Файл: Практикум Челябинск 2019.pdf

111
Вариант 11
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
11 20 14 12 13 18 17 14 15
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
11 8
12 21 13 13 14 17 15
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
13 9
19
Вариант 12
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
11 20 14 12 13 18 17 14 9
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
18 15 11 20 14 12 13 18 17
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
14 15 10
Вариант 13
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
18 13 22 12 14 5
19 7
12
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
13 8
14 23 11 5
6 7
20
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
9 10 21
Вариант 14
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
14 23 11 5
6 7
20 9
10
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
21 14 18 13 22 12 14 5
19
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
7 12 18
Вариант 15
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
5 24 10 6
7 21 20 9
10
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
5 12 6
25 11 15 7
8 22
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
23 21 19
Вариант 16
T(1,2)
T(1,3)
T(1,4)
T(1,5) T(2,6) T(2,7)
T(3,6) T(3,7) T(4,6)
16
21
10
18
8
10
5
13
16
T(4,7)
T(5,6)
T(5,7)
T(6,8) T(6,9) T(6,10) T(7,8) T(7,9) T(7,10)
11
8
20
15
10
15
21
11
14
T(8,11) T(9,11) T(10,11)
11
19
7

112
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой динамическое программирование?
2. На основе какого принципа проводится решение задач методами динамического программирования?
3. Для решения каких задач применяется динамическое программирование?
4. В чем заключаются особенности динамического программирования?
5. Сформулируйте общую постановку задачи об оптимальном распределении инвестиций.
6. На какие этапы разбивается все решение задачи об оптимальном распределении инвестиций?
7. Что собой представляет функция Беллмана в задаче об оптимальном распределении инвестиций?
8. Сформулируйте общую постановку задачи выбора стратегии обновления оборудования.
9. Что собой представляет функция Беллмана в задаче выбора стратегии обновления оборудования.
10. Сформулируйте общую постановку задачи выбора оптимального пути в транспортной сети.
11. Что собой представляет функция Беллмана в задаче выбора оптимального пути в транспортной сети.
Практическая работа 6. ЛИНЕЙНЫЙ МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС
КРАТКАЯ СПРАВКА
Балансовые модели – важнейший инструмент, позволяющий согласовывать производственные связи отраслей национальной экономики.
В настоящее время модели данного класса регулярно строятся во многих странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и прогнозирования развития экономических систем.
Наиболее типичным примером матричных моделей считается экономико-
математическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева).
Именно за разработку и применение этого метода к решению важных экономических проблем в 1973 году Василий Васильевич Леонтьев был удостоен Нобелевской премии в области экономики. В западной литературе модели данного класса чаще всего именуются как метод «затраты-выпуск».
Структура межотраслевого баланса выражается матрицей, представленной в таблице 6.1.
Таблица 6.1
Принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении
№
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
Конечный
продукт
Валовой
продукт
1
2
…
n
1
Отрасль 1
x
11
x
12
…
x
1n
y
1
x
1
2
Отрасль 2
x
21
x
22
…
x
2n
y
2
x
2

113
Окончание таблицы 6.1
№
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
Конечный
продукт
Валовой
продукт
1
2
…
n
… …
…
…
…
…
…
…
n
Отрасль n
x
n1
x
n2
…
x
nn
y
n
x
n
Условно чистая
продукция
z
1
z
2
…
z
n
 



n
i
n
j
j
i
z
y
1 1
Валовый
продукт
x
1
x
2
…
x
n
 



n
i
n
j
j
i
x
x
1 1
Здесь x
i
– объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени
(валовой выпуск i-й отрасли);
x
ij
– объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью (внутреннее потребление);
y
i
– продукт конечного потребителя, производимый i-й отраслью (внешнее потребление);
z
i
– валовое потребление продукции i-й отраслью.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными
(тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают
натуральный и стоимостный межотраслевые балансы. Мы рассматриваем
стоимостный межотраслевой баланс.
Основные соотношения баланса для всех отраслей:
1) общее производство продукции в i-й отрасли равно сумме потребления продукции во всех отраслях и продукта конечного потребителя, выпускаемого данной отраслью:
,
n
,
i
,
y
x
x
n
j
i
ij
i
1 1





(6.1)
2) итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
,
n
,
j
,
z
x
x
n
i
j
ij
j
1 1





(6.2)
Формула (6.1) описывает систему из n уравнений, которые называются
уравнениями распределения продукции отраслей материального производства
по направлениям использования.
Балансовый характер таблицы выражается в том, что
 



n
i
n
j
j
i
x
x
1 1
,
 



n
i
n
j
j
i
z
y
1 1
.
Эти равенства служат для контроля правильности построения балансовой модели.

