Файл: Петрозаводский государственный университет.pdf

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
139
Оценка неизвестного закона распределения таксационного признака
северной сосны
При обследовании насаждения северной сосны получены значения диаметра на высоте груди (в см.) у 50 деревьев. На основании статистического анализа выборочных данных и проверки гипотезы о виде закона распределения оценить неизвестный закон распределе- ния генеральной совокупности при уровне значимости
05 0


Ввод экспериментальных данных:
Объем выборки
50
:

n
1 0
:


n
i
0

ORIGIN
– предопределенная переменная, задает значение индекса первого элемента числового массива.
Введем исходные данные, разбив числовой массив
i
x из
50
элементов на три подмассива
(для экономии места):
Построение интервального распределения выборки и гистограммы
Построить гистограмму можно с помощью статистической встроенной функции hist. Ре- зультатом функции является вектор частот, определяющий, сколько экспериментальных значений содержится в каждом интервале. j
0 15

k
16 31

g
32 49

j
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 14 15
x j
29 31 25 26.5 24 33 40 22.5 30.5 35.5 38.5 30 28 30.5 27 36
k
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
x k
28 36 37 44.5 39.5 34 35 33.5 30 40 37 31 24.5 40.5 36.5 33.5
g
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
x g
24.5 39.5 23 21.5 20 34 30.5 32 27 30.5 36.5 32 42.5 38.5 27 22.5 40 26

140
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
Формат функции: hist(L, x) где L – вектор, задающий пределы частичных интервалов; x – вектор экспериментальных данных.
Задание вектора L:
Определим минимальное и максимальное значения экспериментальных данных:
Разделим отрезок [20; 44.5] на 9 частичных интервалов длиной h:
Построение гистограммы
F
hist L x

(
)

F
L
По виду гистограммы, которая является оценкой теоретической кривой распределения, делаем предположение о нормальном законе распределения. min x
( )
20

max x
( )
44.5

j
0 9


h max x
( )
min x
( )

9

h
2.722

L
j min x
( )
h j



Определим размах выборки:
max x
( )
min x
( )
24.5

L
j
20 22.722 25.444 28.167 30.889 33.611 36.333 39.056 41.778 44.5
- границы интервалов
- эмпир ические частоты hist L x

(
)
4 5
7 7
7 6
6 6
1


ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
141
Вычисление параметров нормального закона распределения
Нормальный закон распределения определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Оценкой математического ожидания генеральной совокупности является выборочная средняя xsr, оценкой отклонения – ис- правленное выборочное среднее квадратическое отклонение S.
Выборочная средняя, см:
Исправленное среднее квадратическое отклонение, см:
Уравнение плотности нормального распределения имеет вид:
Для сравнения кривой нормального распределения с гистограммой умножим уравнение на n·h:
Для построения графика
)
(L
Y
используем оператор векторизации
)
(L
Y
(см. пример 5.24 на стр. 87).
Y x
( )
n h

S 2



e x
xsr
(
)
2 2 S
2


xsr i
x i
n xsr
31.9

S
i x
i xsr
2
n
1
S
6.106

f x
( )
1
S 2



e x
xsr
(
)
2 2 S
2



142
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
Определим теоретические частоты по формуле
i
i
P
n
nt


, где
i
P – вероятность попадания случайной величины X в i -ый частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.
Зададим границы частичных интервалов: l
min x
( ) min x
( )
h


max x
( )
h



Тогда теоретические частоты:
Запишем вычисленные теоретические частоты в виде таблицы ввода и эмпирические час- тоты: nt l
( )
n l
l h
x f x
( ) d

nt l
( )
2.038 3.94 6.263 8.189 8.805 7.787 5.664 3.388 1.667 8.771592 1
F
Y L
( )
44.6 17
L
20 30 40 5
10
Histogram
Normal distribut ion j
0 8

n j
hist L x

(
)
j

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
143
Вычислим наблюдаемое значение критерия согласия
2

:
Определим число степеней свободы, учитывая, что число интервалов
9

s
:
3
:


s
k
,
6

k
Найдем критическую точку
)
,
(
2
k
кр


по таблице критических точек распределения «хи- квадрат» по заданному уровню значимости
05 0


и числу степеней свободы:
6 12
:
)
6
,
05 0
(
2

кр

Вывод. Поскольку
2 2
кр
наб



, нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Значит, расхо- ждение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, эксперимен- тальные данные по замерам диаметра северной сосны согласуются с гипотезой о нор- мальном законе распределения генеральной совокупности.

nab j
n j
nt j
2
nt j

nab
5.623

n j
4 5
7 7
7 6
6 6
1
nt j
2.038 3.94 6.263 8.189 8.805 7.787 5.664 3.338 1.667

144
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Примеры MathCAD-документов
W
1.749 10 6


W
W1 W2

W3


Полное сопротивление поезду равно:
W3
P
Q

(
)
i
700
R
if L
S

1

S
L













Сопротивление за счет уклона и кривизны пути определим по формуле:
W2 1.227

W2 0.7 8
0.1V

0.0025V
2



q0


Основное сопротивление груженым четырехосным вагонам на подшипниках скольжения определим по формуле:
q0
Q
4n

