Файл: Руководитель проекта А. Н. Надольский 2021 г. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Теоретические основы радиоэлектроники Тема Расчет спектральных характеристик радиотехнических сигналов Проверил.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 104
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
–действительная часть спектра;
– мнимая часть спектра;
– амплитудный спектр сигнала;
- фазовый спектр сигнала;
Как видно из полученных выражений,
и 
,
т.е. действительная часть спектра и амплитудный спектр-функции четные;
и 
,
т.е. мнимая часть спектра и фазовый спектр –функции нечетные.
При
выражение (1.1.1) приобретает вид.
.
Отсюда можно сделать вывод, что спектральная плотность любого сигнала на нулевой частоте равна площади под кривой графика сигнала.
Учитывая, что амплитудный спектр
-функция четная, следовательно можно записать
В тригонометрической форме можно представить также формулу (1.1.2):
,
.
Учитывая, что амплитудный спектр - функция четная, следовательно можно записать:
.
Полученные выражения используются для расчета соответствующих характеристик сигнала.
2.1.3 Спектральная плотность четного и нечетного сигналов
Пусть
– четный сигнал, т.е. =
,тогда
.
Следовательно, спектральная плотность четного сигнала содержит только действительную часть, подынтегральная функция которой также четная.
Пусть
– нечетный сигнал, т.е. =
,тогда
.
Следовательно, спектральная плотность нечетного сигнала содержит только мнимую часть, подынтегральная функция которой четная.
2.2 Спектральный анализ периодических сигналов
2.2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов
Гармонический спектральный анализ периодических сигналов предполагает разложение сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания , которые сохраняют свою форму в процессе преобразований линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фаза), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.
Ряд Фурье можно представить так
Для того чтобы коэффициенты
определялись по одной и той же формуле для 
и 
, ряд Фурье принято записывать следующим образом:
(2.1)
где
. (2.2)
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1.Периодический сигнал можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих (синусоидальных и косинусоидальных) каждая из которых характеризуется своей амплитудой и частотой. Совокупность этих составляющих называют спектром сигнала, а совокупность их амплитуд – амплитудным спектром сигнала.
2.Составляющая
– это “нулевая ” (постоянная) составляющая с частотой , равной 0.
3.Амплитуды составляющих определяются по формулам (2.2).
4.Частоты составляющих дискретны ,т.e. имеют значения , кратные основной частоте - частоте сигнала:0,
,
,
,… .Таким образом, спектр периодического сигнала является дискретным.
Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.
Наиболее часто пользуются, другой более компактной формой записи ряда Фурье, называемой комплексной формой.
2.2.2 Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов
Практическое применение имеет другая форма записи тригонометрического ряда Фурье. Известно, что
,
где
и 
=
.
Тогда ряд (2.1) можно записать так:
Таким образом, периодический сигнал любой формы представляется постоянной составляющей
и бесконечной совокупностью гармонических составляющих с амплитудами 
и начальными фазами .
Совокупность составляющих и амплитуд называют амплитудным спектром , а совокупность фаз – фазовым спектром сигнала.
Для комплексного ряда Фурье:
Для комплексной формы - спектр амплитуд
и спектр фаз
.
2.2.3 Спектры четных и нечетных сигналов
Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.
Спектр четных сигналов
Если сигнал четный , то коэффициенты 
равны 0, т.к. подынтегральная функция 
является нечетной (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен 0). При этом ряд Фурье содержит только косинусы и постоянную составляющую, т.е.
где коэффициенты
равны:
Таким образом, для определения коэффициентов ряда Фурье четных сигналов достаточно иметь сигнал , заданный на половине периода.
Спектр нечетных сигналов
Если сигнал нечетный , то коэффициенты равны 0, т.к. подынтегральная функция 
является нечетной. При этом ряд Фурье содержит только синусы
где коэффициенты равны
В данном случае также для определения коэффициентов Фурье достаточно иметь сигнал заданный на половине периода.
В этом разделе мы рассмотрели спектральный анализ радиотехнических сигналов. В дальнейшем будем использовать формулы полученные в данном разделе для нахождения спектральных характеристик сигнала заданного в курсовом проекте.
3 СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(
) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(
) определить сигнал s(t). Соответствие между сигналом и его спектром принято записывать следующим образом:
s(t)↔ S( ).
С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.
Основные свойства:
1. Линейность:
s1(t)↔ S1( )
⁞ ⁞ (3.1)
sn(t)↔ Sn( )
___________________________
Вывод: прямое преобразование Фурье является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.
2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени:
s(t)↔ S( )
_____________________ (3.2)
Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t0 приводит к изменению фазового спектра на величину ±
t0. Амплитудный спектр не изменяется.
3. Изменение масштаба во времени:
s(t)↔ S( )
___________________ (3.3)
Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр, т.е. длительность сигнала и ширина спектра находятся в обратной пропорциональности между собой.
4. Спектр производной от сигнала:
s(t)↔ S( )
_____________________ (3.4)
ds(t)/dt↔
Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на . При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты ω, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2.
– мнимая часть спектра; – амплитудный спектр сигнала; - фазовый спектр сигнала;Как видно из полученных выражений,
и ,т.е. действительная часть спектра и амплитудный спектр-функции четные;
и ,т.е. мнимая часть спектра и фазовый спектр –функции нечетные.
