Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

∼ ARIMA(1, 2, 2)?
2. Запишите представление ряда в виде (нестационарной) ARMA.
Упражнение 58. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= 2x t−1
− x t−2
+ u t
+ 0.5u t−1
− 0.1u t−2
,
u t
∼ WN .
121

1. Покажите, что x t
∼ I(2).
2. Найдите порядок модели ARIMA(p, k, q), соответствующей ряду x
t
Для практических задач данные нужно взять с сайта Федерального
Банка г. С.-Луиса www.stlouisfed.org, база данных FRED. Во всех задачах уровень значимости равен 10%.
Упражнение 59. Рассмотрим месячные данные по денежной массе M2
для US c 1990 г. по н.в. Ряд x t
– логарифм M2.
1. Постройте график x t

. Какие можно сделать выводы?
2. Тестируйте ряд x t
на единичный корень.
3. Какой порядок интегрирования у ряда x t
?
4. Какую модель ARIMA выбрать для ряда x t
?
Упражнение 60. Рассмотрим квартальные данные по ВВП US c 1985 г.
по н.в. Постройте ряд x t
– логарифм ВВП.
1. Постройте график x t

. Какие можно сделать выводы?
2. Тестируйте ряд x t
на единичный корень.
3. Какой порядок интегрирования у ряда x t
?
4. Какую модель ARIMA выбрать для ряда x t
?
Упражнение 61. Рассмотрим месячные данные по краткосрочной став- ке 3-х месячных Treasury Bills c 1990 г. по н.в. (ряд x t
).
1. Постройте график x t

. Какие можно сделать выводы?
2. Тестируйте ряд x t
на единичный корень.
3. Какой порядок интегрирования у ряда x t
?
4. Какую модель ARIMA выбрать для ряда x t
?
122

Упражнение 62. Рассмотрим месячные данные по долгосрочной ставке
10-ти летних бондов c 1990 г. по н.в. (ряд x t
).
1. Постройте график x t

. Какие можно сделать выводы?
2. Тестируйте ряд x t
на единичный корень.
3. Какой порядок интегрирования у ряда x t
?
4. Какую модель ARIMA выбрать для ряда x t
?
Во всех задачах уровень значимости равен 10%.
Упражнение 63. Рассмотрим месячные сезонно-скорректированные ис- торические данные с 2000 г. по н.в. о денежной массе США M2SL. Тести- руйте этот ряд на единичный корень используя тесты ADF и Philips-
Perron’а. Отчет о тестировании должен включать график временного ряда, результаты теста, выводы и обоснование выбранного метода.
Упражнение 64. Рассмотрим месячные исторические данные с 2000 г.
по н.в. о 3-х месячной ставке TB3MS.
1. Подберите модель ARIMA. Отчет должен включая график вре- менного ряда, результаты теста, выводы и обоснование выбранно- го метода.
2. Постройте прогноз на 5 месяцев.
Упражнение 65. Рассмотрим месячные данные с 2000 г. по н.в. о 10-ти летней ставке GS10. Тестируйте этот ряд на единичный корень используя тесты ADF и KPSS. Отчет о тестировании должен включать график временного ряда, результаты теста, выводы и обоснование выбранного метода.
Упражнение 66. Рассмотрим квартальные исторические данные с 1985
г. по н.в. о ВВП США GDP.
1. Подберите модель ARIMA. Отчет должен включая график вре- менного ряда, результаты теста, выводы и обоснование выбранно- го метода.
123

2. Постройте прогноз на 6 кварталов.
Упражнение 67. Для ряда недельных данных о 30-ти летних ставках ипотечного кредитования MORTGAGE30US с 2000 г. по н.в.
1. подберите модель ARMA для первых приращений ставки и про- верьте её адекватность;
2. постройте прогноз на десять недель.
Упражнение 68. Рассмотрим месячные данные Moody’s Seasoned Aaa
Corporate Bond Yield (переменная AAA в базе FRED), начиная с 1995
года и до текущего момента.
1. Постройте модель ARIMA;
2. Протестируйте модель на серийную корреляцию;
3. Сделайте прогноз на 10 периодов и постройте соответствующие графики прогноза.
Упражнение 69. Рассмотрим квартальные исторические данные лога- рифма ВВП США (переменная GDP из базы FRED) с 1990 года и по н.в.
1. Постройте модель ARIMA;
2. Протестируйте модель на серийную корреляцию;
3. Сделайте прогноз на 10 периодов и постройте соответствующие графики прогноза.
Упражнение 70. Рассмотрим месячные данные по 10-летней ставке по- гашения (переменная GS10 в базе FRED) с 1995 по н.в.
1. Постройте модель ARIMA;
2. Протестируйте модель на серийную корреляцию;
3. Сделайте прогноз на 10 периодов и постройте соответствующие графики прогноза.
124

