Файл: Учебное пособие СанктПетербург 2016.pdf

Утверждение 1.3. Каждому собственному числу соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функ- ция.
Доказательство. Пусть собственному числу λ соответствуют две соб- ственные функции y
1
(x)
и y
2
(x).
Тогда справедливы равенства
L(y
1
) = λy
1
и L(y
2
) = λy
2
Умножим первое равенство на y
2
, а второе – на y
1
и вычтем одно из другого:
L(y
1
)y
2
− L(y
2
)y
1
= λy
1
y
2
− λy
2
y
1
≡ 0.
Учитывая вид оператора L, получим
−
1
ρ
(py
0 1
)
0
y
2
+ qy
1
y
2
+
1
ρ
(py
0 2
)
0
y
1
− qy
2
y
1
≡ 0.
Поскольку
ρ
(x) 6= 0, то
−(py
0 1
)
0
y
2
+ (py
0 2
)
0
y
1
≡ 0.
Добавим и вычтем в левой части равенства выражение py
0 1
y
0 2
:
(py
0 2
)
0
y
1
+ py
0 1
y
0 2
− [(py
0 1
)
0
y
2
+ py
0 1
y
0 2
] ≡ 0,
или
(py
0 2
y
1
)
0
− (py
0 1
y
2
)
0
= (py
0 2
y
1
− py
0 1
y
2
)
0
≡ 0,
откуда py
1
y
0 2
− py
0 1
y
2
≡ C = const .
Для того чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся краевыми условиями в точке a:
C = p(a)y
1
(a)y
0 2
(a) − p(a)y
0 1
(a)y
2
(a) =
= p(a)y
1
(a)
S
1
R
1
y
2
(a) − p(a)
S
1
R
1
y
1
(a)y
2
(a) = 0.
Следовательно,
p(x)y
1
(x)y
0 2
(x) − p(x)y
0 1
(x)y
2
(x) ≡ 0,
а так как p(x) 6= 0, то y
1
(x)y
0 2
(x) − y
0 1
(x)y
2
(x) ≡ 0,
или det
y
1
y
2
y
0 1
y
0 2

≡ 0.
12

Полученный определитель называется определителем Вронского. Из равенства нулю определителя Вронского следует линейная зависимость функций y
1
и y
2
, т. е. y
1
=
α
y
2
Доказательство выполнено для случая R
1 6= 0 и R
2 6= 0. Утверждение доказывается аналогично при условии R
1
= 0 или R
2
= 0, с учетом того,
что соответственно y(a) = 0 или y(b) = 0.
Утверждение 1.4. Собственные функции, соответствующие раз- личным собственным числам, ортогональны.
Доказательство. Доказательство дословно повторяет доказательство аналогичного факта для собственных чисел и собственных векторов сим- метричной матрицы. Пусть λ
1
и λ
2
– собственные числа оператора L, а y
1
(x) и y
2
(x) – соответствующие собственные функции L(y
1
) = λ
1
y
1
и
L(y
2
) = λ
2
y
2
. Умножим скалярно первое выражение на y
2
, а второе – на y
1
:
(L(y
1
), y
2
) = (λ
1
y
1
, y
2
),
(L(y
2
), y
1
) = (λ
2
y
2
, y
1
).
Вычтем из первого равенства второе. Учитывая симметрию оператора L,
т. е. то, что (L(y
1
), y
2
) = (y
1
, L(y
2
)), получим
(λ
1
y
1
, y
2
) − (λ
2
y
2
, y
1
) = 0
⇔
(λ
1
− λ
2
)(y
1
, y
2
) = 0.
Так как λ
1 6= λ
2
, получаем, что скалярное произведение (y
1
, y
2
) = 0, т. е.
функции y
1
и y
2
ортогональны.
Таким образом, система собственных функций оператора {y k
(x)}
+∞
k=1
является ортогональной системой.
Отметим без доказательства важнейшее свойство этой системы.
Ортогональная система {y k
(x)}
+∞
k=1
полна в пространстве L
2
[a, b;
ρ
(x)].
Это означает, что любая функция из этого пространства может быть раз- ложена в ряд Фурье по системе {y k
(x)}
+∞
k=1
и этот ряд будет сходиться к функции в норме пространства L
2
[a, b;
ρ
(x)].
Для функции из области определения оператора L справедливо более сильное утверждение.
Теорема 1.1 (Стеклова). Если y ∈ D(L), то соответствующий ряд Фурье абсолютно сходится к y(x) ∀x ∈ [a, b]; этот ряд можно почлен- но дифференцировать 2 раза. Ряд из первых производных будет поточеч- но сходиться к y
0
(x), а ряд из вторых производных сходится к y
00
(x) в норме пространства L
2
[a, b;
ρ
(x)].
1.3. Задача Штурма–Лиувилля для оператора −y
00
Возьмем простейший оператор Штурма–Лиувилля L(y) = −y
00
(т. е.
ρ
(x) ≡ p(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0) и рассмотрим для него задачу на собственные
13