При
выражение (1.1.1) приобретает вид. .Отсюда можно сделать вывод, что спектральная плотность любого сигнала на нулевой частоте равна площади под кривой графика сигнала.
Учитывая, что амплитудный спектр
-функция четная, следовательно можно записатьВ тригонометрической форме можно представить также формулу (1.1.2):
, .Учитывая, что амплитудный спектр
- функция четная, следовательно можно записать: .Полученные выражения используются для расчета соответствующих характеристик сигнала.
2.1.3 Спектральная плотность четного и нечетного сигналов
Пусть
– четный сигнал, т.е. = ,тогда .Следовательно, спектральная плотность четного сигнала содержит только действительную часть, подынтегральная функция которой также четная.
Пусть
– нечетный сигнал, т.е. = ,тогда .Следовательно, спектральная плотность нечетного сигнала содержит только мнимую часть, подынтегральная функция которой четная.
2.2 Спектральный анализ периодических сигналов
2.2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов
Гармонический спектральный анализ периодических сигналов предполагает разложение сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям – синусам и косинусам. Эти функции описывают гармонические колебания , которые сохраняют свою форму в процессе преобразований линейными устройствами (изменяются только амплитуда и фаза), что позволяет использовать теорию колебательных систем для анализа свойств радиотехнических цепей.
Ряд Фурье можно представить так
Для того чтобы коэффициенты
определялись по одной и той же формуле для и , ряд Фурье принято записывать следующим образом: (2.1) где
. (2.2)Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1.Периодический сигнал можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих (синусоидальных и косинусоидальных) каждая из которых характеризуется своей амплитудой и частотой. Совокупность этих составляющих называют спектром сигнала, а совокупность их амплитуд – амплитудным спектром сигнала.
2.Составляющая
– это “нулевая ” (постоянная) составляющая с частотой , равной 0.3.Амплитуды составляющих определяются по формулам (2.2).
4.Частоты составляющих дискретны ,т.e. имеют значения , кратные основной частоте - частоте сигнала:0,
, , ,… .Таким образом, спектр периодического сигнала является дискретным.Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.
Наиболее часто пользуются, другой более компактной формой записи ряда Фурье, называемой комплексной формой.
2.2.2 Амплитудный и фазовый спектры периодических сигналов
Практическое применение имеет другая форма записи тригонометрического ряда Фурье. Известно, что
,где
и = .Тогда ряд (2.1) можно записать так:
Таким образом, периодический сигнал любой формы представляется постоянной составляющей
и бесконечной совокупностью гармонических составляющих с амплитудами и начальными фазами .Совокупность составляющих
и амплитуд называют амплитудным спектром , а совокупность фаз – фазовым спектром сигнала.Для комплексного ряда Фурье:
Для комплексной формы - спектр амплитуд
и спектр фаз
.
2.2.3 Спектры четных и нечетных сигналов
Определение спектров периодических сигналов сводится по существу к нахождению коэффициентов ряда Фурье. Решение этой задачи иногда значительно упрощается , если учитываются особенности сигналов.
Спектр четных сигналов
Если сигнал
четный , то коэффициенты равны 0, т.к. подынтегральная функция является нечетной (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен 0). При этом ряд Фурье содержит только косинусы и постоянную составляющую, т.е. где коэффициенты
равны: Таким образом, для определения коэффициентов ряда Фурье четных сигналов достаточно иметь сигнал , заданный на половине периода.
Спектр нечетных сигналов
Если сигнал
нечетный , то коэффициенты равны 0, т.к. подынтегральная функция является нечетной. При этом ряд Фурье содержит только синусы где коэффициенты
равны В данном случае также для определения коэффициентов Фурье достаточно иметь сигнал заданный на половине периода.
В этом разделе мы рассмотрели спектральный анализ радиотехнических сигналов. В дальнейшем будем использовать формулы полученные в данном разделе для нахождения спектральных характеристик сигнала заданного в курсовом проекте.
3 СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье позволяют по сигналу s(t) определить его спектральную плотность S(
) и, если в этом есть необходимость, по известной спектральной плотности S(
) определить сигнал s(t). Соответствие между сигналом и его спектром принято записывать следующим образом:s(t)↔ S(
).С помощью свойств преобразований Фурье можно определить спектр измененного сигнала, преобразуя спектр первоначального сигнала.
Основные свойства:
1. Линейность:
s1(t)↔ S1(
)⁞ ⁞ (3.1)
sn(t)↔ Sn(
)___________________________
Вывод: прямое преобразование Фурье является линейной операцией, обладает свойствами однородности и аддитивности. Поэтому спектр суммы сигналов равен сумме спектров.
2. Спектр сигнала, сдвинутого во времени:
s(t)↔ S(
)_____________________ (3.2)
Вывод: сдвиг сигнала во времени на величину ±t0 приводит к изменению фазового спектра на величину ±
t0. Амплитудный спектр не изменяется.3. Изменение масштаба во времени:
s(t)↔ S(
)___________________ (3.3)
Вывод: при сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр, т.е. длительность сигнала и ширина спектра находятся в обратной пропорциональности между собой.
4. Спектр производной от сигнала:
s(t)↔ S(
)_____________________ (3.4)
ds(t)/dt↔
Вывод: спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на
. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты ω, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная π/2.