Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Московская школа экономики
Кафедра эконометрики и математических методов экономики
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Учебное пособие для вузов
Вологда
ВолНЦ РАН
2021

УДК 330.43
ББК 65в6
В24
Авторы:
Н. В. Артамонов, Е. А. Ивин,
А. Н. Курбацкий, Д. Фантаццини
Рецензент
Шаклеина М.В., доцент кафедры эконометрики и математических методов экономики
Московской школы экономики МГУ им. М.В. Ломоносова
В24 Введение в анализ временных рядов : учебное пособие для вузов /
Н. В. Артамонов, Е. А. Ивин, А. Н. Курбацкий, Д. Фантаццини ; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Московская школа экономики, Кафедра эконометрики и математических методов экономики. –
Вологда : ВолНЦ РАН, 2021. – 134 с.: ил., табл.
ISBN 978-5-93299-496-2
Настоящее учебное пособие представляет собой справочник по базовым разделам эконометрики временных рядов. Пособие написано на основе лекций и семинаров, которые авторы проводили в Московской школе экономике МГУ,
ВШЭ и в МГИМО со студентами в рамках курса “Введение в анализ временных рядов” в 2016-2020 учебных годах. В каждой главе приводятся основные определения, факты, примеры, а в конце книги размещены задачи для самостоятельного решения.
Книга адресована студентам и аспирантам социальных и экономических специальностей, а также преподавателям.
УДК 330.43
ББК 65в6
ISBN 978-5-93299-496-2
© Артамонов Н. В., Курбацкий А. Н.,
Фантаццини Д., 2021
© Ивин Е. А. (наследники), 2021
© Оформление. ФГБУН ВолНЦ РАН, 2021

Светлой памяти
Евгения Александровича Ивина посвящается

Оглавление
Введение
7 1 Модели стационарных временн ´
ых рядов
9 1.1. Стационарные временные ряды . . . . . . . . . . . . . . . .
10 1.1.1. Понятие стационарности . . . . . . . . . . . . . . . .
10 1.1.2. Модели стационарных рядов
13 1.1.3. Модели MA и AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 1.1.4. Прогнозирование для модели ARMA . . . . . . . . .
24 1.2. Оценка и тестирование модели . . . . . . . . . . . . . . . .
26 1.2.1. Подход Бокса-Дженкинса . . . . . . . . . . . . . . .
26 1.3. Линейная регрессия для стационарных рядов . . . . . . . .
33 1.3.1. Модель FDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 1.3.2. Модель ADL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 1.4. TS-ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 1.5. Модель тренда и сезонность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 1.5.1. Понятие TS-ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39 1.5.2. Оценивание и статистические выводы . . . . . . . .
41 2 Нестационарные временные ряды
46 2.1. Ряды с единичным корнем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46 2.1.1. Случайное блуждание . . . . . . . . . . . . . . . . .
46 2.1.2. Случайное блуждание со сносом . . . . . . . . . . .
47 2.1.3. Дифференцирование ряда . . . . . . . . . . . . . . .
50 2.1.4. DS-ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 4

2.1.5. Модель ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 2.1.6. Оценка и статистические свойства . . . . . . . . . .
56 2.1.7. Тесты “единичного корня” . . . . . . . . . . . . . . .
56 2.1.8. Оценка ARIMA-модели . . . . . . . . . . . . . . . . .
66 2.2. Модели пространства состояний . . . . . . . . . . . . . . . .
66 2.2.1. Идея и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66 2.2.2. Примеры оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68 2.2.3. Возможные применения . . . . . . . . . . . . . . . .
70 3 Моделирование волатильности
72 3.1. Одномерная волатильность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 3.2. Обобщенные модели авторегрессионной гетероскедастич- ности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74 3.2.1. ARCH(1)-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77 3.2.2. ARCH(p)-модель
78 3.2.3. GARCH модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79 3.3.
Ассиметричные и нелинейные модели GARCH . . . . . . .
84 3.3.1. Экспоненциальная модель GARCH . . . . . . . . . .
84 3.3.2. Пороговая модель GARCH . . . . . . . . . . . . . . .
86 3.3.3. Интегрированная модель GARCH . . . . . . . . . .
86 3.4. Кривая воздействия новостей . . . . . . . . . . . . . . . . .
87 3.5.
Дробно интегрированные модели . . . . . . . . . . . . . . .
89 3.5.1. Модели ARFIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89 3.5.2.
Модели FIGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90 3.6.
Оценка моделей GARCH
91 4 Модель векторной авторегрессии
93 4.1. Стационарная VAR-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93 4.1.1. Функции импульсного отклика . . . . . . . . . . . .
96 4.1.2. Причинность по Гренджеру . . . . . . . . . . . . . .
99 4.2. Ряды с единичным корнем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.1. VAR-модель c единичным корнем . . . . . . . . . . . 100 4.2.2. Коинтеграция и векторная модель коррекции ошибки101 4.2.3. Оценивание и инференции . . . . . . . . . . . . . . . 105 5