114
Для выражения соотношений баланса в матричной форме вместо абсолютных значений потребления используют удельные коэффициенты
прямых затрат:
j
ij
ij
x
x
a

,
(6.3) где x
j
– валовой выпуск j-й отрасли.
Коэффициент прямых материальных затрат a
ij
показывает, какое количество продукции i-й отрасли при учете только прямых затрат необходимо для производства единицы продукции j-й отрасли.
Для вычисления матрицы прямых затрат необходимо разделить элементы каждого столбца матрицы межотраслевого баланса на соответствующее по номеру значение валового выпуска. Например, элементы первого столбца нужно разделить на x
1
, второго – на x
2
и т.д.
Коэффициенты прямых затрат обнаруживают тенденцию сохранять свое значение в течение сравнительно длительного времени, что объясняется стабильностью технологического уровня отрасли. По своему смыслу коэффициенты прямых затрат не могут иметь отрицательных значений.
В пределах диапазона стабильности можно считать зависимость x
ij
от x
i
линейной, т.е материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:
j
ij
ij
x
a
x


(гипотеза линейности).
При принятии гипотезы линейности систему уравнений баланса можно записать в следующем виде:
y
x
A
x


,
(6.4) где











n
x
x
x

1
,











n
y
y
y

1
,











nn
n
n
a
a
a
a
A





1 1
11
Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса
(модель Леонтьева).
С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:
1. Данное уравнение используется для определения вектора конечного потребления отраслей при известном векторе валового выпуска. Из (6.4) следует, что


x
A
E
y


,
(6.5) где E – единичная матрица той же размерности, что и матрица прямых затрат
A.
2. Это соотношение может использоваться для прогнозирования валового выпуска при заданном векторе конечного потребления. Из (6.4) следует, что


.
y
A
E
x
1



(6.6)
3. Задав величины валовой продукции для ряда отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

115
Матрица (E

A)
-1
называется матрицей полных затрат. Элементы матрицы показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.
Плановые расчеты по модели Леонтьева можно проводить, если выполняется
условие продуктивности.
Если решение уравнения (6.6) существует, то матрица A называется
продуктивной.
Приведем критерии продуктивности:
1. Если матрица (E

A)
-1
существует и ее коэффициенты положительны, то матрица A продуктивна.
2. Если сумма элементов матрицы A по любому столбцу или строке не превышает 1, то матрица продуктивна, причем хотя бы для одного столбца
(строки) эта сумма строго меньше 1.

Пример 6.1. Таблица 6.2 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за отчетный период.
Таблица 6.2
№
Производящие
отрасли
Потребление
Конечный
продукт
Валовой
продукт
1
2
3
1
Машиностроение
6 36 20 40 102
2
Ракетостроение
12 12 20 50 94
3
Нефтехимия
22 12 12 10 56
Итого
Требуется найти объем валового выпуска продукции, при котором конечное потребление вместо уровня (40, 50, 10) достигнет уровня (50, 60,
20).
Решение
1. Проверка баланса исходной таблицы
Для этого вычисляются итоги по каждому столбцу. Сумма итогов потребления и конечного продукта должна равняться итогу валового продукта. В данном случае эти итоги равны 252 (табл. 6.3, рис. 6.1, 6.2).
Таблица 6.3
№
Производящие
отрасли
Потребление
Конечный
продукт
Валовой
продукт
1
2
3
1
Машиностроение
6 36 20 40 102
2
Ракетостроение
12 12 20 50 94
3
Нефтехимия
22 12 12 10 56
Итого
40
60
52
100
252

116
Рис. 6.1. Проверка баланса исходной таблицы (режим Формулы / Показать
формулы)
Рис. 6.2. Результат проверки баланса исходной таблицы
2. Вычисление матрицы прямых затрат
Для определения коэффициентов прямых затрат воспользуемся формулой
j
ij
ij
x
x
a

, где x
j
– валовой выпуск j-й отрасли (рис. 6.3, 6.4).
Рис. 6.3. Вычисление матрицы прямых затрат (режим Формулы / Показать
формулы)
Рис. 6.4. Результат вычисления матрицы прямых затрат

117
3. Проверка продуктивности матрицы прямых затрат
Для проверки продуктивности матрицы прямых затрат используем следующий критерий:
Если сумма элементов матрицы A по любому столбцу или строке не
превышает 1, то матрица продуктивна, причем хотя бы для одного
столбца (строки) эта сумма строго меньше 1.
Для этого вычисляем суммы элементов в строках и столбцах (рис 6.5).
Рис. 6.5. Проверка продуктивности матрицы прямых затрат
Так как все суммы элементов и в столбцах, и в строках меньше 1, то матрица продуктивна. Следовательно, можно утверждать, что для нее существует обратная матрица с положительными коэффициентами.
4. Определение матрицы полных затрат (E

A)
-1
.
4.1. Для этого необходимо создать единичную матрицу E той же размерности, что и матрица A (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Единичная матрица E
4.2. Затем необходимо найти разность (E

A).
Разность матриц определяется с помощью матричных операций MS
Office Excel. Выделив для результата поле той же размерности, что и для матриц E и A (например, в ячейках D20:F22), введите в строку формул выражение =D16:F18-D11:F13 для вычисления разности матриц (рис. 6.6).
После чего нажмите Shift+Ctrl+Enter для распространения результата на все ячейки результирующей матрицы (E

A) (рис. 6.8).