Найдем среднюю нагрузку от каждой оси на рельсы:
W1 739.375

W1 1.9 0.01V

0.0003V
2



P

Основное сопротивление электровозу при движении под током определим по формуле:
i
77

Величина уклона:
L
0.5

Длина поезда, км:
S
1

Длина кривой, км:
R
1

Радиус кривизны, км:
V
45

Скорость поезда, км/ч:
n
15

Кол-во вагонов:
Q
2000

Масса состава, т:
P
250

Масса электровоза, т:
Исходные данные:
Вычислить значение полног о сопротивления W движению поезда, состоящего из
основног о сопротивления составу и сопротивления от уклона и кривизны пути, если
известны: масса электровоза P; масса состава Q; количество четырехосных ваг онов
n на подшипниках скольжения; скорость поезда V; радиус кривизны R; длина кривой S;
длина поезда L; величина уклона i
-
отношение высоты подъема к длине участка,
умноженное на 1000.
Расчет полного сопротивления движению поезда

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об ошибках
145
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об основных ошибках в числовых
вычислениях
1
A “Find” or “Minerr” must be preceded by a matching “Given”
Функциям find и minerr
должно предшествовать ключевое слово начала блока решений
Given
Arguments in function definitions must be names
Аргументы при определении функции должны быть именами.
Can‟t converge to a solution.
Нет сходимости к решению.
Ошибка может возникнуть при вычислении интегралов на промежутке, содержащем точку, в которой подынтегральная функция не ограничена, а также при вычислении производных, поиске корней уравнений и сис- тем с помощью функций root, find или minerr.
Попытайтесь увеличить точность вычислений, изменяя значение встро- енной переменной TOL или начальное приближение (начальные при- ближения) для переменной (переменных), относительно которой (кото- рых) решается уравнение или система.
Can‟t define the same variable more than once in the same expression
Нельзя определить одну и ту же переменную дважды в одном и том же выражении.
Can't evaluate this expression. It may have resulte in an owerflow or an infinite loop
Невозможно оценить это выражение. Ошибка может быть результатом переполнения или бесконечного цикла.
Can‟t evaluate this function when its argument is zero
Эта функция не определена в нуле.
Can‟t find a solution to this system of equations. Try a different guess value or check that a so- lution really exists
Невозможно найти решение системы уравнений. Попытайтесь изменить начальное приближение или точность вычислений (значение встроенной переменной TOL) так, чтобы решение могло бы быть найдено, если, ко- нечно, оно действительно существует.
Can‟t find the data file you’re trying to use
Невозможно найти указанный файл с данными.
Can‟t perform this operation on the entire array at once. Try using “vectorize” to perform it ele- ment by element
Невозможно выполнить операцию одновременно над целым массивом.
Попытайтесь использовать векторизацию для ее выполнения последова- тельно над каждым элементом.
Can‟t plot this many points
Задано слишком много точек для построения графика.
Can‟t put a “:=” inside a solve block. Use the “=” button on the “Inequalities” toolbar instead
1
Элемент выражения окрашивается в красный цвет в случае, если с ним связана ошибка выполнения. Со- общение об ошибке выводится на экран в виде текста, ограниченного рамкой, до тех пор, пока курсор на- ходится в области, содержащей ошибочное выражение.

146
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об ошибках
Нельзя использовать оператор ―:=‖ (присваивания) в пределах блока решений. Используйте оператор сравнения ―равно‖ панели инструмен- тов Boolean.
Can‟t solve a system with this many equations
Невозможно решить систему с таким количеством уравнений.
Can‟t understand something in this data file. If this file came from a spreadsheet, make sure you saved it as ASCII text only
Невозможно что-либо понять в указанном файле данных. Если данные подготовлены с помощью приложения Excel, то выполните сохранение данных в файле текстового формата ASCII.
Can‟t understand the name of this function. If you‟re trying to multiply, use “*”
Нельзя понять имени функции. Если вам требуется выполнить умноже- ние, то используйте символ ―*‖.
Can‟t understand the way this range variable is defined
Невозможно понять способ задания переменной диапазона (например, в случае x:=1,3 .. –5, когда шаг положительный и равен 3-1=2, а послед- нее из трех указанных значений меньше первого).
Can‟t understand this number
Невозможно понять это число (например, 12.01.2002).
Can‟t use a range variable in a solve block
Нельзя использовать переменную диапазона в «блоке решений».
Cannot evaluate this accurately at one or more of the values you specified
Невозможно оценить значение указанной функции в одной или более заданных точках (например, sin(10 100
)).
Cross product is defined only for vectors having exactly three elements
Векторное произведение определено для векторов, имеющих ровно 3 элемента.
Degree of the polynomial must be between 1 and 99
Степень полинома должна быть в пределах от 1 до 99.
Dimensions must be 4
Указанная матрица должна иметь как минимум 4 строки и 4 столбца.
End of file
Достигнут конец файла при чтении данных.
Equation too large
Это выражение довольно сложное для оценивания. Разбейте его на два или более простых выражения.
Found a number with a magnitude greater than 10^307 while trying to evaluate this expression
При вычислении значения выражения достигнуто число, превышающее допустимое 10 307
Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero
Обнаружена сингулярность при вычислении выражения. Возможно, вы делите на 0.
Illegal constraint
Недопустимое ограничение. Например, это может быть недопусти- мое условие, записанное в «блоке решений».

