Файл: Российской федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования.pdf

125
СПЕКТР ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ГРАФАХ
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Жмуров А. С.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: zhmurov1@mail.ru
Нахождение спектра оператора Лапласа на графах — относительно новая задача в современной математике. На сегодняшний день есть ряд ра- бот, посвященных связи спектра оператора с геометрией графа. Однако вопросы нахождения спектра при сложных структурах графов и большом количестве параметров весов дуг до сих пор остаются открытыми.
1. Основные понятия теории графов
Определение 1. Ориентированным графом(по Бержу) G(X,Г) назы- вается пара (Х,Г), где Х — некоторое непустое множество, а
- отображение, которое каждому элементу X ставит в соответствие некото- рое подмножество X. Множество Х — вершины.
Определение 2. Множеством дуг U называется множество вида:
Определение 3. Пусть есть некоторый граф G(X,Г), и некоторое мно- жество
. Граф G'(X',Г') называется подграфом графа G(X,Г), если
,
Определение 4. Пусть G(Х,Г) — некоторый граф. Транзитивным за-
мыканием вершины x называется множество
^ ∪ ∪
∪
Вершина у называется достижимой их вершины х, если
^
Определение 5. Граф называется сильно связным, если в нем все вер- шины достижимы друг из друга.
Определение 6. Вершина х графа называется граничной, если под- граф, порожденный ее транзитивным замыканием
^ является сильно связным. Множество всех граничных вершин графа называется границей и обозначается
2. Понятие оператора Лапласа, задача на собственные значения
Определение 7. Пусть есть некоторый ориентированный граф G(X,Г) и некоторая функция f:
. Пусть U – множество дуг графа, и для каж- дой дуги задан вес:
[ ]
, где для любой вершины x
∑
Оператором Лапласа называется оператор следующего вида:
∑

126
Задача нахождения собственных значений оператора Лапласа имеет следующий вид:
{
, где
- граница графа.
3. Спектр оператора Лапласа для графов-решетки
Рассмотрим класс задач нахождения спектра оператора Лапласа на графе общего вида.
Данный граф состоит из m структур, которые соединены друг с дру- гом дугами с весами
(р выбирается произвольно). Каждая структу- ра представляет собой подграф, имеющий 2n вершин. На рисунке введено обозначение
. Легко видеть, что каждая структура является ком- понентой сильной связности графа.
Теорема 1. Спектр данного графа — это корни многочлена следую- щего вида:
(
)
(
)
Литература
1. Берж К. Теория графов и ее применение. М., 1962. 319 с.
2. Татт У. Теория графов. М., 1988. 424 с.

127
РАЗРАБОТКА ИНСТРУМЕНТА РЕДАКТИРОВАНИЯ
ДЕРЕВЬЕВ ПОВЕДЕНИЯ ДЛЯ UNITY
Задверняк Я. А.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: zadvernyak@sfedu.ru
Разработка дерева поведения для моделирования агентов в играх яв- ляется задачей, как для программиста, так и для геймдизайнера. [1] При отсутствии специальных инструментов редактирования разработка значи- тельно усложняется. Потребность в редактировании дерева может возни- кать довольно часто, например, в результате плейтестов. В этом случае процесс правок включает в себя согласование изменений с программистом, внесение этих изменений и повторное тестирование. На это уходит как время, необходимое на согласование правок, так и рабочие ресурсы про- граммиста. Помимо этого, деревья поведения могут быть довольно ком- плексными, что затруднит внесение изменений и сделает код нечитаемым и плохо поддерживаемым.
Решением этой проблемы могут являться специальные инструменты редактирования деревьев, которые потребуют минимального знания кодо- вой базы. В этом случае геймдизайнер сможет сам заняться изменением дерева и последующим тестированием без привлечения программиста. Та- кой инструментарий особо ускорит внесение небольших правок. Вместе с тем его можно использовать для упрощения разработки дерева поведения.
Визуализация облегчит поддержку и избавит от необходимости вручную вносить изменения в большую, сложно читаемую структуру.
В данной работе описывается реализация визуального инструмента создания и редактирования деревьев поведения для платформы Unity.
Создаваемое дерево поведения представляет собой класс
HintedExecutionBehaviourTree, содержащий в себе корневой узел и метод выполнения. [2] Все узлы дерева реализуют базовый интерфейс BaseNode, содержащий в себе методы для получения списка узлов-потомков и метод выполнения узла. Для дерева по умолчанию реализованы два узла: узел- последовательность и узел-селектор. Как основные типы узлов, они сразу доступны для добавления. Также реализован узел-действие, используемый для построения дерева в редакторе. Пользователь может создать любой не- обходимый ему узел, реализовав интерфейс BaseNode, и добавить его в де- рево как листовой узел-действие.
Редактор для дерева реализован как CustomEditor для класса
HintedExecutionBehaviourTree. Таким образом, дерево можно добавить как

