Файл: Методические указания к практическим занятиям по диисциплине основы теории надежности.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.12.2023
Просмотров: 1815
Скачиваний: 30
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство образования и науки Российской ФедерацииГосударственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николя Григорьевича Столетовых»
,
, - ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом результаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середине интервалов ∆ti и соединенных плавной кривой.Рассмотрим типовые примеры.Пример 1.1. На испытание поставлено N0= 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n(t) = 200 изделий, за интервал времени ∆t =100 чотказало n(∆t) = 100 изделий (рис. 1.3). Требуется определить , , , .t = 0t = 3000 ч ∆t = 1000 чN0 = 400n(t) = 200n(∆t) = 100 Ni= 200Ni+1= 100Рис. 1.3. Временной график к примеру 1.1.Решение: 1. По формуле (1.2) найдем вероятность безотказной работы:для tН = 3000 ч (начало интервала)для tК = 3100 ч (конец интервала)Определим среднее число исправно работающих образцов в интервале ∆tЧисло отказавших изделий за время t= 3050 чтогда2. По формуле (1.4) определяем частоту отказа:3. По формуле (1.6) определяем частоту отказа:
Интенсивность отказа можно также определить по формуле (1.7):Пример 1.2. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему - 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 час, второго - 329 и третьего - 245 ч. Требуется определить наработку аппаратуры на отказ. Решение. 1. Определяем суммарную наработку трех образцов аппаратуры: ч.
Р(6), частоту отказов а(100) при t=100 ч и среднюю наработку до первого отказа Тср.Вероятность безотказной работы определим по формуле (1.8) [1]:Р(t) = e - λt, тогда: Р(6) = exp(- 0,82·10-3·6) = e- 0,005 = 0,995.А вероятность Р(100) = exp(- 0,82·10-3·100) = e- 0,082 = 0,921.Из формулы (1.7) [1], находим частоту отказов а(t): а(t) = λ(t)·P(t), тогда:а(100) = λ·Р(100) = 0,82·10-3·0,921 = 0,755·10-3 ,1/час.При λ = const, из формулы (1.10) [1], можно получить формулу:ТСР = 1/λ = 1/0,82·10-3 = 1219,5 ≈ 1220 час.Ответ: Р(6) = 0,995; а(100) = 0,755·10-3, 1/час; ТСР = 1220 час. 1.6. Средняя наработка до первого отказа автоматической системы управления равна 640 ч. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 ч, частоту отказов для момента времени 120 ч и интенсивность отказов.В случае экспоненциального закона распределения для вычисления заданных количественных характеристик надежности системы применяются следующие формулы.Вероятность безотказной работы P(t):P(t) = e-λct, (1) где λс – интенсивность отказов системы, 1/чЧастота отказов f (t) системы:f(t) =λс ·Р(t)=λс ·e-λct , (2)При известном значении средней наработки до первого отказа Т0 интенсивность отказов системы λс можно определить по формуле:λс =1Tc , (3)λс =1Tc=1640 =0,00156 1/чДля t =120 чP(120) = e-λct=e-0,00156·120=0,829f(120) =λс ·Р(t)=0,00156 ·0,829=0,00129 1/чОтвет: P(120) = 0,829; f(120) =0,00129 =1,29·10-3 1/ч;λс =0,00156 =1,56·10-31/ч; 1.7. Средняя наработка изделия до первого отказа равна 1260 ч. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности для t=1000 ч.При распределении времени возникновения отказов по закону Релея основные показатели надежности определяются по следующим формулам.Вероятность безотказной работы P(t) = exp(-t2/2σt2), (1) где σt – параметр закона распределения, чВероятность отказаQ(t) =1-P(t) =1- exp(-t2/2σt2), (2) Частота отказов f(t) =λ(t)∙P(t)=(t/σt2)exp(-t2/2σt2) , (3)Интенсивность отказов λ(t)=t/σt2, (4) Cредняя наработка до первого отказаmt = σtπ/2, (5)Из формулы (4) при известном значении средней наработки изделия до первого отказа mt=1260 ч определим значение параметра σt:σt=mtπ/2 =12603,14/2 =1006 чПодставив σt =1008 ч и t =1000 ч в формулы (1) ,(2) и (3), получим:P(1000) = exp(-10002/2∙10062) = e-0,494= 0,61 Q(1000) =1-0,61=0,39λ(1000)=1000/10062 =0,99∙10-3 1/ч f(1000) = 0,99∙10-3·0,61= 0,6∙10-3 1/чОтвет: P(1000) =0,61 ; Q(1000) =0,39 ; f(1000) =0,6∙10-11/ ч ; mt=1260 ч 1.8. Вероятность безотказной работы гироскопа в течение t=150 ч равна 0,9. Время исправной работы подчинено закону Вейбулла с параметром k=2,6. Необходимо определить опасность отказов гироскопов для
Кафедра УКТР