5.5.
Моделирование волатильности
Упражнение 71. Рассмотрите следующий процесс ARCH(2)
y t
= µ + ε
t
, ε
t
= z t
q
σ
2
t
,
σ
2
t
= ω + α
1
ε
2
t−1
+ α
2
ε
2
t−2 1. Вычислите безусловную дисперсию σ
2
ε
2. Запишите уравнения для дисперсии в качестве процесса авторе- грессии второго порядка для ε
2
t
3. Выпишите условия, при которых дисперсия стационарна.
Упражнение 72. Рассмотрите следующий процесс AR(1)-GARCH(1,1)
y t
= µ + φ
1
y t−1
+ ε
t
, ε
t
= z t
q
σ
2
t
,
σ
2
t
= ω + α
1
ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1 1. Вычислите безусловную дисперсию σ
2
ε
2. Запишите уравнения для дисперсии в виде модели ARMA(1, 1) для
ε
2
t
3. Выпишите условия, при которых дисперсия стационарна.
Упражнение 73. Рассмотрим месячные исторические данные с 2000 г.
по н.в. о 2-х месячной ставке TB2MS. Пусть x t
– первая разность.
1. Найдите порядок модели ARMA для x t
2. Найдите порядок ARCH для остатков ARMA-модели.
3. Оцените модель ARMA-ARCH выбранного порядка.
125

Упражнение 74. Рассмотрим месячные данные Moody’s Seasoned Aaa
Corporate Bond Yield (переменная AAA в базе FRED), начиная с 1995
года и до текущего момента. Пусть x t
– первая разность.
1. Найдите порядок модели ARMA для x t
2. Найдите порядок GARCH для остатков ARMA-модели.
3. Оцените модель ARMA-GARCH выбранного порядка.
Упражнение 75. Рассмотрим месячные данные по 10-летней ставке по- гашения (переменная GS10 в базе FRED) с 1995 по н.в. Пусть x t
– первая разность.
1. Найдите порядок модели ARMA для x t
2. Найдите порядок GARCH для остатков ARMA-модели.
3. Оцените модель ARMA-GARCH выбранного порядка.
5.6.
VAR и коинтеграция
Упражнение 76. Рассмотрим модель VAR(1)
x t
= Ax t−1
+ u t
,
x t
=
x t
y t
!
,
u t
=
u t
v t
!
,
где u t
∼ WN(0, σ
2
u
), v t
∼ WN(0, σ
2
v
), cov(u t
, v t
) = σ
uv
. Проверьте условие стационарности для матрицы A:
1)
0.5 1
0 0.3
!
, 2)
1 1 1 1
!
, 3)
1 3
0 0.2
!
,
4)
0 1 0 1
!
, 5)
0 0.5
−0.5 0
!
, 6)
0 1 1 1
!
126

Упражнение 77. Рассмотрим модель VAR(1)
x t
= Ax t−1
+ u t
,
x t
=



x t
y t
z t


 , u t
=



u t
v t
w t


 ∼ WN .
Проверьте условие стационарности для матриц a) A =



0 1
3
−1 0 −2 0
0 0.5


 , b) A =



0 0
0.5 0.5 0
0 0
0.5 0


 .
Упражнение 78. Рассмотрим модель VAR(2)
x t
= A
1
x t−1
+ A
2
x t−2
+ u t
,
x t
=
x t
y t
!
,
u t
=
u t
v t
!
∼ WN
Проверьте условие стационарности для матриц
1) A
1
=
2 3 0 1
!
,
A
2
=
−1 3
0
−0.25
!
2) A
1
=
0 0.5 0.5 0
!
,
A
2
=
0
−0.25
−0.25 0
!
Упражнение 79. Рассмотрим модель VAR (u t
, v t
∼ WN)
x t
= µ
1
+ 0.5x t−1
+ βy t−1
+ u t
,
y t
= µ
2
+ βx t−1
+ 0.5y t−1
+ v t

При каких значениях параметра β эта модель нестационарна (имеет единичный корень)?
Упражнение 80. Рассмотрим модель VAR (u t
, v t
∼ WN)
x t
= µ
1
+ 0.5x t−1
+ βy t−2
+ u t
,
y t
= µ
2
+ 0.5y t−1
+ βx t−2
+ v t

При каких значениях параметра β эта модель нестационарна (имеет единичный корень)?
127

Упражнение 81. Рассмотрим модели временных рядов a)
(
x t
= x t−1
+ u t
y t
= y t−1
+ v t
b)
(
x t
= x t−1
+ u t
y t
= cx t
+ v t
c)
(
x t
= x t−1
+ u t
y t
= x t
+ x t−1
+ v t
d)
(
x t
= 3x t−1
− 7y t−1
+ u t
y t
= x t−1
− 2.5y t−1
+ v t
1. Запишите эти модели в виде моделей VAR.
2. Проверьте условие стационарности.

3. Какие временные ряды коинтегрированы?
• Если ряды коинтегрированы, найдите коинтеграционное со- отношение, корректируя ошибку, и запишите модель VECM.
• Если ряды некоинтегрированы, то постройте VAR-модель для первых разностей.
Упражнение 82. Рассмотрим модели временных рядов a)
(
x t
= 2x t−1
− x t−2
+ u t
y t
= 1.5y t−1
− 0.5y t−2
+ v t
b)







x t
= x t−1
+ u t
y t
= x t
+ x t−1
+ v t
z t
= x t
+ y t−1
+ w t
c)
(
x t
= 2x t−1
− x t−2
+ u t
y t
= 2x t
+
1 2
(y t−1
+ y t−2
) + v t
d)







x t
= y t−1
+ u t
y t
= z t−1
+ v t
z t
= x t−1
+ w t
1. Запишите эти модели в виде моделей VAR.
2. Проверьте условие стационарности.

3. Какие временные ряды коинтегрированы?
4. Представьте модели в виде VECM.
128

Упражнение 83. Рассмотрим модели временных рядов a)
(
x t
= x t−1
+ u t
y t
= x t
+ v t
b)
(
x t
= 0.5y t
+ x t−1
+ u t
y t
= x t
+ 0.5y t−1
+ v t
1. Запишите эти модели в виде моделей VAR.
2. Проверьте условие стационарности.

3. Какие временные ряды коинтегрированы?
4. Представьте модели в виде VECM.
Упражнение 84. Рассмотрим модель временных рядов
(
x t
= 1.5x t−1
+ y t−1
− 0.5x t−2
− y t−2
+ u t
y t
=
−x t−1
− 0.5y t−1
+ x t−2
+ 1.5y t−2
+ v t
1. Запишите модель в виде модели VAR.
2. Проверьте условие стационарности.

3. Коинтегрированы ли ряды?
• Если ряды коинтегрированы, найдите коинтеграционное со- отношение, корректируя ошибку, и запишите модель VECM.
• Если ряды некоинтегрированы, то постройте VAR-модель для первых разностей.
Упражнение 85. Рассмотрим многомерные ряды Canada из пакета vars.
1. Оцените модель VAR для первых разностей.
2. Протеститруйте полученную модель на серийную корреляцию.
3. Постройте график разложения дисперсии прогноза (используйте упорядочение по умолчанию).
4. Для каждой переменной протестируйте причинность по Грендже- ру.
129

Упражнение 86. Рассмотрим многомерные ряды M1Germany из пакета dynlm
1. Оцените модель VAR для первых разностей.
2. Протеститруйте полученную модель на серийную корреляцию.
3. Нарисуйте графики функций отклика, используя упорядочение по умолчанию.
4. Для каждой переменной протестируйте причинность по Грендже- ру.
Упражнение 87. Рассмотрим многомерные ряды Money из пакета Ecdat.
1. Оцените модель VAR для первых разностей.
2. Протеститруйте полученную модель на серийную корреляцию.
3. Вычислите прогнозы на 10 периодов и постройте соответствующие графики.
4. Для каждой переменной протестируйте причинность по Грендже- ру.
130

Литература
[1] Айвазян С. А., Фантаццини Д., Эконометрика-2: продвинутый курс с приложениями в финансах, М.: Магистр: Инфра-М, 2014.
– 944 с.
[2] Айвазян С. А., Мхитарян В.С., Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная стати- стика, М.: Юнити-Дана, 2001. – 656 с.
[3] Айвазян С.А., Методы эконометрики: учебник, М.:МАГИСТР:
ИНФРА-М, 2010. – 512 с.
[4] Артамонов Н.В. Введение в эконометрику, 2-е изд., испр. и доп.–
М.:МЦНМО, 2014.
[5] Берндт Э., Практика эконометрики. Классика и современность,
М.: Юнити, 2005.
[6] Бородич С.А., Вводный курс эконометрики, Учебное пособие, Мн.:
БГУ, 2000.
[7] Вербик М., Путеводитель по современной эконометрике, М.: На- учная книга, 2008.
[8] Доугерти К., Введение в эконометрику, М.: ИНФРА-М, 1997.
131