значения с краевыми условиями Дирихле





−y
00
= λy,
y(a) = 0,
y(b) = 0;
(1.6)
так как min q(x) = 0, λ ≥ 0. Если λ = 0, то общее решение уравнения y
00
= 0 будет y = C
1
x + C
2
и из краевых условий следует, что C
1
и C
2
удовлетворяют системе уравнений
(
C
1
a + C
2
= 0,
C
1
b + C
2
= 0,
откуда C
1
= C
2
= 0, т. е. y ≡ 0 и, следовательно, λ = 0 не является собственным числом. Пусть λ > 0, обозначим λ =
µ
2
. Уравнение из задачи
(1.6) примет вид y
00
+
µ
2
y = 0.
Общее решение уравнения удобнее всего записать в виде y = C
1
cos(
µ
(x −
− a))+C
2
sin(
µ
(x−a)). Подставив краевые условия, получим систему урав- нений для нахождения коэффициентов C
1
и C
2
:
(
C
1
= 0,
C
1
cos(
µ
(b − a)) + C
2
sin(
µ
(b − a)) = 0.
(1.7)
Система (1.7) имеет нетривиальное решение C
1
= 0, C
2 6= 0, только когда sin(
µ
(b − a)) = 0. Обозначив длину промежутка через l = b − a, получим sin(
µ
l) = 0. Положительные решения этого уравнения
µ
k
=
k
π
l
, k ∈ IN.
Таким образом, собственными числами оператора в случае краевых усло- вий Дирихле будут λ
k
=
µ
2
k
=
k
π
l

2
, k ∈ IN. Положив произвольную постоянную C
2
= 1, получаем систему собственных функций y
k
= sin(
µ
k
(x − a)) = sin
k
π
(x − a)
l

,
k ∈ IN.
Рассмотрим задачу Неймана





−y
00
= λy,
y
0
(a) = 0,
y
0
(b) = 0.
(1.8)
Легко проверить, что при λ = 0 задача (1.8) имеет решение y ≡ 1,
т. е. λ
0
= 0 – собственное число и y
0
≡ 1 – собственная функция. Да-
14

лее, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим, что собствен- ные числа будут λ
k
=
k
π
l

2
и соответствующие собственные функции y
k
= cos
k
π
(x − a)
l

, k ∈ IN.
Обратимся теперь к общему случаю краевых условий





−y
00
= λy,
R
1
y
0
(a) − S
1
y(a) = 0,
R
2
y
0
(b) + S
2
y(b) = 0.
(1.9)
Если S
1 6= 0 или S
2 6= 0, то λ = 0 не является собственным числом задачи
(1.9). Пусть λ =
µ
2
. Подставив в общее решение y = C
1
cos(
µ
(x − a)) +
+ C
2
sin(
µ
(x − a)) краевые условия, получим
(
−S
1
C
1
+ R
1
µ
C
2
= 0,
(−R
2
µ
sin(
µ
l)+S
2
cos(
µ
l))C
1
+(R
2
µ
cos(
µ
l)+S
2
sin(
µ
l))C
2
= 0.
(1.10)
Система (1.10) имеет ненулевое решение, если определитель матрицы ко- эффициентов системы равен нулю.
Найдем этот определитель и приравняем его нулю:
det

−S
1
R
1
µ
−R
2
µ
sin(
µ
l) + S
2
cos(
µ
l) R
2
µ
cos(
µ
l) + S
2
sin(
µ
l)

=
= R
1
R
2
µ
2
sin(
µ
l) − (R
1
S
2
+ R
2
S
1
)
µ
cos(
µ
l) − S
1
S
2
sin(
µ
l) = 0.
(1.11)
Если исключить уже изученные случаи краевых условий Дирихле и
Неймана, величина R
1
S
2
+ R
2
S
1 6= 0 и уравнение (1.11) можно переписать в виде
1
µ
(R
1
S
2
+ R
2
S
1
)
(R
1
R
2
µ
2
− S
1
S
2
) sin(
µ
l) = cos(
µ
l),
или ctg(
µ
l) =
1
R
1
S
2
+ R
2
S
1

