Файл: Учебное пособие СанктПетербург 2016.pdf

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина)
А. Л. МЕРКУЛОВ В. Л. ТРЕГУБ Н. М. ЧЕРВИНСКАЯ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина)
А. Л. МЕРКУЛОВ В. Л. ТРЕГУБ Н. М. ЧЕРВИНСКАЯ
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ”
2016

УДК 517.958 (075)
ББК В311я7
М52
M52
Меркулов А. Л., Трегуб В. Л., Червинская Н. М.
Методы математической физики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ
“ЛЭТИ”, 2016. 164 с.
ISBN 978-5-7629-1780-3
Рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциаль- ных уравнений и уравнений в частных производных. Приводится решение задач методом Фурье, методом сеток и некоторыми другими методами. Из- ложение иллюстрируется большим количеством примеров. Соответствует рабочим программам дисциплины “Методы математической физики” пя- того семестра факультета электроники и шестого семестра открытого фа- культета.
Предназначено для студентов всех специальностей факультета элек- троники и специальностей 071400, 200100, 200300 открытого факультета.
УДК 517.958 (075)
ББК В311я7
Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГУТ; д-р физ.-мат. на- ук, проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
ISBN 978-5-7629-1780-3
c
СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2016

Введение
Предлагаемое издание является переизданием учебного пособия, на- печатанного в 2006 г. Структура пособия осталась прежней. Полностью переписан разд. 4, посвященный уравнениям Лапласа и Пуассона. а так- же исправлены неточности, допущенные в предыдущем издании. В 2014
г. был выпущен сборник задач [1] тех же авторов, который дополняет это издание.
Цель данного пособия – дать студентам самые необходимые сведения о тех задачах математической физики, с которыми может столкнуться в дальнейшем специалист по электронике. Самостоятельный выбор нужного материала и его изучение ставят перед студентами непреодолимые труд- ности, в первую очередь потому, что существующие объемистые учебники ориентированы на студентов математических и физических факультетов.
В настоящем пособии авторы базируются только на стандартных курсах
“Геометрия и алгебра” и “Математический анализ”, читаемых в электро- техническом университете. По этой причине ряд утверждений и теорем приводится без доказательства.
Первый раздел пособия посвящен краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом разделе вводятся основные ортого- нальные системы функций и некоторые специальные функции математи- ческой физики.
В разд. 2–4 рассматриваются дифференциальные уравнения в част- ных производных различных типов. В качестве основного метода решения выбран метод Фурье, который позволяет получить решения задачи в виде ряда. Кроме того, рассматриваются и некоторые другие аналитические и численные методы.
Пятый раздел пособия знакомит студентов с основными идеями вари- ационных методов, в которых решение краевых задач сводится к поиску минимума некоторого функционала. Рассматриваются приближенные ме- тоды нахождения этого минимума.
В пособии авторы использовали ряд идей из книги Очана [2].
3

1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
1.1. Постановка краевой задачи
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
−
1
ρ
(x)
(p(x)y
0
)
0
+ q(x)y = f (x),
(1.1)
где
ρ
(x), p(x), p
0
(x), q(x), f (x) – функции, непрерывные на [a, b], и
ρ
(x) ≥
ρ
0
> 0, p(x) ≥ p
0
> 0.
Такую форму записи уравнения будем называть симметричной.
Преобразуем первое слагаемое в уравнении (1.1):
−
p(x)
ρ
(x)
y
00
−
p
0
(x)
ρ
(x)
y
0
+ q(x)y = f (x)
и разделим на коэффициент при y
00
:
y
00
+
p
0
(x)
p(x)
y
0
−
q(x)
ρ
(x)
p(x)
y =
−
ρ
(x)
p(x)
f (x).
Получилось записанное в обычном виде линейное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентами.
Отметим также, что уравнение y
00
+ a
1
(x)y
0
+ a
0
(x)y = f (x)
можно записать в симметричной форме, воспользовавшись соотношением y
00
+ a
1
(x)y
0
=
1
e
R a
1
(x)dx

