Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

изменениям другого фактора, но не наоборот.
Введём формальное определение для модели VAR(p).
Определение. Фактор x является причиной по Гренджеру для фак- тора y, если “x влияет на y”, но “y не влияет на x”, т.е. в модели VAR(p)

γ
1
γ
2
· · · γ
p

= 0 и при этом

δ
1
δ
2
· · · δ
p

6= 0.
Замечание. Причинность по Гренджеру не означает наличие причинно- следственной связи! Но отсутствие причинности по Гренджеру подтвер- ждает отсутствие причинно-следственной связи.
Тест на причинность по Гренджеру состоит в том, что для модели
V AR(p):
x t
= µ
1
+
p
X
j=1
β
j x
t−j
+
p
X
j=1
γ
j y
t−j
+ error,
y t
= µ
2
+
p
X
j=1
δ
j x
t−j
+
p
X
j=1
θ
j y
t−j
+ error тестируем гипотезы
H
′
0
: γ
1
=
· · · = γ
p
= 0
и H
′′
0
: δ
1
=
· · · = δ
p
= 0.
Вывод можно сформулировать так: x есть причина по Гренджеру для y, если H
′
0
не отвергается, а H
′′
0
отвергается. Наоборот, y есть при- чина по Гренджеру для x, если H
′′
0
не отвергается, а H
′
0
отвергается.
4.2.
Ряды с единичным корнем
4.2.1.
VAR-модель c единичным корнем
Пусть x t
= (x
1t
, . . . , x kt
)
′
и рассмотрим модель VAR(p)
x t
= µ +
p
X
j=1
A
j x
t−j
+ u t
,
u t
∼ WN(0, Σ
u
)
и A(z) = I
− zA
1
− · · · − z p
A
p
99

Определение. Будем говорить, что модель VAR имеет единичный ко- рень, если уравнение det A(z) = 0.
1. имеет корень z = 1 (возможно кратный);
2. все остальные корни по модулю больше 1.
Обозначим
Π = I
− A
1
− · · · − A
p
= A(1).
Тогда модель VAR можно записать в виде
∆x t
= µ + Πx t−1
+
p−1
X
j=1
B
j
∆x t−j
+ u t
и
• модель VAR с единичным корнем ⇐⇒ det Π = 0,
• если x t
∼ I(1), то
∆x t
∼ VAR(finite) ⇐⇒ Π = 0,
∆x t
∼ VAR(∞) ⇐⇒ Π 6= 0.
4.2.2.
Коинтеграция и векторная модель коррекции ошибки
При анализе нестационарных временных рядов часто наблюдается проблема так называемой ложной регрессии. Для перехода к стацио- нарным рядам обычно используют «детрендирование» или переход к последовательным разностям.
У этих подходов есть следующие недостатки:
• неприменимость по отношению к тем рядам, природа нестацио- нарности которых заключается не только в наличии неслучайной составляющей;
• чувствительность к компонентам краткосрочного шума;
100

• тот факт, что это может приводить к смещенным оценкам в случае,
если временные ряды имеют так называемое долгосрочное равно- весие.
Именно поэтому появилась идея коинтеграции, которая подробно описана в работе [22]. Коинтеграция может быть интерпретирована как статистическое выражение для природы равновесного соотношения: на- пример, x
1t и x
2t могут быть связаны некоторым долгосрочным соот- ношением, от которого эти временные ряды могут отклоняться в крат- косрочный перспективе, но к которому должны возвращаться в долго- срочной перспективе. Например, обменные курсы и уровни цен, долго- срочные и краткосрочные процентные ставки, потребление и доходы.
5 15 25 35
Рисунок 4.4. Пример коинтегрированных рядов.
101

Рассмотрим многомерный ряд x t
= (x
1t
, . . . , x kt
)
′
∼ VAR(p) с еди- ничным корнем.
Определение. Ряды с единичными корнями x
1t
, . . . , x kt называются коинтегрированными, если существуют (γ
1
, . . . , γ
k
)
6= 0 такие, что
γ
1
x
1t
+
· · · + γ
k x
kt
= z t
∼ I(0).
Вектор γ = (γ
1
, . . . , γ
k
) называется коинтеграционным вектором.
Замечание. Понятие коинтеграции применимо только к рядам с еди- ничным корнем! Идея коинтеграции состоит в том, что две или более переменных могут изменяться синхронно так, что их некоторая линей- ная комбинация является стационарным процессом.
Коинтерационное соотношение удобнее записать по-другому
γ
1
x
1t
+
· · · + γ
k x
kt
= const +ν
t
,
ν
t
∼ I(0), Eν
t
= 0.
Коинтегрированность рядов означает, что для них существует дол- госрочное равновесие (аналог регрессии)
γ
1
x
1t
+
· · · + γ
k x
kt
= const и ν
t
– стационарное отклонение от долгосрочного равновесия.
Если γ
1 6= 0, то коинтеграционное соотношение можно записать так x
1t
= β
1
+ β
2
x
2t
+
· · · + β
k x
kt
+ ǫ
t
Замечание. Это не регрессия в обычном понимании, т.к. все факторы эндогенны.
Таким образом, коинтеграция – это наличие долгосрочного равно- весия и “суррогат” регрессии для нестационрных рядов с единичным корнем. Непосредственно регрессия смысла не имеет из-за эндогенно- сти всех факторов.
Для понимания приведём пример некоинтегрированных рядов. Два случайных блуждания x
t
= x t−1
+ u t
,
u t
∼ WN(0, σ
2
u
),
y t
= y t−1
+ v t
,
u t
∼ WN(0, σ
2
v
)
102