5 Задачи для самостоятельного решения
108 5.1. Стационарные временные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2. Модели распределенных лагов . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3. TS – ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4. DS – ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5. Моделирование волатильности . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6. VAR и коинтеграция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Литература
132 6

Введение
Настоящее пособие предназначено для знакомства и освоения самых базовых понятий и методов анализа и прогнозирования временных ря- дов, которые могут пригодиться при эконометрических исследованиях социально-экономических процессов. Это пособие написано на основе курсов, прочитанных авторами для студентов и аспирантов МШЭ МГУ,
МГИМО, ВШЭ. Стоит отметить, что параллельно теоретическому кур- су проводились и компьютерные практикумы, которые являлись неотъ- емлемой частью обучения анализу временных рядов.
Пособие содержит теоретический материал и примеры практическо- го применения. Для закрепления усвоенных знаний в конце пособия при- ведены упражнения для самостоятельного решения. Для дополнитель- ного чтения мы советуем книги [1, 2, 3, 4, 12, 13]. Для первоначального чтения можно воспользоваться книгами [6, 8].
Авторы сознательно приняли решение не вставлять примеры реше- ния задач на компьютере, соответствующее пособие на языке R подго- тавливается к печати отдельно.
7

Благодарности
Авторы с благодарностью вспоминают заведующего кафедрой
ЭММЭ Московской школы экономики МГУ им. Ломоносова, д.э.н., про- фессора Айвазяна С. А. за его внимание и советы по преподаванию кур- са вплоть до 2019 года.
Мы также благодарны слушателям за задаваемые ими вопросы, в особенности студентам магистратуры по направлению "Экономика и ма- тематические методы" Московской школы экономики Малютиной Оль- ге и Манукян Стелле за техническую помощь в процессе подготовки пособия и комментарии.
Пособие написано при поддержке гранта РНФ: № 20-68-47030 "Эко- нометрические и вероятностные методы для анализа финансовых рын- ков сложной структуры".
8

Глава 1
Модели стационарных временн ´
ых рядов
Анализ моделей временных рядов является логическим продолжени- ем базового курса эконометрики пространственных данных [3, 4]. Прин- ципиальное различие в структурах пространственных и временных вы- борок требует рассмотрения для них отдельных методов и подходов к оцениванию. При построении эконометрических регрессионных моделей для временных рядов возникает ряд особенностей, которые необходимо учесть:
• упорядоченность во времени (хронологический порядок);
• зависимость от прошлого (“память”, серийная или авто- корреля- ция);
• различаются краткосрочные и долгосрочные зависимости и моде- ли;
• часто встречается феномен “ложной регрессии”;
• бывает небольшое число наблюдений (как правило при работе с
9

макроданными), которое невозможно увеличить (т.к. изменяется вид или структура зависимости).
Замечание. Для временных рядов используется индекс t, чтобы пока- зать зависимость от времени.
Наиболее распространённые модели временных рядов (одномерные и многомерные):
1. стационарные ряды;
2. стационарные относительно тренда или TS-ряды;
3. ряды с единичным корнем или DS-ряды;
4. ряды с переменной волатильностью или с условной гетероскеда- стичностью.
Для каждой модели существуют свои подходы к оцениванию и по- строению регрессий.
1.1.
Стационарные временные ряды
1.1.1.
Понятие стационарности
Определение. Временной ряд
{x t
} называется стационарным (в ши- роком смысле), если
1. Ex t
≡ const (среднее постоянно во времени);
2. cov(x t
, x t+h
) = γ(h) (ковариация зависит только от лага h).
Понятие стационарного временного ряда означает, что его среднее значение не изменяется во времени, т.е. временной ряд не имеет тренда.
Кроме того, ковариация между разными элементами временного ряда
(как между случайными величинами) зависит только от того, насколь- ко сильно они отдалены друг от друга во времени. Величина h, харак- теризующая разницу во времени между элементами временного ряда,
10

