Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

const x
t−1
x t−2
u t−1
u t−2
коэфф.
0.0107 0.1005 0.5013 0.2279
-0.2409
ст.ош.
0.0014 1.2859 1.0050 1.3077 0.6111
Известны значения временного ряда и остатки модели t
2017:4 2018:1 2018:2 2018:3 2018:4
x t
0.003 0.007 0.0004 0.003 0.006
ˆ
u t
0.0014
-0.0008 0.0073
-0.0012
-0.0026
Постройте прогноз на четвёртый квартал 2019 года (2019:4).
Упражнение 12. На данных о некоторых доходностях была оценена мо- дель ARMA(2, 2)
y t
= 10.3 + 0.803y t−1
+ 0.682y t−2
+ u t
− 0.502u t−1
, u t
∼ WN(0, σ
2
u
).
Проверьте полученную модель на стационарность.
Упражнение 13. На некоторых данных построена модель ARMA(2, 2)
y t
= 10.3 + 0.803y t−1
+ 0.682y t−2
+ u t
− 0.502u t−1
, u t
∼ WN(0, σ
2
u
).
Проверьте модель на стационарность.
Упражнение 14. Рассмотрим оценённую модель ARMA(1, 2)
y t
= 2.4 + 0.925y t−1
+ u t
− 0.803u t−1
− 0.403u t−2
, u t
∼ WN(0, σ
2
u
).
Проверьте модель на обратимость.
Упражнение 15. Получены следующие оценки для модели ARMA(3, 2)
y t
= 0.9y t−1
− 0.4y t−2
+ 0.1y t−3
+ u t
− 0.9u t−1
+ 1.2u t−2
,
где u t
∼ WN(0, σ
2
u
). Проверьте модель на обратимость.
Упражнение 16. Проверьте предложенную модель ARMA(2, 3) на ста- ционарность y
t
= 0.803y t−1
+ 0.106y t−2
+ u t
+ 0.422u t−1
− 0.541u t−2
+ 0.378u t−3
,
где u t
∼ WN(0, σ
2
u
).
110

Упражнение 17. Вы оценили следующую модель ARMA(1, 2) для неко- торых данных y
t
= 0.6y t−1
+ u t
+ 0.6u t−1
− 0.7u t−2
Предположим, что мы имеем данные time t
t
− 1
t
− 2
y
−0.5 1.2
−0.9
u
−0.2 0.3
−0.4
Вычислите прогнозы для y в периоды t, t + 1, t + 2.
Упражнение 18. Вы оценили следующую модель ARMA(2, 1) для неко- торых данных временного ряда y
t
= 0.6y t−1
− 0.2y t−2
+ u t
− 0.3u t−1
Предположим, что у нас есть данные time t
t
− 1
t
− 2
y
0.5 1.2
-0.9
u
-0.2 0.3
-0.4
Постройте прогнозы для ряда y для периодов t, t + 1, t + 2.
Упражнение 19. Вы оценили следующую модель ARMA(1, 1) для неко- торого временного ряда y
t
= 0.6y t−1
+ u t
− 0.6u t−1
Предположим, что у вас есть следующие данные time t
t
− 1
t
− 2
y
−0.5 1.2
−0.9
u
−0.2 0.3
−0.4
Рассчитайте прогнозы для y в моменты t, t + 1, t + 2.
111

Упражнение 20. Для некоторого временного ряда была оценена модель
ARMA(0, 2)
y t
= u t
− 0.6u t−1
+ 0.3u t−2
Предположим, что у вас есть данные time t
t
− 1
t
− 2
y
−0.5 1.2
−0.9
u
−0.2 0.3
−0.4
Вычислите прогнозы y для периодов t, t + 1, t + 2.
Упражнение 21. Рассмотрим ежемесячные данные по доходности кор- поративных облигаций Moody’s с рейтингом Bаа (переменная BАА в базе FRED), начиная с 2000 года и по настоящее время. Пусть y t
явля- ется первой разностью ряда.
1. Постройте график y t
2. Постройте график ACF и PACF.
3. Является ли ρ
part

(3) значимым?
4. Подберите соответствующую ARMA модель.
5. Дайте прогноз на 10 месяцев вперед.
Упражнение 22. Рассмотрим ежемесячные данные по десяти летним
Казначейским ценным бумагам с одинаковым сроком до погашения (пе- ременная GS10 в базе FRED), начиная с 1995 года и по настоящее время.
Пусть x t
является первой разностью ряда.
1. Постройте график y t
2. Постройте график ACF и PACF.
3. Является ли ρ
part

(3) значимым?
4. Подберите соответствующую ARMA модель.
5. Дайте прогноз на 10 месяцев вперед.
112

Упражнение 23. Рассмотрим ежемесячные данные по доходности кор- поративных облигаций Moody’s с рейтингом Ааа (переменная ААА в базе FRED), начиная с 1995 года и по настоящее время. Пусть x t
явля- ется первой разностью ряда.
1. Нарисуйте график x t
2. Нарисуйте графики ACF и PACF.