методические указания к практическим занятиям по диисциплине «основы теории надежности»модуль 1. «Количественные характеристики надежности. Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединении элементов»Специальность 220501 «Управление качеством», заочная форма обучения.Составитель:З.В. мищенкоВладимир 20121. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ1.1. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ РЕШЕНИЯЗадачи, которые встречаются при определении количественных характеристик надежности, могут быть разбиты на следующие группы:1) определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия;2) определение количественных характеристик надежности изделия при известном аналитическом выражении одной какой-либо характеристики.При решении задач первой группы используются статистические определения количественных характеристик надежности, при решении задач второй группы - вероятностные определения характеристик и аналитические зависимости между ними.В настоящей главе при определении количественных характеристик надежности технических устройств по статистическим данным об их отказах не учитывается достоверность полученных результатов. По этой причине иногда в примерах и задачах исходные данные о числе испытуемых образцов и количестве отказов приводятся без учета требований достоверности получения количественных характеристик надежности. Вопросы достоверности результатов испытаний рассматриваются в пятой главе.Следует иметь в виду, что частота, интенсивность отказов и параметр потока отказов, вычисленные по формулам (1.4), (1.6) и (1.13), являются постоянными в диапазоне интервала времени ∆t, а функции,
, - ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом результаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середине интервалов ∆ti и соединенных плавной кривой.Рассмотрим типовые примеры.Пример 1.1. На испытание поставлено N0= 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n(t) = 200 изделий, за интервал времени ∆t =100 чотказало n(∆t) = 100 изделий (рис. 1.3). Требуется определить , , , .t = 0t = 3000 ч ∆t = 1000 чN0 = 400n(t) = 200n(∆t) = 100 Ni= 200Ni+1= 100Рис. 1.3. Временной график к примеру 1.1.Решение: 1. По формуле (1.2) найдем вероятность безотказной работы:для tН = 3000 ч (начало интервала)для tК = 3100 ч (конец интервала)Определим среднее число исправно работающих образцов в интервале ∆tЧисло отказавших изделий за время t= 3050 чтогда2. По формуле (1.4) определяем частоту отказа:3. По формуле (1.6) определяем частоту отказа:
Интенсивность отказа можно также определить по формуле (1.7):Пример 1.2. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему - 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 час, второго - 329 и третьего - 245 ч. Требуется определить наработку аппаратуры на отказ. Решение. 1. Определяем суммарную наработку трех образцов аппаратуры: ч.
-
Определяем суммарное количество отказов:
-
Вычислим вероятность безотказной работы:
-
Вычислим частоту отказа:
Р(6), частоту отказов а(100) при t=100 ч и среднюю наработку до первого отказа Тср.Вероятность безотказной работы определим по формуле (1.8) [1]:Р(t) = e - λt, тогда: Р(6) = exp(- 0,82·10-3·6) = e- 0,005 = 0,995.А вероятность Р(100) = exp(- 0,82·10-3·100) = e- 0,082 = 0,921.Из формулы (1.7) [1], находим частоту отказов а(t): а(t) = λ(t)·P(t), тогда:а(100) = λ·Р(100) = 0,82·10-3·0,921 = 0,755·10-3 ,1/час.При λ = const, из формулы (1.10) [1], можно получить формулу:ТСР = 1/λ = 1/0,82·10-3 = 1219,5 ≈ 1220 час.Ответ: Р(6) = 0,995; а(100) = 0,755·10-3, 1/час; ТСР = 1220 час. 1.6. Средняя наработка до первого отказа автоматической системы управления равна 640 ч. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 ч, частоту отказов для момента времени 120 ч и интенсивность отказов.В случае экспоненциального закона распределения для вычисления заданных количественных характеристик надежности системы применяются следующие формулы.Вероятность безотказной работы P(t):P(t) = e-λct, (1) где λс – интенсивность отказов системы, 1/чЧастота отказов f (t) системы:f(t) =λс ·Р(t)=λс ·e-λct , (2)При известном значении средней наработки до первого отказа Т0 интенсивность отказов системы λс можно определить по формуле:λс =1Tc , (3)λс =1Tc=1640 =0,00156 1/чДля t =120 чP(120) = e-λct=e-0,00156·120=0,829f(120) =λс ·Р(t)=0,00156 ·0,829=0,00129 1/чОтвет: P(120) = 0,829; f(120) =0,00129 =1,29·10-3 1/ч;λс =0,00156 =1,56·10-31/ч; 1.7. Средняя наработка изделия до первого отказа равна 1260 ч. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности для t=1000 ч.При распределении времени возникновения отказов по закону Релея основные показатели надежности определяются по следующим формулам.Вероятность безотказной работы P(t) = exp(-t2/2σt2), (1) где σt – параметр закона распределения, чВероятность отказаQ(t) =1-P(t) =1- exp(-t2/2σt2), (2) Частота отказов f(t) =λ(t)∙P(t)=(t/σt2)exp(-t2/2σt2) , (3)Интенсивность отказов λ(t)=t/σt2, (4) Cредняя наработка до первого отказаmt = σtπ/2, (5)Из формулы (4) при известном значении средней наработки изделия до первого отказа mt=1260 ч определим значение параметра σt:σt=mtπ/2 =12603,14/2 =1006 чПодставив σt =1008 ч и t =1000 ч в формулы (1) ,(2) и (3), получим:P(1000) = exp(-10002/2∙10062) = e-0,494= 0,61 Q(1000) =1-0,61=0,39λ(1000)=1000/10062 =0,99∙10-3 1/ч f(1000) = 0,99∙10-3·0,61= 0,6∙10-3 1/чОтвет: P(1000) =0,61 ; Q(1000) =0,39 ; f(1000) =0,6∙10-11/ ч ; mt=1260 ч 1.8. Вероятность безотказной работы гироскопа в течение t=150 ч равна 0,9. Время исправной работы подчинено закону Вейбулла с параметром k=2,6. Необходимо определить опасность отказов гироскопов для