R
1
R
2
µ
−
S
1
S
2
µ

(1.12)
Построим графики левой и правой частей уравнения (1.12).
Из рис. 1.1 видно, что уравнение (1.12) имеет бесконечное число поло- жительных решений
µ
k
. При k → +∞
µ
k асимптотически приближается к
(k − 1)
π
l
. Заметим, что уравнение (1.12) в общем случае невозможно ре- шить аналитически и для его решения следует использовать численные ме- тоды. Таким образом, собственные числа задачи (1.9) имеют вид λ
k
=
µ
2
k
,
где
µ
k
– положительное решение уравнения (1.12). Подставим в систему
(1.10)
µ
=
µ
k
. Решение системы можно записать в виде
15

µ
1
µ
2
µ
3
µ
4
π
3
π
2
π
4
π
µ
5

Краевые условия для функции u(x) выполняются автоматически. Так как u(x) ∈ D(L), то ряд (1.14) можно дважды почленно дифференцировать:
L(u) =
+∞
X
k=1
c k
L(y k
) =
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k
(x).
Разложим правую часть уравнения (1.13) в ряд Фурье f (x) =
+∞
X
k=1
f k
y k
(x).
Тогда задача (1.13) сводится к равенству
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k
(x) =
+∞
X
k=1
f k
y k
(x).
(1.15)
Если среди собственных чисел оператора L нет нуля, получаем c k
=
f k
λ
k
Таким образом, решение задачи (1.13) имеет вид u(x) =
+∞
X
k=1
f k
λ
k y
k
(x).
Отметим, что фактически доказано, что если λ
k
6= 0 ∀k ∈ IN, то зада- ча (1.13) имеет единственное решение. Для того чтобы среди собственных чисел λ
k не было нуля, достаточно, например, выполнения неравенства q(x) ≥ q
0
> 0 ∀x ∈ [a, b].
Исследуем теперь случай, когда среди собственных чисел оператора есть нуль. Пусть λ
0
= 0 – собственное число, а y
0
(x) – соответствую- щая собственная функция. Если решение u(x) искать в виде ряда Фурье u(x) = c
0
y
0
(x) +
+∞
X
k=1
c k
y k
(x), то L(u) = 0 +
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k и соотношение (1.15)
превратится в
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k
(x) = f
0
y
0
(x) +
+∞
X
k=1
f k
y k
(x).
Это равенство возможно, только если коэффициент Фурье f
0
= 0. Это означает, что функция f (x) ортогональна y
0
(x) – собственной функции оператора L, т. е. выполняется условие
(f, y
0
) =
b
Z
a f (x)y
0
(x)
ρ
(x)dx = 0.
17

В этом случае краевая задача (1.13) будет разрешима, но решений будет бесконечно много и они будут иметь вид u(x) =
+∞
X
k=1
f k
λ
k y
k
(x) + c
0
y
0
(x),
где c
0
– произвольная постоянная.
Пример 1.5. Требуется решить методом Фурье краевую задачу





−u
00
+ 3u = 2x − 10,
u
0
(1) − 2u(1) = 7,
u
0
(3) = 1.
Так как метод Фурье применим к задачам с однородными краевыми условиями, с помощью замены u(x) = v(x) +
α
x +
β
приведем краевые условия к однородным:
u
0
(1) − 2u(1) = v
0
(1) +
α
− 2(v(1) +
α
· 1 +
β
) =
= v
0
(1) − 2v(1) −
α
− 2
β
= 7,
u
0
(3) = v
0
(3) +
α
= 1.
Для того чтобы краевые условия для функции v(x) были однородными,
нужно, чтобы
α
и
β
удовлетворяли системе уравнений
(
−
α
− 2
β
= 7,
α
= 1.
Отсюда
α
= 1,
β
= −4. Подставив u(x) = v(x)+x−4 в уравнение, получим краевую задачу для функции v:





−v
00
+ 3v = −x + 2,
v
0
(1) − 2v(1) = 0,
v
0
(3) = 0.
(1.16)
1. Оператором задачи (1.16) будет L(y) = −y
00
+ 3y. Найдем собствен- ные числа и собственные функции этого оператора:





−y
00
+ 3y = λy,
y
0
(1) − 2y(1) = 0,
y
0
(3) = 0.
Запишем уравнение задачи в виде y
00
+ (λ − 3)y = 0. Обозначим λ − 3 =
µ
2
Общее решение уравнения y
00
+
µ
2
y = 0 при
µ
2
> 0 можно записать как y(x) = C
1
cos(
µ
(3 − x)) + C
2
sin(
µ
(3 − x)).
18