3. Является ли ρ(5) значимым?
4. Постройте подходящую ARMA модель.
5. Дайте прогноз на 10 месяцев вперед.
Упражнение 24. Исследователь пытается определить соответствующий порядок модели ARMA, имея в своем распоряжении 200 наблюдений. У
него есть следующие данные для оценки дисперсии остатков (т. е. s
2
)
для различных моделей-кандидатов. Предполагается, что порядок не должен превышать (3,3) для моделирования динамики данных. Каков "оптимальный" порядок модели?
Модель ARMA порядка s
2
(0,0)
1.902
(1,0)
1.662
(0,1)
1.583
(1,1)
1.442
(2,1)
1.303
(1,2)
1.423
(2,2)
0.981
(3,2)
0.972
(2,3)
0.923
(3,3)
0.893
Упражнение 25. Исследователь пытается определить соответствующий порядок модели ARMA, имея в своем распоряжении 150 наблюдений. У
него есть следующие данные для оценки дисперсии остатков (т. е. s
2
)
113

для различных моделей-кандидатов. Предполагается, что порядок не должен превышать (3,3) для моделирования динамики данных. Каков "оптимальный" порядок модели?
ARMA model order s
2
(0,0)
0.902
(1,0)
0.662
(0,1)
0.583
(1,1)
0.442
(2,1)
0.303
(1,2)
0.423
(2,2)
0.398
(3,2)
0.382
(2,3)
0.385
(3,3)
0.379
Упражнение 26. Исследователь пытается определить соответствующий порядок модели ARMA, имея в своем распоряжении 250 наблюдений. У
него есть следующие данные для оценки дисперсии остатков (т. е. s
2
)
для различных моделей-кандидатов. Предполагается, что порядок не должен превышать (2,2) для моделирования динамики данных. Каков "оптимальный" порядок модели?
ARMA model order s
2
(0,0)
2.902
(1,0)
2.662
(0,1)
2.583
(1,1)
2.442
(2,1)
2.303
(1,2)
2.423
(2,2)
2.398 5.2.
Модели распределенных лагов
Упражнение 27. Для следующих моделей FDL найдите долгосрочные мультипликаторы и напишите уравнение «долгосрочной связи»
114

1.
b y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ β
3
x t−2
+ β
4
x t−3
;
2.
b y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ β
3
z t
+ β
4
z t−1
;
3.
b y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ β
3
x t−2
+ β
4
z t
+ β
5
z t−1
+ β
6
z t−2
;
4.
b y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
z t
+ β
3
z t−1
+ β
4
z t−2
+ β
5
w t
+ β
6
w t−1
Упражнение 28. Рассмотрим модель FDL(2)
y t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ β
3
x t−2
+ error .
1. Напишите функцию импульсного отклика (impulse response func- tion) для краткосрочной зависимости.
2. Напишите функцию импульсного отклика (impulse response func- tion) для долгосрочной зависимости.
3. Напишите уравнение долгосрочной зависимости и дайте его ин- терпретацию.
Упражнение 29. Рассмотрим модель FDL(4)
y t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ β
3
x t−2
+ β
4
x t−4
+ γ
1
z t
+ γ
2
z t−1
+ γ
3
z t−2
+ u t
Сформулируйте условия Гаусса–Маркова для ошибок этой модели ре- грессии. Найдите долгосрочные мультипликаторы y по x и по z. Напи- шите уравнение «долгосрочной зависимости» y от x и z.
Упражнение 30. Рассмотрим модель ADL
y t
= β
0
+ αy t−1
+ β
1
x t
+ error .

1. Когда для этой модели выполнено условие стационарности?
2. Напишите функцию импульсного отклика для краткосрочной за- висимости.
3. Напишите функцию импульсного отклика для долгосрочной зави- симости.
115

4. Напишите уравнение долгосрочной зависимости и дайте его ин- терпретацию.
Упражнение 31. Рассмотрим модель ADL
y t
= β
0
+ αy t−1
+ β
1
x t
+ β
2
x t−1
+ error .