называется лаговой переменной или запаздыванием. Так как
γ(0) = cov(x t
, x t
) = Var(x t
),
то дисперсия стационарного временного ряда также не меняется со вре- менем.
Определение. Функция γ(h) как функция от лаговой переменной, на- зывается автоковариационной функцией временного ряда.
Она определена как для положительных, так и для отрицательных лагов h. Так как
γ(
−h) = cov(x t
, x t−h
) = cov(x t−h
, x t
) = cov(x
τ
, x
τ +h
) = γ(h),
то γ(h) – четная функция. Для произвольных моментов времени t и s очевидно равенство cov(x t
, x s
) = γ(t
− s)
Вычислим теперь коэффициенты корреляции между разными эле- ментами стационарного временного ряда с временным лагом h:
corr(x t
, x t+h
) =
cov(x t
, x t+h
)
p
Var(x t
)
· Var(x t+h
)
=
γ(h)
p
γ(0)
· γ(0)
=
γ(h)
γ(0)
Также как и в случае коэффициента ковариации, коэффициент корреля- ции между разными элементами стационарного временного ряды зави- сит только от лага между ними. Например, corr(x
1
, x
3
) = corr(x
7
, x
9
) =
corr(x
15
, x
17
) и corr(x
2
, x
7
) = corr(x
10
, x
15
) = corr(x
24
, x
29
).
Определение. Функция ρ(h) = corr(x t
, x t+h
) называется автокорре- ляционной функцией (autocorrelation function, ACF) стационарного вре- менного ряда.
Очевидно, что она также является четной функцией лаговой пере- менной и ρ(0) = 1. Для коэффициента автокорреляции очевидно:
corr(x s
, x t
) = ρ(s
− t).
11

Предложение. Для произвольного стационарного ряда существует предел автокорреляционной функции lim h→±∞
ρ(h) = 0.
Это означает, что с ростом временного лага элементы временного ряда становятся «менее коррелированными». Это можно интерпретиро- вать следующим образом: с ростом времени t временной ряд «забывает свои прошлые состояния», так как corr(x s
, x t
) = ρ(t
−s) → 0 при t → +∞
если s фиксированно.
Определение. Коррелограммой стационарного временного ряда назы- вается график функции ρ(h).
Наряду с автокорреляционной функцией ещё рассматривается част- ная автокорреляционная функция
1
, представляющая собой частный ко- эффициент корреляции между уровнями временного ряда x t
и x t+h при исключении влияния промежуточных уровней x t+1
, . . . , x t+h−1
Определение. Частная автокорреляционная функция
ρ
part
(h) = corr(x t
, x t+h
|x t+1
, . . . , x t+h−1
)
Очевидно, ρ
part
(0) = 1, ρ
part
(1) = ρ(1).
При общих условиях lim h→∞
ρ
part
(h) = 0
Рассмотрим основной пример стационарного временного ряда.
Определение. Ряд u t
называется белым шумом (white noise), если
1. Eu t
= 0,
2. Var(u t
) = Eu
2
t
≡ σ
2 1
Partial autocorrelation function, PACF.
12

3. cov(u t
, u t+h
) = E(u t
u t+h
) = 0 при h
6= 0.
Обозначение u t
∼ WN(0, σ
2
)
Белый шум удобно рассматривать как экзогенный внешний шок (не коррелирующий с прошлым). Он используется для построения моделей стационарных рядов.
Определение. Если u t
∼ N , то говорят о гауссовском белом шуме.
Автоковариационная функция для белого шума:
γ(h) =
(
σ
2
,
h = 0 0,
h
6= 0
ACF для белого шума:
ρ(h) =
(
1, h = 0 0, h
6= 0
Это означает, что ряд “мгновенно забывает” прошлые значения.
Частная автокорреляционная функция для белого шума:
ρ
part
(h) =
(
1,
h = 0 0,
h
6= 0 1.1.2.
Модели стационарных рядов
Рассмотрим основные модели стационарных временных рядов:
• модель скользящего среднего MA (Moving Average);
• модель авторегрессии AR (AutoRegression);
• общая смешанная модель ARMA авторегрессии-скользящего сред- него.
13

