Файл: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 55

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тема: «Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных»
Краткие теоретические сведения.


  1. Частные производные первого порядка. Дана функция .

При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной

(аргумент у – постоянная величина); (аргумент х – постоянная величина)

Например: 1) , ;

2) , (используем формулу ).

Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.

; ; ; .

Пример, ,

; ; ;

; . .

  1. Градиент скалярного поля – вектор с координатами . Этот вектор направлен по нормали к линии уровня и характеризует направление наибольшего возрастания функции z.

.

Пример 2: Дана функция . Найти в точке .

; ; ; ;

(использовалась формула ).

Производная по заданному направлению вектора находятся по формуле , где – направляющие косинусы вектора , .

Пример: Дана функция . Найти производную по направлению вектора в точке .

; ;

; (использовалась формула ).

; ;

.

ЗАДАНИЯ (только четные №)
Задание 1. Даны две функции и . Для каждой функции проверить равенство смешанных производных второго порядка .

Задание 2. Даны: функция , точка и вектор . Найти: 1) в точке А; 2) производную по направлению вектора в точке А.


№

вар-та
Задания

1
1) ;

2) .

2
1) ;

2) .

3
1) ;

2) .

4
1) ;

2) .

5
1) ;

2) .

6
1) ;

2) .

7
1) ;

2) .

8
1) ;

2) .

9
1) ;

2) .

10
1) ;

2) .



Тема: «Дифференциальные уравнения»
Краткая теория и методические указания для решения:

  1. Дифференциальные уравнения I порядка: или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.

Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:

    1. Уравнения с разделяющимися переменными

Алгоритм решения:

а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;

в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;

г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение

.

    1. Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1) . Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1) . Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .

  1. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений вида , где и – произвольные постоянные.

2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка



Составим и решим характеристическое уравнение .

Дискриминант .

Могут быть 3 случая:

а) , два разных действительных корня и , ;

б)

Смотрите также файлы