1. Когда для этой модели выполнено условие стационарности?
2. Напишите функцию импульсного отклика для краткосрочной за- висимости.
3. Напишите функцию импульсного отклика для долгосрочной зави- симости.
4. Напишите уравнение долгосрочной зависимости и дайте его ин- терпретацию.
Упражнение 32. Рассмотрим модель ADL
y t
= β
0
+ α
1
y t−1
+ α
2
y t−2
+ β
1
x t
+ error .

1. Когда для этой модели выполнено условие стационарности?
2. Напишите функцию импульсного отклика для краткосрочной за- висимости.
3. Напишите функцию импульсного отклика для долгосрочной зави- симости.
4. Напишите уравнение долгосрочной зависимости и дайте его ин- терпретацию.
Упражнение 33. Рассмотрим модель ADL(2)
y t
= 5 +
5 6
y t−1
−
1 6
y t−2
+ 2.1x t
+ 1.2x t−1
+ 0.2x t−2
+ 4.3z t
+ 2.3z t−1
+ u t
,
где для ошибок выполнены условия Гаусса–Маркова.

1. Выполнено ли для этой модели условие стационарности?
116

2. Если да, то найдите долгосрочные мультипликаторы y по x и z и напишите уравнение «долгосрочной зависимости» y от x и z.
Упражнение 34. Рассмотрим модель распределённых лагов y
t
= µ + αy t−1
+ γ
0
x t
+ γ
1
x t−1
+ γ
2
x t−2
+ γ
3
x t−3
+ u t
, u t
∼ WN(0, σ
2
u
).
Напишите уравнение долгосрочной зависимости y от x и дайте его ин- терпретацию.
Упражнение 35. Пакет dynlm содержит набор исторических макроэко- номических данных по Германии M1Gremany
1
: логарифм реального M1
на душу населения logm1, логарифм индекса цен logprice, логарифм ре- ального ВНП на душу населения loggnp, долгосрочная ставка interest.
Загрузите набор данных командой data(M1Germany, package="dynlm").
Оцените модель ADL(1, 2) зависимости первой разности логарифма M1
от первой разности логарифма индекса цен, первой разности логарифма
ВНП и первой разности ставки.
1. Напишите уравнение долгосрочной зависимости.
2. Тестируйте модель на автокорреляцию.
Упражнение 36. Пакет dynlm содержит набор исторических макроэко- номических данных по Германии M1Gremany
2
: логарифм реального M1
на душу населения logm1, логарифм индекса цен logprice, логарифм ре- ального ВНП на душу населения loggnp, долгосрочная ставка interest.
Загрузите набор данных командой data(M1Germany, package="dynlm").
Оцените модель ADL(2, 1) зависимости первой разности логарифма M1
от первой разности логарифма индекса цен, первой разности логарифма
ВНП и первой разности ставки.
1
квартальные данные с 1960Q1по 1996Q3 2
квартальные данные с 1960Q1 по 1996Q3 117

1. Напишите уравнение долгосрочной зависимости.
2. Тестируйте модель на автокорреляцию.
5.3.
TS – ряды
Упражнение 37. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= β
0
+ β
1
t + αx t−1
+ u t
,
u t
∼ WN .
1. Сформулируйте условия стационарности.
2. Напишите уравнение тренда для временного ряда.
Упражнение 38. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= β
0
+ β
1
t + β
2
t
2
+ αx t−1
+ u t
,
u t
∼ WN .
1. Сформулируйте условия стационарности.
2. Напишите уравнение тренда для временного ряда.
Упражнение 39. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= β
0
+ β
1
t + α
1
x t−1
+ α
2
x t−2
+ u t
,
u t
∼ WN .
1. Сформулируйте условия стационарности.
2. Напишите уравнение тренда для временного ряда.
Упражнение 40. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= γ
0
+ γ
1
t + γ
2
t
2
+ φx t−1
+ u t
,
u t
∼ WN .
Найдите уравнение тренда для временного ряда.
Упражнение 41. Рассмотрим модель временного ряда x
t
= γ
0
+ γ
1
t + φ
1
x t−1
+ φ
2
x t−2
+ u t
,
u t
∼ WN .
Найдите уравнение тренда для временного ряда.
118