Для удобства представления различных моделей часто используется
(формальный) лаговый оператор L:
L(x t
)
def
= x t−1
Далее
L
2
(x t
) = L(L(x t
)) = L(x t−1
) = x t−2
Следовательно,
L
k
(x t
) = x t−k и формально положим L
0
(x t
) = x t
Модель ARMA
Начнём сразу с общего вида модели ARMA(p, q)
x t
= µ +
p
X
j=1
φ
j x
t−j
+ u t
+
q
X
s=1
θ
s u
t−s
(1.1)
u t
∼ WN(0, σ
2
u
),
φ
p
, θ
q
6= 0.
Замечание. Проинтерпретировать модель можно следующим образом:
текущее значение зависит от прошлых значений до лага p и от текущего и прошлых внешних шоков до лага q. Коэффициенты такой модели в общем случае не имеют экономической интерпретации.
Запишем (1.1) используя лаговый оператор L:
x t
= µ +
p
X
j=1
φ
j
L
j x
t
+ u t
+
q
X
s=1
θ
s
L
s u
t
Перепишем в виде

1 −
p
X
j=1
φ
j
L
j

 x t
= µ +
1 +
q
X
s=1
θ
s
L
s
!
u t
14

Теперь введём два многочлена степени p и q:
φ(z) = 1
−
p
X
j=1
φ
j z
j
= 1
− φ
1
z
− φ
2
z
2
− · · · − φ
p z
p
;
θ(z) = 1 +
q
X
s=1
θ
s z
s
= 1 + θ
1
z + θ
2
z
2
+
· · · + θ
q z
q
Тогда модель (1.1) формально можно записать
φ(L)x t
= µ + θ(L)u t
Определение. Многочлен φ(z) называется авторегрессионным много- членом.
Определение. φ(L)x t
называется авторегрессионной частью модели
ARMA, а θ(L)u t
– частью скользящего среднего.
Утверждение. Модель ARMA определяет стационарный ряд
⇐⇒
выполнено условие стационарности: все корни (в том числе из C) ав- торегрессионного многочлена
φ(z) = 1
− φ
1
z
− · · · − φ
p z
p по модулю больше единицы.
Замечание. Многочлен φ(z) имеет p корней с учётом кратности.
Пример. Рассмотрим ARM A(1, q):
x t
= µ + φx t−1
+ u t
+
q
X
s=1
θ
s u
t−s
,
φ, θ
q
6= 0.
Тогда φ(z) = 1
− φz и его корень z
0
= 1/φ. Так как
|z
0
| > 1 ⇐⇒ |φ| < 1,
то это и будет условием стационарности для этого ряда.
Утверждение. Модель ARMA(1, q) стационарна тогдаи только тогда,
когда
|φ| < 1.
15

Вычислим среднее значение для стационарной ARMA (так как Eu s
=
0 и Ex t
= const):
Ex t
= µ +
p
X
j=1
φ
j
Ex t−j
+ Eu t
+
q
X
s=1
θ
s
Eu t−s
⇒
Ex t
= µ +
p
X
j=1
φ
j
Ex t
⇒ (1 − φ
1
− · · · − φ
p
)Ex t
= µ.
Следовательно,
Ex t
=
µ
1
−
P
p j=1
φ
j
=
µ
φ(1)
-3
-2
-1 0
1 2
3 0
50 100 150 200
ARMA(1,1) phi=-0.8, theta=0.6
-0.2
-0.1 0.0 0.1 0.2 0
5 10 15 20
Lag
ACF
-0.2
-0.1 0.0 0.1 0.2 0
5 10 15 20
Lag
PACF
Рисунок 1.1. Пример модели ARMA(1, 1) и её ACF и PACF.
16

-5.0
-2.5 0.0 2.5 0
50 100 150 200
ARMA(1,2) с phi=-0.9, theta1=0.9, theta2=0.8
-0.4 0.0 0.4 0
5 10 15 20
Lag
ACF
-0.4 0.0 0.4 0
5 10 15 20
Lag
PACF
Рисунок 1.2. Пример модели ARMA(1, 2) и её ACF и PACF.
Утверждение. Стационарную ARMA можно представить как мо- дель скользящего среднего бесконечного порядка MA(
∞):
x t
= µ
1
+ u t
+ ψ
1
u t−1
+ ψ
2
u t−2
+
· · · = µ
1
+ u t
+
∞
X
j=1
ψ
j u
t−j
,
где
θ(z)
φ(z)
= 1 +
∞
X
j=1
ψ
j z
j
Следствие. Для стационарной ARMA
cov(u t
, x t−h
) = 0,
h > 0,
т.е. внешний шок не коррелирует с прошлыми значениями ряда.
17