Подставив в общее решение краевые условия, получаем систему уравнений относительно C
1
и C
2
(
(
µ
sin(2
µ
) − 2 cos(2
µ
))C
1
+ (sin(2
µ
) −
µ
cos(2
µ
))C
2
= 0,
0 · C
1
−
µ
C
2
= 0.
(1.17)
Очевидно, что в системе (1.17) C
2
= 0, а C
1
будет ненулевым, только если
µ
sin(2
µ
) − 2 cos(2
µ
) = 0.
Полученное уравнение приведем к виду ctg(2
µ
) =
1 2
µ
(1.18)
Уравнение (1.18) имеет бесконечное число корней
µ
k
, которые можно най- ти только численными методами. Первые 3 корня уравнения будут
µ
1
=
= 0.632296,
µ
2
= 1.967581,
µ
3
= 3.407005. Собственные числа оператора
L(y) равны λ
k
=
µ
2
k
+ 3. Соответственно, первые 3 собственных числа λ
1
=
= 3.399798, λ
2
= 6.871374, λ
3
= 14.607684. Тогда собственными функция- ми оператора L будут y
k
(x) = cos(
µ
k
(3 − x)).
Таким образом, для оператора L(y) получены система собственных чисел
{λ
k
=
µ
2
k
+ 3}
+∞
k=1
и система собственных функций {y k
= cos(
µ
k
(3 − x))}
+∞
k=1
,
где
µ
k
– положительные корни уравнения (1.18).
2. Для того чтобы записать ряды Фурье по системе {y k
}
+∞
k=1
, понадо- бятся нормы функций y k
:
ky k
k
2
=
2
Z
1
[cos(
µ
k
(3 − x))]
2
dx = 1 +
sin(4
µ
k
)
4
µ
k
Воспользовавшись соотношением sin(4
µ
k
) =
2 ctg(2
µ
k
)
1 + (ctg(2
µ
k
))
2
и уравнением
(1.18), получим ky k
k
2
= 1 +
1 4 +
µ
2
k
=
5 +
µ
2
k
4 +
µ
2
k
Разложим правую часть уравнения (1.16) g(x) = −x + 2 в ряд Фурье:
g(x) =
+∞
X
k=1
g k
y k
(x). Коэффициенты Фурье g k
будут:
g k
=
(g, y k
)
ky k
k
2
=
1
ky k
k
2 3
Z
1
(−x + 2) cos(
µ
k
(3 − x))dx =
19

=
1
ky k
k
2
cos(2
µ
k
) − 1
µ
2
k
+
sin(2
µ
k
)
µ
k

Первые 3 коэффициента g
1
= −0.194988, g
2
= −0.711385, g
3
= 0.128501.
Будем искать решение (1.16) в виде v(x) =
+∞
X
k=1
c k
y k
(x). Учитывая, что
L(v) =
+∞
X
k=1
c k
L(y k
) =
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k
,
получаем
+∞
X
k=1
c k
λ
k y
k
(x) =
+∞
X
k=1
g k
y k
(x).
Отсюда c
k
=
g k
λ
k
=
1
(
µ
2
+ 3)
(4 +
µ
2
k
)
(5 +
µ
2
k
)
cos(2
µ
k
) − 1
µ
2
k
+
sin(2
µ
k
)
µ
k

Первые 3 коэффициента ряда будут c
1
= −0.057353,
c
2
= −0.103529,
c
3
= 0.008797.
Окончательно решение задачи (1.16) примет вид v(x) =
+∞
X
k=1
c k
cos(
µ
k
(3 − x))
и решение исходной задачи u(x) =
+∞
X
k=1
c k
cos(
µ
k
(3 − x)) + x − 4.
В качестве приближенного решения задачи можно взять частичную сумму ряда Фурье u
N
(x) =
N
X
k=1
c k
cos(
µ
k
(3 − x)) + x − 4.
В табл. 1.1 приведены значения приближенного решения u
3
(x). Для сравнения приводятся значения точного решения y(x) = 0.001019e
√
3x
− 1.516849e
−
√
3x
+
2 3
x −
10 3
Таблица 1.1
x
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
u
3
(x)
−2.937097
−2.428362
−2.014745
−1.613016
−1.152085
u(x)
−2.929269
−2.432516
−2.014917
−1.609222
−1.157683 20