128 компонент сразу к объекту, к которому оно будет применяться, и редакти- ровать в инспекторе.
Исходя из рекурсивной природы дерева, отрисовка его узлов тоже яв- ляется рекурсивным процессом. Изначально в пустое дерево предлагается добавить один из доступных корневых узлов – последовательность или се- лектор. Затем можно начать построение дерева.
Глобально узлы делятся на три типа: последовательность, селектор и действия. Узлы последовательности и селектора визуализируются одина- ково: сначала показывается тип узла, затем кнопки для добавления дочер- них и удаления, затем по порядку рекурсивно все дочерние узлы.
Узел действия содержит в себе объектное поле, принимающее
MonoScript. Из полученного скрипта с помощью Activator.CreateInstance извлекается содержащийся класс BaseNode и записывается в текущий узел.
При этом в редакторе узел отображается по имени своего класса, позволяя легко контролировать заполнение дерева самописными узлами.
Рис. 1. Редактор дерева поведения
Для того, чтобы внесенные из редактора изменения сохранялись в де- реве, у содержащихся в селекторе и последовательности списков дочерних узлов прописан атрибут SerializeReference. Он позволяет сериализовать данные для отображения и менять их извне.
Созданный редактор обладает большим потенциалом для расширения и с помощью минимальных изменений может настраиваться программи- стами под нужды проекта. В случае необходимости можно добавить новые типы узлов, специальным образом обрабатывающих своих потомков
(например, для расширения функционала селектора или последовательно- сти). Для этого необходимо в отрисовку узла типа действие включить функцию отрисовки потомков и помечать каждый список потомков выше- упомянутым атрибутом.

129
Представленный редактор является доступным инструментом редак- тирования и создания деревьев поведения, позволяющим использовать собственные узлы. Также с его помощью можно легко вносить правки в поведение агентов прямо в процессе тестирования.
Литература
1.
Anguelov B., Behavior Trees: Breaking the Cycle of Misuse.
2. Sergio Ocio. Adapting AI Behaviors To Players in Driver San Francisco:
Hinted-Execution Behavior Trees / AIIDE'12: Proceedings of the Eighth
AAAI Conference on Artificial Intelligence and Interactive Digital Enter- tainment с. 51–56.