[9] Ивин Е. А., Артамонов Н. В., Курбацкий А. Н., Методическое по- собие по эконометрике: для социально-экономических специально- стей, ИСЭРТ РАН Вологда, 2016. — 184 с.
[10] Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Эконометрика. На- чальный курс, М.: Дело, 2007
[11] Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., Головань С. В.,
Сборник задач к начальному курсу эконометрики М.: «Дело», 2007
– 224 с.
[12] Носко В. П. Эконометрика. Книга 1. Части 1 и 2, Издательский дом Дело РАНХиГС Москва, 2011. — 672 с.
[13] Носко В. П. Эконометрика. Книга 2. Части 3 и 4, Издательский дом Дело РАНХиГС Москва, 2011. — 576 с.
[14] Росси, Э., Одномерные GARCH-модели: обзор, Квантиль, №8, с. 1–
67, 2009.
[15] Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the American Statistical Association, Business and Economic Statistics
Section, pp. 177–181.
[16] Black, F. and Scholes, M. (1972). The valuation of option contracts and a test of market efficiency. The Journal of Finance, 27(2), 399–417.
[17] Bollerslev,
T.
(1986).
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307–327.
[18] G. E. Box, G. M. Ljung, On a measure of lack of fit in time series models, Biometrica, 65(2), pp. 297–303, 1978.
[19] T. S. Breusch, A. R. Pagan, A simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation, Econometrica, 47(5), pp. 1287–1294, 1979.
[20] W. Enders, Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons; 2nd edition, 2004.
132

[21] Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation. Econometrica,
pp. 987–1007.
[22] Engle, R. F. and Granger, C. W. (1987). Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing. Econometrica, pp.
251–276.
[23] Fantazzini D., Quantitative Finance with R and Cryptocurrencies, —
Amazon KDP United States, 2019. — 586 p.
[24] R. Frisch, Editor’s note, Econometrica, vol. 1, pp. 1–4, 1933.
[25] W. J. Greene, Econometric Analysis, Prentice Hall, 6th edition, 2007.
[26] J. D. Hamilton, Time series analysis, Princeton University Press, 1994.
[27] E. J. Hannan, B. G. Quinn, The Determination of the order of an autoregression, J. of the Royal Statistic Society. Series B, v. 41, No 2,
pp.190–195, 1979.
[28] Merton, R. C. (1973). Theory of rational option pricing. The Bell
Journal of Economics and Management Science, pages 141–183.
[29] Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7(1),
77–91.
[30] Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A
new approach. Econometrica, pp. 347–370.
[31] Sims, C. A. (1980). Macroeconomics and reality. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pp. 1–48.
[32] Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. The Journal of Finance, 19(3),
425–442.
[33] G. Schwarz, Estimating the dimension of a model, Ann. Statistic, 6, pp.
461–464, 1978.
133

[34] J. H. Stock, M. W. Watson, Introduction to Econometrics, Addison
Wesley, 2nd edition, 2006.
[35] Tobin, J. (1958). Liquidity preference as behavior towards risk. The
Review of Economic Studies, 25(2):65–86.
[36] H. White, A heteroskedasticity-consisten covariance matrix estimator and a direct test for heteroskedasticity, Econometrica, v. 48, No 4,
pp.817–838, 1980.
[37] J. M. Wooldridge, Introductory Econometrics. A modern approach,
Forth Edition. 2009.
134

Учебное издание
Артамонов Никита Вячеславович,
ИвинЕвгений Александрович,
КурбацкийАлексей Николаевич
Фантаццини Деан
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Учебное пособие для вузов
Подписано в печать 20.01.2021 г.
Формат 60 × 84/
16
. Печать цифровая.
Усл.печ.л. 7,79. Тираж 110 экз. Заказ № 17.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
«Вологодский научный центр Российской академии наук»
(ФГБУН ВолНЦ РАН)
Россия, 160014, г. Вологда, ул. Горького, 56а
Тел. (8172) 59-78-03, e-mail: common@vscc.ac.ru