Упражнение 42. Для TS-рядов (v t
– стационарный ряд)
1. x t
= β
0
+ β
1
t + v t
;
2. x t
= β
0
+ β
1
t + β
2
t
2
+ v t
;
найдите ∆x t
и ∆
2
x t
Упражнение 43. Для TS-рядов (u t
∼ WN)
1. x t
= γ
0
+ γ
1
t + φx t−1
+ u t
;
2. x t
= γ
0
+ γ
1
t + γ
2
t
2
+ φx t−1
+ u t
;
3. x t
= γ
0
+ γ
1
t + φ
1
x t−1
+ φ
2
x t−2
+ u t
;
найдите уравнение для ∆x t
и ∆
2
x t
Упражнение 44. Рассмотрим модель квадратичного тренда с автокор- реляцией первого порядка x
t
= β
0
+ β
1
t + β
2
t
2
+ v t
,
v t
= ρv t−1
+ u t
,
u t
∼ WN, |ρ| < 1.
1. Проведите авторегрессионное преобразование для получения эф- фективной оценки тренда.

2. Как связаны коэффициенты преобразованного уравнения с пара- метрами тренда?
Упражнение 45. Для TS-ряда x
t
= γ
0
+ γ
1
t + γ
2
t
2
+ φx t−1
+ u t
+ θu t−1
,
u t
∼ WN, |φ| < 1.
1. Найдите уравнение для первой разности x t
2. Найдите уравнение для второй разности x t
Упражнение 46. Рассмотрим модель временного ряда для ВВП
ln GDP
t
= γ
0
+ γ
1
t + φ
1
ln GDP
t−1
+ φ
2
ln GDP
t−2
+ u t
,
u t
,
∼ WN .
119

1. При каких условиях эта модель временного ряда задаёт TS-ряд?
2. Найдите тренд ВВП (для случая TS).
Упражнение 47. Рассмотрим модель тренда для ВВП (в млн. $)
\
GDP
t
= 230.4
(23.4)
+ 0.32
(0.038)
t,
t = 0, . . . , 20.
Дайте интерпретацию коэффициентов модели.
Проверьте значимость тренда при альтернативе о тенденции к росту
ВВП. Уровень значимости 5%
Упражнение 48. Рассмотрим модель тренда для численности населения
(в млн. чел.)
\
ln P OP
t
= 2.4
(0.4)
+ 0.023
(0.01)
t,
t = 0, . . . , 23.
Дайте интерпретацию коэффициентов модели.
Проверьте значимость тренда при альтернативе о тенденции к росту населения. Уровень значимости 1%.
Упражнение 49. Исследуется регрессионная модель влияния численно- сти населения (P OP ) на ВВП (GDP ) на основе временных рядов ln GDP
t
= β
0
+ β
1
ln P OP
t
+ error .
Однако временные ряды для ВВП и численности населения как правило имеют тенденцию к росту. Как это повлияет на статистические выводы для регрессионной модели?
5.4.
DS – ряды
Упражнение 50. Для временного ряда x
t
= x t−1
+ u t
,
u t
∼ WN(0, σ
2
),
x
0
= 0
найдите Ex t
и Var x t
120

Упражнение 51. Для временного ряда (µ
6= 0)
x t
= µ + x t−1
+ u t
,
u t
∼ WN(0, σ
2
),
x
0
= 0
найдите Ex t
и Var x t
Упражнение 52. Для временного ряда (µ
6= 0)
x t
= µ + βt + x t−1
+ u t
,
u t
∼ WN(0, σ
2
),
x
0
= 0
найдите Ex t
и Var x t
Упражнение 53. Пусть x t
∼ ARIMA(1, 1, 0). Запишите представление ряда в виде (нестационарной) модели ARMA(2, 0). Покажите, что авто- регрессионный многочлен модели ARMA имеет единичный корень крат- ности 1.
Упражнение 54. Пусть x t
∼ ARIMA(1, 2, 0). Запишите представление ряда в виде (нестационарной) модели ARMA(3, 0). Покажите, что авто- регрессионный многочлен модели ARMA имеет единичный корень крат- ности 2.
Упражнение 55. Пусть x t
∼ ARIMA(2, 2, 3). Запишите представление ряда в виде (нестационарной) модели ARMA. Покажите, что авторе- грессионный многочлен модели ARMA имеет единичный корень и най- дите кратность этого корня.
Упражнение 56. Пусть x t
∼ ARIMA(3, 1, 1). Запишите представление ряда в виде (нестационарной) модели ARMA. Покажите, что авторе- грессионный многочлен модели ARMA имеет единичный корень и най- дите кратность этого корня.
Упражнение 57. Пусть x t
∼ ARIMA(1, 2, 2).
1. Что означает x t