130
ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕСОВ ДЛЯ
ВАЛИДАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ
ТОНКОГО КРЫЛА
Казаков Е. А., Самсонов И. К.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича,
г. Ростов-на-Дону
E-mail: Eugene.A.KazakoV@yandex.ru, hazar7073@yandex.ru
В настоящее время широкое распространение в науке получил такой вид эксперимента, как вычислительный эксперимент. Различные пакеты программ (ANSYS, Comsol, NX, Solidworks и пр.) используются для эко- номии материалов и времени на изготовление опытной модели. Но любой вычислительный эксперимент требует валидации для последующего до- стоверного применения. Валидация, в свою очередь, происходит путѐм натурного эксперимента. Как правило, для натурных экспериментов в об- ласти аэродинамики часто используются аэродинамические трубы ввиду своей универсальности [1, 2], поскольку они позволяют с достаточной точ- ностью имитировать движение обтекаемых предметов различной конфигу- рации в воздушном потоке и фиксировать возникающие при этом силы (фе- номены, физические явления). Для определения подъѐмной силы в малога- баритных трубах, зачастую, используют аэродинамические весы, которые базируются на системе многочисленных тензометрических датчиков.
Для валидации теории математической модели тонкого крыла с вин- глетами [3] проводился натурный эксперимент в аэродинамической трубе, установленной на кафедре теоретической и компьютерной гидроаэродина- мики. В трубе установлены два типа аэродинамических весов: вертикаль- ные (установленные на задней стенке рабочей зоны трубы) и горизонталь- ные (установленные непосредственно под рабочей зоной трубы). Рабочая зона представляет собой камеру в форме параллелепипеда 300х300х600мм с выравнивающей решѐткой на входе и съѐмной боковой дверцей. В ходе натурного эксперимента полноценная исследуемая модель крепится к аэродинамическим весам с помощью державки. В случае с аэродинамиче- ской трубой ТКГ горизонтальные весы оснащены вертикальной державкой прямоугольного сечения с программной коррекцией угла атаки, тогда как в вертикальных весах используется державка круглого сечения с возможно- стью более тонкой ручной настройки. При этом вертикальная державка более удобна при исследовании объектов сложной формы (например, пла- стинок с винглетами, ориентированными вниз), а горизонтальная обладает

131 более простым креплением. Внешний вид рабочей зоны аэродинамической трубы и аэродинамических весов изображѐн на рисунке 1.
Рис. 1. Общий вид рабочей зоны аэродинамической трубы с установленной на горизонтальные весы пластинкой
Натурный эксперимент состоял из серии обдувов двух типов пласти- нок габаритами 200 мм на 50 мм. На одной пластинке с двух сторон распо- лагались вертикальные пластинки (винглеты) высотой 20 мм. Пластинки, установленные в рабочей зоне аэродинамической трубы, представлены на рисунке 2.
Пластинки устанавливались как на вертикальные, так и на горизон- тальные аэродинамические весы, обдувались со скоростью 12,5 м/с, на уг- лах атаки α = 4, 10 и 16 градусов. В серии измерений для горизонтальных весов угол атаки задавался сервоприводом с программным управлением и ключом размыкания электроцепи, позволяющим исключить влияние при- вода на тензодатчики. В серии для вертикальных весов угол атаки задавал- ся вручную системой точной настройки с выравниванием по механическо- му угломеру. Полученные значения подъѐмной силы представлены в таб- лице 1. Графики с полученными данными представлены на рисунке 3.

132
Рис. 2. Пластинка в рабочей зоне аэродинамической трубы
Таблица 1. Полученные данные
P, мН
α
200x50 20x5 винглет
Pпод. / мН вертикальные горизонтальные вертикальные горизонтальные
4 420 416 539 490 10 793 650 872 700 16 900 782 874 676
Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что на угле ата- ки 4 градуса в рамках погрешности результаты сходятся, но при увеличе- нии угла атаки до 10 и 16 градусов заметны существенные расхождения, связанные, по всей видимости, с возрастающей ролью влияния державки.
Избежать еѐ наличия технологически невозможно, но в рамках текущей работы наибольший интерес вызывают как раз малые углы атаки [1], для которых результат валидации можно считать удовлетворительным.

133
Рис. 3. Графики полученных данных
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ
№ 19-29-06013.
Литература
1. GEBBINK Roy & WANG, Ganglin & ZHONG, Min. (2018). High-speed wind tunnel testing of CAE aerodynamic validation model. Chinese Journal of Aeronautics. 31. 10.1016/j.cja.2018.01.010.
2. Kursakov Innokentiy & Kazhan, Egor & Gebbink, Roy. (2018). Computational study of wing deformation and sting interference effects with the CAE-AVM test case. Chinese Journal of Aeronautics. 31. 10.1016/j.cja.2018.05.018.
3. Sumbatyan M. A., Samsonov I. K., On the theory of thin lifting surface with winglets, Mechanics Research Communications 109 (2020) 103519.

