Файл: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов.docx

(5)

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию, в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

(6) где a₁и a₂неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение

(7)

Обозначим

соответственно через

, тогда зависимость (6) может быть записана в виде

, что позволяет применить формулы (4) с заменой a₁на

на

.

График восстановленной функциональной зависимости y(x) по результатам измерений (xi, yi), i=1, 2…, n называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(8)

(9)

где

- среднее арифметическое значение соответственно по x, y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе

к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

(10)

где

а числитель характеризует рассеяние условных средних около

безусловного среднего

.

Всегда

. Равенство

соответствует случайным некоррелированным величинам;

тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между xи y. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина

используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связиyc x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построен5ная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика - коэффициент детерминированности.

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

(11)

где S_{ост =} - остаточная сумма квадратов, характеризующая отклонение экспериментальных данных от теоретических.

S_полн

- полная сумма квадратов, где

среднее значение y_i.

- регрессионная сумма квадратов, характеризующая разброс данных.

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r², который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство

то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.

Для проведения расчётов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

0,77	0,56	0,5929	0,4312	0,456533	0,35153	0,332024	-0,57982	-0,44646
1,45	2,08	2,1025	3,016	3,048625	4,420506	4,3732	0,732368	1,061933
1,76	3,04	3,0976	5,3504	5,451776	9,595126	9,416704	1,111858	1,956869
2,23	2,76	4,9729	6,1548	11,08957	24,72973	13,7252	1,015231	2,263964
2,65	3,65	7,0225	9,6725	18,60963	49,31551	25,63213	1,294727	3,431027
2,76	7,06	7,6176	19,4856	21,02458	58,02783	53,78026	1,954445	5,394268
3,45	14,98	11,9025	51,681	41,06363	141,6695	178,2995	2,706716	9,33817
3,89	15,98	15,1321	62,1622	58,86387	228,9805	241,811	2,771338	10,7805
4,87	23,22	23,7169	113,0814	115,5013	562,4913	550,7064	3,145014	15,31622
5,04	26,12	25,4016	131,6448	128,0241	645,2413	663,4898	3,262701	16,44401
5,54	28,76	30,6916	159,3304	170,0315	941,9743	882,6904	3,358986	18,60878
5,81	30,76	33,7561	178,7156	196,1229	1139,474	1038,338	3,426215	19,90631
6,98	45,76	48,7204	319,4048	340,0684	2373,677	2229,446	3,82341	26,6874
7,34	50,87	53,8756	373,3858	395,4469	2902,58	2740,652	3,929273	28,84087
7,86	60,45	61,7796	475,137	485,5877	3816,719	3734,577	4,101817	32,24028
8,12	65,87	65,9344	534,8644	535,3873	4347,345	4343,099	4,187683	34,00399
8,87	77,85	78,6769	690,5295	697,8641	6190,055	6124,997	4,354784	38,62693
9,45	86,09	89,3025	813,5505	843,9086	7974,937	7688,052	4,455393	42,10347
10,87	101,65	118,1569	1104,936	1284,366	13961,05	12010,65	4,621536	50,23609
11,23	124,37	126,1129	1396,675	1416,248	15904,46	15684,66	4,823261	54,16522
11,89	130,75	141,3721	1554,618	1680,914	19986,07	18484,4	4,873287	57,94338
12,56	149,56	157,7536	1878,474	1981,385	24886,2	23593,63	5,007698	62,89668
13,43	172,45	180,3649	2316,004	2422,301	32531,5	31103,93	5,150107	69,16594
13,55	175,51	183,6025	2378,161	2487,814	33709,88	32224,07	5,167696	70,02228
14,76	200,54	217,8576	2959,97	3215,578	47461,93	43689,16	5,301014	78,24296
177,13	1600,69	1689,517	17536,43	18556,16	219852,7	207313,9	83,99674	749,2311
x	y	x^2	*xy**	x^3	x^4	*(x^2)y**	lny	*xlny**

Таблица 2.

Пояснение к таблице 2.

Шаг 1.В ячейки А1:A25 заносим значения x_i_.

Шаг 2.В ячейки B1:B25 заносим значения у_i_.

Шаг 3.В ячейку С1 вводим формулу=А1^2.

Шаг 4.В ячейки С1:С25 эта формула копируется.

Шаг 5.В ячейку D1 вводим формулу=А1*B1.

Шаг 6.В ячейки D1:D25 эта формула копируется.

Шаг 7.В ячейку F1 вводим формулу=А1^4.

Шаг 8.В ячейки F1:F25 эта формула копируется.

Шаг 9.В ячейку G1 вводим формулу=А1^2*B1.

Шаг 10.В ячейки G1:G25 эта формула копируется.

Шаг 11.В ячейку H1 вводим формулу=LN(B1).

Шаг 12.В ячейки H1:H25 эта формула копируется.

Шаг 13.В ячейку I1 вводим формулу=А1*LN(B1).

Шаг 14.В ячейки I1:I25 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью авто суммирования .

Шаг 15. В ячейку А26 вводим формулу=СУММ(А1:А25).

Шаг 16. В ячейку В26 вводим формулу=СУММ(В1:В25).

Шаг 17. В ячейку С26 вводим формулу=СУММ(С1:С25).

Шаг 18. В ячейку D26 вводим формулу=СУММ(D1:D25).

Шаг 19. В ячейку E26 вводим формулу=СУММ(E1:E25).

Шаг 20. В ячейку F26 вводим формулу=СУММ(F1:F25).

Шаг 21. В ячейку G26 вводим формулу=СУММ(G1:G25).

Шаг 22. В ячейку H26 вводим формулу=СУММ(H1:H25).

Шаг 23. В ячейку I26 вводим формулу =СУММ(I1:I25).

Аппроксимируем функцию

линейной функцией

. Для определения коэффициентов

воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26, запишем систему (4) в виде

(11)
решив которую, получим a1 = -36,9917 и a2 = 14,2578

Систему решали методом Крамера. Суть которого состоит в следующем. Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными: