Файл: Задача 1 в урне содержится 8 белых и 6 красных шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них имеется а ровно 3 белых шара б меньше, чем 3 белы шаров в хотя бы 1 белый шар. Решение.doc
Добавлен: 02.12.2023
Просмотров: 84
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задача 1В урне содержится 8 белых и 6 красных шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них имеется:А) ровно 3 белых шара;Б) меньше, чем 3 белы шаров;В) хотя бы 1 белый шар.Решение:А) Пусть событие А – среди вынутых шаров ровно три белых (тогда 1 вынутый шар – черный). Вероятность этого события найдем, используя классическое определение вероятностей: , где n – число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. Элементарными исходами являются сочетания из 14 элементов по 4, т.е.Число исходов, благоприятствующих данному событию:Получим Б) Пусть событие В – среди вынутых шаров меньше чем 3 белых шара. Это возможно, когда вынули 0 белых и 4 черных шара, или 1 белый и 3 черных, или 2 белых и 2 черных. Поэтому Получаем В) Пусть событие С – среди вынутых шаров хотя бы один белый шар. Перейдем к противоположному событию - среди вынутых шаров нет ни одного белого, т.е. все шары – черные. Следовательно, Получаем: Тогда Р(С)=1-0,0149=0,9851 Ответ: а) 0,3357, б) 0,5944, в) 0,9851 Задача 2Для получения кредита предприятие обратилось к трем банкам.Статистические исследования показали, что вероятности выделения кредита этими банками оценивается следующим образом: для первого банка р
1=1/4, для второго банка р2=1/6 и для третьего р3=1/8.Банки выделяют кредит независимо друг от друга, и если примут решение о его выделении, в размере: первый банк – 15 млн.руб., второй – 25 млн.руб., третий – 10 млн.руб. Рассмотрим следующие события:А –первый банк выделил кредит;В – второй банк выделил кредит;С – третий банк выделил кредит.Интересы предприятия, обратившегося за кредитом, описываются событиями:Д- получен кредит 25 млн.руб.;Е – получен кредит не менее 25 млн.руб.Выразить эти события через события А,В,С и найти и вероятности.Решение:Рассмотрим событие Д. предприятие получит кредит 25 млн.руб. в двух случаях:
Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? Какова вероятность того, что качественное изделие будет с первого завода? Решение:Комплектующие изделия поступили с трех заводов 1- 40, 2-35, 3- 25. Всего 40+35+25=100 изделий.Испытание: случайным образом берется одно изделие.Событие А связано с гипотезами:В1- взятое изделие изготовлено на первом заводе;В2 – взятое изделие изготовлено на втором заводе;В3 – взятое изделие изготовлено на третьем заводе.В1, В2, В3 – образуют полную группу несовместных событий, т.к. заводов только три и взяли только одно изделие.Можно использовать формулу полной вероятности:Р(В1), Р(В2), Р(В3) можно найти по определению , , Подставим данные значения в формулу полной вероятности, получим:Р(А)=0,4*0,9+0,35*0,7+0,25*0,9=0,36+0,245+0,225=0,83Вероятность того, что качественное изделие будет с первого завода, найдем по формуле Байеса: Ответ: Р(А)=0,83, РА(В1)=0,4337Задача 4В городе 3 оптовых базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар имеется на этих базах одинакова и равна 0,8. Составьте закон распределения числа баз, на которых искомый товар имеется. Найти математическое ожидание, дисперсию дискретной случайной величины.Решение:Дано: 3 оптовых базы.Испытание: ищем товар требуемого сорта на каждой из 3-х баз.Событие А – товар требуемого сорта имеется на любой из трех баз. Р(А)=0,8.