e
R a
1
(x)dx y
0

0
Таким образом, для уравнения (1.1) будут справедливы результаты,
полученные при изучении дисциплины “Дифференциальные уравнения”
[3]. Общее решение уравнения (1.1) имеет вид y(x) = C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) + ˜
y(x),
где y
1
(x), y
2
(x) – пара линейно независимых решений однородного урав- нения; ˜
y(x) – частное решение неоднородного уравнения; C
1
, C
2
– произ- вольные постоянные. Функция y(x) определена на всем промежутке [a, b].
Для уравнения (1.1) можно поставить задачу Коши: среди функций, удо- влетворяющих этому уравнению, выбрать ту, которая в некоторой точке x
0
∈ [a, b] удовлетворяет начальным условиям y(x
0
) = t
1
, y
0
(x
0
) = t
2
. То- гда можно найти значения констант C
1
и C
2
, при которых решение бу- дет удовлетворять начальным условиям. Это решение всегда существует
4

и оно единственно, т. е. задание начальных условий позволяет выделить из семейства решений линейного уравнения частное решение с заданными свойствами.
Однако для выделения частного решения из общего можно использо- вать и другие условия. Важным типом таких условий являются краевые или граничные условия, заключающиеся в том, что условия накладывают- ся на обоих концах отрезка [a, b], например в виде
(
R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = t
1
,
R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = t
2
,
(1.2)
где R
1
, R
2
, S
1
, S
2
, t
1
, t
2
– некоторые постоянные, |R
1
| + |S
1
| 6= 0,
|R
2
| + |S
2
| 6= 0, R
1
, R
2
, S
1
, S
2
≥ 0.
Отметим важные частные случаи условий (1.2):
1) y(a) = t
1
, y(b) = t
2
– краевые условия первого рода (условия Дири- хле);
2) y
0
(a) = t
1
, y
0
(b) = t
2
– краевые условия второго рода (условия Ней- мана);
3) y
0
(a) − S
1
y(a) = t
1
, y
0
(b) + S
1
y(b) = t
2
– краевые условия третьего рода.
К краевым условиям относятся также условия периодичности y(a) = y(b);
y
0
(a) = y
0
(b).
Особо выделим случай, когда коэффициенты уравнения (1.1)
ρ
(x),
p(x), p
0
(x), q(x) непрерывны не на отрезке [a, b], а только на открытом интервале (a, b) или когда функции
ρ
(x) или p(x) обращаются в нуль в гра- ничной точке. В этом случае решение уравнения может быть не ограничено и в качестве краевого условия выступает требование ограниченности реше- ния при x → a + 0 или x → b − 0. Условие ограниченности ставится также в случае, когда промежуток, на котором решается уравнение, бесконечен.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовле- творяющего краевым условиям, называется краевой задачей.
Название задачи принято давать по названию краевых условий: задача
Дирихле, задача Неймана, третья краевая задача.
Краевые условия называются однородными, если из того, что некото- рые функции
ϕ
1
(x),
ϕ
2
(x), ...,
ϕ
n
(x) удовлетворяют этим условиям, следу- ет, что любая линейная комбинация этих функций C
1
ϕ
1
(x) + ... + C
n
ϕ
n
(x)
также удовлетворяет этим условиям.
Однородными краевыми условиями будут:
1) R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = 0; R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = 0;
2) y(x) ограничена при x → a + 0 и при x → b − 0;
3) условия периодичности y(a) = y(b), y
0
(a) = y
0
(b).
5

Пример 1.1.





−y
00
+ y = 0,
y(0) = 0,
y(1) = 1.
Общее решение дифференциального уравнения y(x) = C
1
e x
+ C
2
e
−x
Из краевых условий получаем
(
C
1
+ C
2
= 0,
C
1
e + C
2
e
−1
= 1.
Решив систему, найдем C
1
=
e e
2
− 1
, C
2
=
−e e
2
− 1
. Единственным решением краевой задачи будет функция y(x) =
e e
2
− 1
e x
− e
−x
.
Пример 1.2.





−y
00
− y = 0,
y(0) = 0,
y(
π
) = 1.
Общее решение уравнения y(x) = C
1
cos x + C
2
sin x.
Краевые условия дают
(
C
1
· 1 + C
2
· 0 = 0,
−C
1
· 1 + C
2
· 0 = 1.
Очевидно, что полученная система несовместима и, следовательно, краевая задача решений не имеет.
Пример 1.3.





−y
00
− y = 0,
y(0) = 0,
y(
π
) = 0.
Подставив общее решение y = C
1
cos x + C
2
sin x в краевые условия,
получим
(
C
1
· 1 + C
2
· 0 = 0,
−C
1
· 1 + C
2
· 0 = 0.
6

Отсюда C
1
= 0, C
2
– любое число и, следовательно, краевая задача имеет множество решений y(x) = C
2
sin x.
Пример 1.4.





−x(xy
0
)
0
+ n
2
y = 0,
y − ограничена при x → 0 + 0,
y(1) = 1.
Сравнивая это уравнение с общим видом уравнения (1.1), видим, что p(x) =
= x,
ρ
(x) =
1
x
. При x, стремящемся к нулю, уравнение вырождается, поэто- му в качестве краевого условия поставлена ограниченность y при x → 0+0.
Легко проверить, что функции
ϕ
1
(x) = x n
и
ϕ
2
(x) = x
−n удовлетво- ряют уравнению. Поскольку они линейно независимы, то общее решение будет иметь вид y(x) = C
1
x n
+ C
2
x
−n
Так как lim x→0+0
x
−n
= +∞, а решение должно быть ограничено, коэффи- циент C
2
= 0. Из условия y(1) = 1 получаем C
1
= 1, и решение краевой задачи y = x n
Краевую задачу с неоднородными условиями на границе всегда можно свести к задаче с однородными краевыми условиями. Пусть задано урав- нение (1.1) и неоднородные краевые условия
(
R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = t
1
,
R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = t
2
,
R
1
, R
2
, S
1
, S
2
≥ 0,
|R
1
| + |S
1
| 6= 0,
|R
2
| + |S
2
| 6= 0.
Функцию y(x) представим в виде суммы двух функций y(x) = v(x) +
+ w(x). Выбор функции w(x) зависит от краевых условий. Подставив y в уравнение (1.1), получаем
−
1
ρ
(x)
(p(x)(v
0
+ w
0
))
0
+ q(x)(v + w) = f (x)
или
−
1
ρ
(x)
(p(x)v
0
)
0
+ q(x)v = f (x) − q(x)w +
1
ρ
(x)
(p(x)w
0
)
0
Получаем уравнение относительно v(x) такой же структуры, как и уравне- ние (1.1). Подберем функцию w(x) так, чтобы для v краевые условия были однородные:
(
R
1
(v
0
(a) + w
0
(a)) − S
1
(v(a) + w(a)) = t
1
,
R
2
(v
0
(b) + w
0
(b)) + S
2
(v(b) + w(b)) = t
2 7

Для того чтобы
(
R
1
v
0
(a) − S
1
v(a) = 0,
R
2
v
0
(b) + S
2
v(b) = 0,
нужно выполнение равенств
(
R
1
w
0
(a) − S
1
w(a) = t
1
,
R
2
w
0
(b) + S
2
w(b) = t
2
Т. е. функция w(x) должна удовлетворять тем же краевым условиям, что и функция y(x). Пусть S
1 6= 0 или S
2 6= 0. Зададим w(x) =
α
x +
β
. Для этой функции должны выполняться условия:
(
R
1
α
− S
1
(
α
a +
β
) = t
1
,
R
2
α
+ S
2
(
α
b +
β
) = t
2
⇔
(
(R
1
− S
1
a)
α
− S
1
β
= t
1
,
(R
2
+ S
2
b)
α
+ S
2
β
= t
2
Эта система линейных уравнений относительно
α
и
β
имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю. Найдем det
R
1
− S
1
a −S
1
R
2
+ S
2
b +S
2