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об ошибках
147
Illegal context. Press F1 for Help
Недопустимый контекст. Вы пытаетесь использовать оператор или функцию в недопустимом контексте. Нажмите F1 для вызова подсказки.
Наиболее общие причины этого сообщения следующие:
- вы ввели символ ; (точка с запятой) не при задании переменной диа- пазона;
- вы используете имя функции как имя переменной или имя сущест- вующей переменной как имя функции. Например,
Определение
Недопустимый контекст f(x):=x f+2= a:=4 a(4)+4=
- вы даете определение, которое содержит переменную диапазона в определяющем выражении (справа от :=), но не содержит ее справа.
Например, если определена переменная диапазона: p:=0 .. 4, ошибка появится при следующем определении: f:=p+2
Допустимое при этом определение: f(p):=p+2 или f p
:=p+2
Illegal dimensions
Недопустимая размерность. Матрица не имеет строки или столбца, на которые вы ссылаетесь. Введите имя массива и далее оператор резуль- тата ―=‖ для проверки количества строк и столбцов массива.
Integer too large
Это значение слишком велико
7
Integer too small
Это значение слишком мало
1
Invalid format
Недопустимый формат. Возможно, некорректно записаны аргументы ука- занной функции
1
Invalid matrix dimension
Недопустимая размерность массива.
List too long
Cлишком много элементов в списке. Ошибка может возникнуть и в слу- чае, если вы пытаетесь построить графики для большого списка выра- жений.
Matrix is singular. Cannot compute its inverse
Матрица сингулярная. Невозможно найти обратную к ней.
Ошибка возникает в случае, когда определитель матрицы равен 0.
Matrix must be positive definite
Матрица должна быть положительно определенной.
Must be <=10000
Это число должно быть меньше или равно 10000. Если вы используете встроенную функцию, установите курсор на ее имени и нажмите F1 для получения дополнительной информации.
7
Если вы используете встроенную функцию, установите курсор на ее имени и нажмите F1 для по- лучения дополнительной информации.

148
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об ошибках
Must be = 10^-16
Это число должно быть меньше или равно 10
-16
. Если вы используете встроенную функцию, установите курсор на ее имени и нажмите F1 для получения дополнительной информации.
Must be function
Аргумент должен быть функцией
1
Must be increasing
Значения элементов вектора должны быть упорядочены по возрастанию.
Проверьте это, введя имя вектора и затем оператор результата ―=‖.
Must be positive
Значения должны быть положительными.
Must be real
Значение должно быть вещественным.
Must be real scalar
Значение должно быть вещественной скалярной величиной.
Must be real vector
Вектор должен иметь вещественные элементы.
Must be square
Матрица должна быть квадратной.
Must have more than three observations
Эта функция обрабатывает вектор, имеющий как минимум 4 элемента.
Must have 3 vectors or one matrix
Требуется три вектора или одна матрица. Вы должны указать имена трех векторов, разделенных запятой, или имя одной матрицы. (Напри- мер, когда требуется построить векторное поле).
No solution found
Невозможно найти решение. Если вы используете встроенную функ- цию, установите курсор на ее имени и нажмите F1 для получения до- полнительной информации.
Non-positive definite
Эта матрица должна быть положительно определенной.
Not enough memory for this operation
Недостаточно памяти для выполнения вычислений. Попытайтесь осво- бодить некоторую память, уменьшив размерность массива. (MathCAD использует приблизительно 8 байт для хранения одного элемента мас- сива.)
Only positive values are allowed here
Здесь допустимы только положительные значения.
ORIGIN should be an integer whose magnitude is less than 16 million
Встроенная переменная ORIGIN должна принимать целые значения, не превышающие 16 миллионов.
(Rows – 1) must be power of 2
Эта матрица должна иметь 2
n строк.
Singular matrix
Сингулярная матрица. (Матрица является сингулярной, если ее опреде- литель равен 0).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сообщения об ошибках
149
Stack overflow
Переполнение стека. Эта ошибка чаще всего возникает тогда, когда вы пы- таетесь определить функцию саму через себя (рекурсивная функция) и отсутствует условие прерывания. Используйте различные имена функ- ций, чтобы избегать таких ошибок.
The expression to the left of the equal sign cannot be defined
Выражение, указанное слева от оператора присваивания ":=", не может быть определено. Слева могут быть указаны:
- имя переменной,
- имя переменной с нижними индексами,
- имя переменной с верхним индексом (при задании столбца матрицы).
- вектор или массив, шаблон которых формируется при выполнении команды