Случайная величина Х – число баз, на которых требуемый товар имеется.Чтобы составить закон распределения дискретной случайной величины Х необходимо указать соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Записать этот закон можно в виде ряда распределения. Случайная величина Х принимает значения 0,1,2,3. Вероятность события А на всех 3-х базах одинакова, поэтому можно использовать формулу Бернулли: , Р=0,8; q=1-0,8=0,2
Контроль вычислений: 0,008+0,096+0,384+0,512=1.Математическое ожидание дискретной случайной величины найдем по определению:Для нахождения дисперсии воспользуемся свойством: D(X)=M(X2)-(M(X))2.D(X) =(0*0,008+1*0,096+4*0,384+9*0,512)-(2,4)2=0,096+1,536+4,608-5,76=0,48Ответ: М(Х)=2,4; D(Х)=0,48.Задача 5Дискретная случайная величина задана таблицей:
Найти р5, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения. Найти и изобразить графическую функцию распределения.Решение:Для любой дискретной случайной величины Получаем 1/46+1/8+1/2+1/3+р
5=10,02+0,13+0,5+0,33+р5=1Р5=1-0,02-0,13-0,5-0,33=0,02Т.е ряд распределения имеет вид:
Математическое ожидание найдем по формуле: Получаем М(Х)=(-5)*0,02+(-2)*0,13+0*05+2*0,33+5*0,02==-0,1-0,26+0+0,66+0,1=0,4Дисперсию найдем по формуле D(X)=M(X2)-(M(X))2.М(Х2)=25*0,02+4*0,13+0*0,5+4*0,33+25*0,02=0,5+0,52+0+1,32+0,5==2,84Тогда D(X)=2,84-(0,4)2=2,84-0,16=2,68 Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле: Получаем Построим многоугольник распределения: Если -5 , то F(x)=0.02+0.13+0.5+0.33+0.02Функция распределения задается формулой F(x) =P(XБудем задавать различные значения х и находить соответствующие значение функции:Если х , то F(x)=0Если то F(x)=0,02Если то F(x)=0,02+0,13=0,15Если то F(x)=0,02+0,13+0,5=0,65Если то F(x)=0,02+0,13+0,5+0,33=0,98Если то F(x)=0,02+0,13+0,5+0,33+0,02=1Получаем:Построим график функции распределения:: 1
1=1/4, для второго банка р2=1/6 и для третьего р3=1/8.Банки выделяют кредит независимо друг от друга, и если примут решение о его выделении, в размере: первый банк – 15 млн.руб., второй – 25 млн.руб., третий – 10 млн.руб. Рассмотрим следующие события:А –первый банк выделил кредит;В – второй банк выделил кредит;С – третий банк выделил кредит.Интересы предприятия, обратившегося за кредитом, описываются событиями:Д- получен кредит 25 млн.руб.;Е – получен кредит не менее 25 млн.руб.Выразить эти события через события А,В,С и найти и вероятности.Решение:Рассмотрим событие Д. предприятие получит кредит 25 млн.руб. в двух случаях:
-
Первый и третий банк выделили кредит, а второй не выделил – событие Д1. -
Кредит выделит только второй банк, а первый и третий не выделят – событие Д2.
-
Предприятие получит кредит 40 млн.руб. – Е1 -
Предприятие получит кредит 35 млн.руб. – Е2 -
Предприятие получит кредит 50 млн.руб. – Е3
Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? Какова вероятность того, что качественное изделие будет с первого завода? Решение:Комплектующие изделия поступили с трех заводов 1- 40, 2-35, 3- 25. Всего 40+35+25=100 изделий.Испытание: случайным образом берется одно изделие.Событие А связано с гипотезами:В1- взятое изделие изготовлено на первом заводе;В2 – взятое изделие изготовлено на втором заводе;В3 – взятое изделие изготовлено на третьем заводе.В1, В2, В3 – образуют полную группу несовместных событий, т.к. заводов только три и взяли только одно изделие.Можно использовать формулу полной вероятности:Р(В1), Р(В2), Р(В3) можно найти по определению , , Подставим данные значения в формулу полной вероятности, получим:Р(А)=0,4*0,9+0,35*0,7+0,25*0,9=0,36+0,245+0,225=0,83Вероятность того, что качественное изделие будет с первого завода, найдем по формуле Байеса: Ответ: Р(А)=0,83, РА(В1)=0,4337Задача 4В городе 3 оптовых базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар имеется на этих базах одинакова и равна 0,8. Составьте закон распределения числа баз, на которых искомый товар имеется. Найти математическое ожидание, дисперсию дискретной случайной величины.Решение:Дано: 3 оптовых базы.Испытание: ищем товар требуемого сорта на каждой из 3-х баз.Событие А – товар требуемого сорта имеется на любой из трех баз. Р(А)=0,8.
Случайная величина Х – число баз, на которых требуемый товар имеется.Чтобы составить закон распределения дискретной случайной величины Х необходимо указать соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Записать этот закон можно в виде ряда распределения. Случайная величина Х принимает значения 0,1,2,3. Вероятность события А на всех 3-х базах одинакова, поэтому можно использовать формулу Бернулли: , Р=0,8; q=1-0,8=0,2
| хi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
| хi | -5 | -2 | 0 | 2 | 5 |
| pi | 1/46 | 1/8 | 1/2 | 1/3 | p5 |
5=10,02+0,13+0,5+0,33+р5=1Р5=1-0,02-0,13-0,5-0,33=0,02Т.е ряд распределения имеет вид:
| хi | -5 | -2 | 0 | 2 | 5 |
| pi | 0,02 | 0,13 | 0,5 | 0,33 | 0,02 |