134
ОПЫТ АКТУАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
БАКАЛАВРИАТА ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ И
ИНФОРМАТИКЕ
Карякин М. И., Махно В. В., Ревина С. В.
ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет»,
Институт математики, механики и компьютерных наук
им. И. И. Воровича
E-mail: karyakin@sfedu.ru
В 2021 году Южный федеральный университет приступил к выполне- нию очень интересного проекта, связанного с актуализацией образователь- ной программы бакалавриата по направлению «Прикладная математика и информатика». Эта работа выполнялась в рамках федерального проекта
«Кадры для цифровой экономики» национального проекта «Цифровая эко- номика». Общая цель проекта состояла в актуализации и апробировании основных профессиональных образовательных программ высшего образо- вания, направленных на формирование профессиональных компетенций, а также актуализацию индикаторов достижения универсальных и общепро- фессиональных компетенций, направленных на применение цифровых технологий, востребованных в соответствующих приоритетных отраслях экономики.
На первый взгляд, в нашем случае актуализировать особо и нечего.
Программа «Прикладная математика и информатика» – прекрасный при- мер того, как работает сплав классического фундаментального образова- ния и современных информационных технологий. Но жизнь идет вперед, мир меняется все стремительнее. И современное образование должно не просто поспевать за этими изменениями, а пытаться их предсказать и опе- редить.
Разработчики актуализированной программы исходили из того, что, прикладная математика – это, прежде всего, математическое моделирова- ние, понимаемое как наука о построении и использовании математических моделей для описания практически всех явлений и процессов окружающе- го нас мира: от расщепления атома – до движения галактик, от свойств ге- нома – до иерархически сложных социально-экономических систем. И в том, что мир стал цифровым – огромная заслуга прикладной математики, ставшей основой, фундаментом этой цифровой трансформации.
Согласно Атласу сквозных цифровых технологий, математическое и имитационное моделирование является одной из современных цифровых технологий, на которой основана перезагрузка нашей индустрии и которая позволит вывести производственные процессы на качественно новый уровень.

135
Сегодняшние новые подходы к моделированию связаны, прежде все- го, с использованием таких сквозных цифровых технологий как Машинное
обучение и искусственный интеллект, Большие данные, Облачные техно-
логии. Поэтому обучение по направлению подготовки «Прикладная мате- матика и информатика» должно быть направлено на выработку цифровых компетенций в указанных областях.
Кроме того, учитывая широкий спектр тех областей современного цифрового производства, в котором работают выпускники современной образовательной программы по прикладной математике и информатике, этих выпускников нужно обязательно знакомить с представительным списком других важнейших современных сквозных технологий. Это
• Распределенные и отказоустойчивые системы
• Имитационное и суперкомпьютерное моделирование
• ERP-системы (Enterprise Resource Planning System)
• Компоненты робототехники и сенсорика
• Технологии беспроводной связи
• Технологии распределенного реестра
Как ввести в программу эти новые технологии, какие добавить курсы, как откорректировать существующие, не нарушив при этом фундамен- тальный характер образования – именно в этом состояла сложность по- ставленной задачи.
На первом этапе работ по актуализации образовательной программы очень важными оказались мероприятия, связанные с изучением потребно- стей и интересов потенциальных работодателей. В качестве таковых были выбраны прежде всего ИТ-компании – как мирового и российского уровня, так и компании, созданные и работающие на территории Ростовской. Кро- ме того, поделиться своими мыслями о потребностях в кадрах было пред- ложено ИТ-структурам региональных банков, научно-исследовательским институтам и компаниям. Во всех случаях основным требованиям к ком- пании выступало условие наличия не менее 30 сотрудников, работающих в сфере современных цифровых технологий. Разработана онлайн-анкета, проведено 8 встреч с представителями таких компаний. В результате такой работы получен отклик 29 компаний, как монопрофильных, так и работа- ющих в нескольких ИТ-сферах.
Тщательный анализ анкет и содержащихся в них ответов был учтен при выборе профессиональных стандартов для разработки профессиональ- ных компетенций выпускников актуализируемой образовательной про- граммы. Кроме того, этот выбор связан с существующими традициями и научными школами Южного федерального университета. Разумеется, в каждом конкретном случае каждого конкретного вуза, планирующего ре- шать задачи актуализации образовательных программ, обязательно долж- ны учитываться оба эти фактора: как потребности и интересы региональ-