= R
1
S
2
− S
1
S
2
a + R
2
S
1
+ S
1
S
2
b =
= S
1
S
2
(b − a) + R
1
S
2
+ R
2
S
1
Поскольку S
1 6= 0 или S
2 6= 0, то определитель больше нуля и система имеет единственное решение. Если же S
1
= S
2
= 0, то краевые условия можно записать в виде
(
y
0
(a) = t
1
,
y
0
(b) = t
2
В этом случае зададим w(x) =
α
x
2
+
β
x и применим замену y(x) = v(x) +
+
α
x
2
+
β
x. Значения
α
и
β
находим из системы
(
2
α
a +
β
= t
1
,
2
α
b +
β
= t
2
Решение системы очевидно единственно, поэтому в дальнейшем рассмат- риваются задачи в основном с однородными краевыми условиями.
1.2. Оператор Штурма–Лиувилля
Пусть на промежутке [a, b] задано множество дважды дифференциру- емых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям
(
R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = 0,
R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = 0.
(1.3)
8

Обозначим это множество D(L). Очевидно, что D(L) представляет собой линейное пространство. Введем в нем скалярное произведение по формуле
(f, g) =
b
Z
a f (x)g(x)
ρ
(x)dx,
где
ρ
(x) – непрерывная на [a, b] функция,
ρ
(x) ≥
ρ
0
> 0,
ρ
(x) принято называть весовой функцией, или весом. Таким образом, D(L) является подпространством пространства L
2
[a, b;
ρ
(x)] (см. [4]). Норма функции в этом случае определяется по правилу kf k =


b
Z
a
(f (x))
2
ρ
(x)dx


1/2
Зададим линейный дифференциальный оператор, действующий из про- странства D(L) в линейное пространство непрерывных на [a, b] функций,
в виде
L(y) = −
1
ρ
(x)
(p(x)y
0
)
0
+ q(x)y,
где p(x), p
0
(x), q(x) – непрерывные на [a, b] функции, p(x) ≥ p
0
> 0,
ρ
(x)
– весовая функция скалярного произведения. Такой оператор будем назы- вать оператором Штурма–Лиувилля.
Утверждение 1.1. Оператор Штурма–Лиувилля симметричен,
т. е. ∀y, z ∈ D(L) справедливо равенство (L(y), z) = (y, L(z)).
Доказательство. Запишем скалярное произведение
(L(y), z) =
b
Z
a

−
1
ρ
(x)
(p(x)y
0
)
0
+ q(x)y

z
ρ
(x)dx =
= −
b
Z
a
(p(x)y
0
)
0
z dx +
b
Z
a q(x)yz
ρ
(x)dx.
Первый интеграл проинтегрируем по частям 2 раза:
b
Z
a
(p(x)y
0
)
0
z dx = p(x)y
0
z b
a
−
b
Z
a p(x)y
0
z
0
dx =
= p(x)y
0
z b
a
− p(x)yz
0
b a
+
b
Z
a
(p(x)z
0
)
0
y dx =
9