и допускается cov(u t
, v t
)
6= 0.
Тогда для произвольных γ
1
, γ
2
γ
1
x t
+ γ
2
y t
∼ random walk,
т.к. γ
1
u t
+ γ
2
v t
∼ WN.
Замечание. Коинтегрирующий вектор определён неоднозначно!
Прведём основные свойства коинтегрирующих векторов (далее, к.в.):
• если γ – к.в., то cγ также к.в.;
• если γ
1
, γ
2
– к.в., то γ
1
± γ
2
также к.в.
Это означает, что множество коинтеграционных векторов образует линейное пространство
{γ} = L ⊂ R
k
Определение. Размерность пространства L называется рангом коин- теграции rank = dim L < k.
Можно сказать, что ранг коинтеграции – это число линейно незави- симых коинтеграционных соотношений.
Замечание. Если ряды некоинтерированы, то формально будем считать,
что rank = 0.
Пусть rank = r и γ
1
, . . . , γ
r
– базис пространства L. Тогда каждому
γ
j соответствует z jt
Обозначим
• z t
= (z
1t
, . . . , z rt
)
′
– корректирующий вектор;
• β = (γ
1
, . . . , γ
r
) – k
× r матрица, составленная из вектор-столбцов
γ
j
, причём rank β = r.
Тогда из определения
β
′
x t
= z t
103

VAR(p) можно записать в виде
∆x t
= µ + Πx t−1
+
p−1
X
j=1
B
j
∆x t−j
+ u t
,
det Π = 0,
где Π = I
− A
1
− · · · − A
p
. Тогда
• ряды некоинтегрированы ⇐⇒ Π = 0;
• если ряды коинтегрированы, то rank = rank Π и
Π
k×k
= α
k×r
· β
′
r×k
,
rank α = rank β = r.
В последнем случае
Πx t−1
= αβ
′
x t−1
= αz t−1
В ситуации, когда ряды некоинтегированны, VAR(p) с единичным корнем можно переписать в виде стационарной VAR(p
− 1):
∆x t
= µ +
p−1
X
j=1
B
j
∆x t−j
+ u t
,
u t
∼ WN(0, Σ).
Если же ряды являются коинтегрированными, тогда VAR(p) с еди- ничным корнем можно записать в виде стационарной векторной мо- дели коррекции ошибки VECM
∆x t
= µ + αz t−1
+
p−1
X
j=1
B
j
∆x t−j
+ u t
,
u t
∼ WN(0, Σ).
4.2.3.
Оценивание и инференции
Основной проблемой при оценивании VAR-моделей можно назвать модели с единичным корнем. Для оценки и правильных инференций обычный подход, как в стационарном случае, не работает.
В этом случае обычно применяется следующая методология:
104

1. Проводятся тесты на коинтеграцию для выявления ранга коинте- грации r.
2. Оцениваются коинтеграционные соотношения методом наимень- ших квадратов и стационарный коинтегрирующий вектор z t
, если r > 0.
3. Оценивается стационарная модель VECM при r > 0 или VAR для
∆x t
при r = 0.
4. Приводятся функции импульсного отклика, тесты на причинность по Гренджеру, инференции для VECM.
В заключении рассмотрим три теста на коинтеграцию.
1. Test Engle-Granger.
Этот тест применим только в случае k = 2 (двух рядов) и состоит в рассмотрении (y t
, x t
)
∼ VAR(p). Алгоритм можно записать так:
• Оцениваем (OLS) регрессию y t
на x t
⇒ остатки ˆu t
• Применяем ADF-тест на единичный корень для остатков ˆu t
• Если гипотеза единичного корня отвергается, то делаем вывод о коинтегрированности y t
и x t
. Если не отвергается, то делам вывод, что ряды некоинтерированы.
2. Test Johansen (1988).
Это тест на коинтеграцию произвольного ранга.
Для рассматриваемого многомерного временного ряда x
t
= (x
1t
, . . . , x kt
)
∼ VAR(p)
идея заключается в последовательном тестировании гипотез
H
0
: rank = r,
H
1
: rank = r + 1,
r = 0, 1, . . . , k
− 1.
105

