1
5
i
i
n
n




).
Вводим исходные данные
A
5000

i
10%
12%
15%
16%









n
1 1
1 2









i1 13%

n1 5


62
Решение MathCAD для простой ставки
S
A
1 1
4
k i
k n
k














S
8.45 10 3


P
1

Given
S
P
1
i1 n1


(
)

P
Find P
( )

P
5.121212 10 3


Решение MathCAD для сложной ставки
S1
A
1 4
k
1
i k



n k




S1 9.53223 10 3


P1 1

Given
S1
P1 1
i1 n1


(
)

P1
Find P1
(
)

P1 5.777109 10 3


Ответ: в конце 5-го года на счету будет 8450 руб. либо 9352 руб., если начисление процентов проводится по схеме простых процентов либо по схеме сложных процентов. Для получения суммы 8450 руб. в конце пятого года при ставке
i
= 13% необходимо в начале периода поместить депозит в размере 5121 руб. (по схеме простых процентов) либо 5 173 руб. руб. (по схеме сложных процентов) для получения суммы 9352 руб..

63
Задача 2. Вычислить размер платежа
n
- годичной ссуды покупки квартиры за
A
рублей с годовой ставкой
i
процентов и начальным взносом
q
процентов.
Сделать расчет для ежемесячных выплат.
Расчет провести для следующих данных:
n
= 20 лет;
A
= 1 400 000 руб.;
i
= 18%;
q
= 30%.
Расчеты выполнить для сложной процентной ставки.
Решение. Сумма, которую нужно выплатить по ссуде, равна
(1
)
A q A
A
q
    
Рассчитаем ежегодный платеж
R
выплаты ссуды из уравнения
/
1 (1
/ )
(1
)
( , , / )
(1
/ )
1
n m
m p
j m
A
q
R
R a p n j m
j m
 
 
 
 
 


, отсюда
(1
)
( , , / )
A
q
R
a p n j m
 

. Здесь
p
= 12 (количество платежей в год),
m
= 12 (количество начислений процентов в год).
Вводим исходные данные.
A
1400000

j
18%

q
30%

n1 20

p
12

m
12

Решение MathCAD a
1 1
j m





n1

m


1
j m





m p
1


a
64.795732

R
A
1
q

(
)

a

R
1.512445 10 4


Ответ. Ежемесячные выплаты составят 15 124, 45 руб.
Задача 3. Семья хочет накопить $12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка процента в банке 7%. Как долго ей придется копить?
Решение. Для решения данной задачи используем формулу наращенной величины ренты.
((1
)
1)
(1
)
n
i
S
R
i
i


  
Отсюда:

64 ln(
1)
(1
)
ln(1
)
S i
R
i
n
i





Запишем исходные данные:
S
12000

R
1000

i1 7%

Решение MathCAD n1
ln 1
S i1

R
1
i1

(
)






ln 1
i1

(
)

n1 8.564235

S1
R
1
i1

(
)

1
i1

(
)
9 1

i1


S1 1.281645 10 4


Ответ. Семье придется копить 9 лет. К концу 9-го года на счету будет 12816,5 руб.
Задача 4. Заем взят под
1
i
=16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. (
1
R
=500 д.е.) в течение
n
=2 лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до
2
i
=6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты? Расчеты провести для сложной процентной ставки.
Решение. Для решения этой задачи необходимо записать современную величину невыплаченной суммы по ставке
1
i
=16% и приравнять современной величине потока платежей по ставке
2
i
=6%.
Имеем
1 2
1 2
/
/
1 2
1 (1
/ )
1 (1
/ )
(1
/ )
1
(1
/ )
1
n m
n m
m p
m p
i m
i
m
R
R
i m
i
m
 
 
 
 





, где
m
= 4 (количество начислений процентов в год),
p
= 4 (количество платежей в год). Из этого уравнения находим размер платежа
2
R
Исходные данные для MathCAD
R1 500

n
2

m
4

p
4

i1 16%

i2 6%

Решение MathCAD

65
R2 1

Given
R1 1
1
i1
m





n

m


1
i1
m





m p
1


R2 1
1
i2
m





n

m


1
i2
m





m p
1


R2
Find R2
(
)

R2 449.693578

Ответ. Размер новой выплаты составит 449,7 руб.
Задача 5. Необходимо учесть долговое обязательство на сумму 50 000 д.е. за
4 года до погашения. Банк для учета обязательства применяет сложную процентную ставку 5 % годовых. Проценты могут начисляться 1, 2 или 4 раза в год. Указать условия договора, по которому это обязательство может быть учтено.
Решение. В данной задаче необходимо найти современную величину суммы
S
, которая через 4 года составит 50 000 д.е. в зависимости от количества начисления процентов в год. Расчет проводим по формуле
(1
/ )
n m
S
P
j m



, где
j
- годовая ставка,
m
- количество начислений процентов в год.
Исходные данные
S
50000

i1 5%

n1 4

Решение MathCAD
P1 m1
(
)
S
1
i1
m1





n1 m1


P1 1
( )
4.113512 10 4


P1 2
( )
4.103733 10 4


P1 4
( )
4.098732 10 4


Ответ. Обязательство будет учтено на сумму 41 135 д.е. при начислении процентов один раз в год, на сумму 41037 д.е. – при начислении процентов два раза в год, на сумму 41987 д.е. – при начислении процентов четыре раза в год.
Задача 6. Как изменяется срок окупаемости проекта при изменении величины инвестиций, годовых доходов, ставки процента? Построить графики и дать объяснение.
Решение. Рассмотрим следующую модель инвестиционного проекта. Инвестиции в проект в размере
K
осуществляются единовременным платежом в начале срока, доход
R
поступает регулярно один раз в год в течении
n
лет, процентная

66 ставка равна
j
. Срок окупаемости в этом случае рассчитывается по формуле ln(1
)
ln(1
)
K j
R
n
j


 

Исходные данные
K
500

R
100

j
10%

Решение MathCAD
Зависимость срока окупаемости от размера инвестиций n1 x
( )
ln 1
x j

R






ln 1
j

(
)

200 400 0
5 10
n1 x
( )
x
Зависимость срока окупаемости от ставки n2 x
( )
ln 1
x K

R






ln 1
x

(
)

0.05 0.1 4
6 8
10
n2 x
( )
x
Зависимость срока окупаемости от величины годового дохода

67 n3 x
( )
ln 1
j K

x






ln 1
j

(
)

200 400 0
5 10
n3 x
( )
x
Ответ. Срок окупаемости с ростом объема инвестиций увеличивается, так как для окупаемости инвестиций требуется большее время получения дохода от проекта.
С ростом процентной ставки срок окупаемости растет. С экономической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если для инвестиций берется ссуда в банке под процентную ставку
j
, то с ростом ставки растут проценты по ссуде, и, следовательно, растет долг заемщика. Поэтому требуется большее время получения дохода от проекта для погашения ссуды.
С ростом дохода от проекта срок окупаемости уменьшается
Задача 7. Проверьте план погашения основного долга равными годовыми уплатами, если величина займа
D
составляет 600 д.е., а процентная ставка
i
–
8%.
Уплаты
Годы
168.0 1
158.4 2
148.8 3
139.2 4
129.6 5
Решение. Величина займа
D
= 600 д.е. погашается равными долями в течении 5 лет. Проценты по долгу выплачиваются каждый год на остаток долга.
Таким образом, размер срочной уплаты в году с номером
t
равен
(
(
1) )
t
Y
d
D
t
d
i
 
 

, где
/
d
D n

,
n
– срок долга.
Исходные данные
D
600

n1 5

j
0.08

Решение MathCAD