= p(b)y
0
(b)z(b)−p(a)y
0
(a)z(a)−p(b)y(b)z
0
(b)+p(a)y(a)z
0
(a)+
b
Z
a
(p(x)z
0
)
0
y dx.
Функции y(x) и z(x) удовлетворяют однородным краевым условиям
(1.3). Если R
1 6= 0 и R
2 6= 0, то можно записать y
0
(a) =
S
1
R
1
y(a),
y
0
(b) =
−S
2
R
2
y(b),
z
0
(a) =
S
1
R
1
z(a),
z
0
(b) =
−S
2
R
2
z(b),
откуда p(b)y
0
(b)z(b) − p(a)y
0
(a)z(a) − p(b)y(b)z
0
(b) + p(a)y(a)z
0
(a) =
= −p(b)
S
2
R
2
y(b)z(b) − p(a)
S
1
R
1
y(a)z(a) + p(b)y(b)
S
2
R
2
z(b) +
+ p(a)y(a)
S
1
R
1
z(a) = 0.
(1.4)
Если R
1
= 0 или R
2
= 0, то соответственно y(a) = z(a) = 0 или y(b) =
= z(b) = 0 и выражение (1.4) все равно есть нуль. Следовательно,
(L(y), z) = −
b
Z
a
(p(x)z
0
)
0
y dx +
b
Z
a q(x)yz
ρ
(x) dx = (y, L(z)).
Утверждение 1.2. Пусть q
0
= min x∈[a,b]
q(x), тогда ∀y ∈ D(L) спра- ведливо неравенство (L(y), y) ≥ q
0
kyk
2
(в этом случае говорят, что опе- ратор ограничен снизу; если q
0
> 0, то L называется положительно- определенным оператором).
Доказательство. Рассмотрим скалярное произведение
(L(y), y) = −
b
Z
a
1
ρ
(x)
(p(x)y
0
)
0
y
ρ
(x)dx +
b
Z
a q(x)y
2
ρ
(x)dx.
Проинтегрировав по частям, получим
(L(y), y) = −p(x)y
0
y b
a
+
b
Z
a p(x)(y
0
)
2
dx +
b
Z
a q(x)y
2
ρ
(x)dx =
10

= −p(b)y
0
(b)y(b) + p(a)y
0
(a)y(a) +
b
Z
a p(x)(y
0
)
2
dx +
b
Z
a q(x)y
2
ρ
(x)dx =
= p(b)
S
2
R
2
(y(b))
2
+ p(a)
S
1
R
1
(y(a))
2
+
b
Z
a p(x)(y
0
)
2
dx +
b
Z
a q(x)y
2
ρ
(x)dx.
Отбросив неотрицательные слагаемые, получим
(L(y), y) ≥
b
Z
a q(x)y
2
ρ
(x)dx ≥ q
0
b
Z
a y
2
ρ
(x)dx = q
0
kyk
2
Доказательство выполнено для случая R
1 6= 0 и R
2 6= 0. Если R
1
= 0
или R
2
= 0, то утверждение доказывается аналогично с учетом того, что соответственно y(a) = 0 или y(b) = 0.
Определение 1.1. Число λ называется собственным числом опера- тора L, если существует ненулевая функция y(x) ∈ D(L), для которой
L(y) = λy. При этом функция y(x) называется собственной функцией оператора, соответствующей собственному числу λ.
Задача нахождения собственных чисел и собственных функций опера- тора называется задачей Штурма–Лиувилля:





L(y) = λy,
R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = 0,
R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = 0.
(1.5)
Множество всех собственных чисел называется спектром оператора L
или спектром задачи (1.5).
Приведем без доказательства основные свойства собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля (тем более, что доказательство некоторых из них выходит за рамки данного курса):
1. Спектр оператора L вещественный.
2. Спектр оператора L дискретный, т. е. представляет собой последо- вательность {λ
n
}
+∞
n=1 3. Последовательность {λ
n
}
+∞
n=1
ограничена снизу:
λ
n
≥ min x∈[a,b]
q(x)
и lim n→+∞
λ
n
= +∞.
4. При некоторых положительных A и B для всех достаточно больших n справедливы неравенства An
2
≤ λ
n
≤ Bn
2
Для собственных функций оператора Штурма–Лиувилля справедли- вы следующие утверждения.
11