Для каждой гипотезы вычисляются три тестовых статистики и их
P-значения.
Алгоритм можно записать в таком виде:
• Если для r = 0 нулевая гипотеза не отвергается, то тест ука- зывает на некоинтегрированность рядов.
• Последовательно тестируем нулевую гипотезу для порядка r = 1, 2, . . . до тех пор пока H
0
впервые не будет “подтвер- ждена”.
• Порядок из “подтвержденой” H
0
указывает на ранг коинте- грации.
106

Глава 5
Задачи для самостоятельного решения
5.1.
Стационарные временные ряды

1. на l = 3 шага для процесса x t
= 5 + 0.5x t−1
+ u t
2. на l = 4 шага для процесса x t
= 2 + 0.25x t−2
+ u t
3. на l = 3 шага для процесса x t
=
1 27
x t−3
+ u t
4. на l = 5 шагов для процесса x t
= 0.5x t−2
−0.05x t−3
+0.001x t−4
+u t
5. на l = 6 шагов для процесса x t
= 0.5x t−3
+ 0.001x t−4
+ u t
Упражнение 3. Написать в общем виде уравнения Юла – Уолкера для моделей AR(2), AR(3) и AR(4).
Упражнение 4. По временному ряду длины n = 60 были оценены сле- дующие авторегрессионные модели:
1. ˆ
x t
= 2 + 0.7x t−1
, s
2
= 2.1;
2. ˆ
x t
= 2.3 + 0.6x t−1
− 0.3x t−2
, s
2
= 1.9;
3. ˆ
x t
= 1.8 + 0.55x t−1
− 0.25x t−2
+ 0.01x t−3
, s
2
= 1, 85.

Какую модель вы выберете?
Упражнение 5. Для временного ряда были вычислены коэффициенты автокорреляции
ˆ
ρ(1) = 0.7;
ˆ
ρ(2) = 0.4;
ˆ
ρ(3) =
−0.2
и выборочное среднее значение ¯
x = 1.7. Найти оценки коэффициентов в модели
1. AR(1);
2. AR(2);
3. AR(3).
Упражнение 6. Для модели временного ряда длины n = 50 были оцене- ны несколько моделей и в каждой из моделей вычислены коэффициенты автокорреляции остатков. Исследовать адекватность этих моделей
108

1. ˆ
ρ
u
(1) = 0.001; ˆ
ρ
u
(2) = 0.0006; ˆ
ρ
u
(3) = 0.0002; ˆ
ρ
u
(4) = 0.001 в моде- ли AR(2).
2. ˆ
ρ
u
(1) = 0.04; ˆ
ρ
u
(2) = 0.02; ˆ
ρ
u
(3) = 0.006 в модели AR(1).
3. ˆ
ρ
u
(1) = 0.02; ˆ
ρ
u
(2) = 0.0008; ˆ
ρ
u
(3) = 0.003; ˆ
ρ
u
(4) = 0.001 в модели
AR(3).
Упражнение 7. Постройте автоковариационную и автокоррреляцинную функцию для модели MA(1), MA(2), MA(3).
Упражнение 8. Для модели ARMA(1, 1)
y t
= β
0
+ β
1
y t−1
+ u t
+ θ
1
u t−1
,
u t
∼ WN .
1. Вычислите Ey t
и Var(y t
).
2. Найдите представление временного ряда в виде MA(
∞).
3. Вычислите автоковариационную и автокорреляционную функцию.
Упражнение 9. Для модели ARMA(1, 2)
y t
= β
0
+ β
1
y t−1
+ u t
+ θ
1
u t−1
+ θ
2
u t−2
,
u t
∼ WN .
1. Вычислите Ey t
и Var(y t
).
2. Найдите представление временного ряда в виде MA(
∞).
3. Вычислите автоковариационную и автокорреляционную функцию.
Упражнение 10. Рассмотрим модель ARMA
const x
t−1
x t−2
u t−1
u t−2
u t−3
коэфф.
10
-0.25 0.125 0.5
-1
-1
Задаёт ли эта модель стационарный ряд? Ответ обоснуйте. Если да, то найдите Ex t
Упражнение 11. Временной ряд x t
– первая разность логарифма реаль- ного ВВП США с 1995:1 по 2018:4 (квартальные данные). Была оценена модель ARMA(2, 2)
109