H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij , 1 i m, 1 j n.

При р = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков (min r_ij); при р = 1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р = 0,5 представляет наиболее разумный вариант.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуются к ис­пользованию несколько стратегий, выбор между ними может де­латься по дополнительному критерию. Здесь нет стандартного подхода. Выбор может зависеть от склонности к риску игрока1.

Контрольный пример

Транспортное предприятие должно определить уровень своих производственных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но прогнозируется, что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей представлены в табл.4.1.

Таблица 4.1

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные услуги
	1	2	3	4
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15

Необходимо выбрать оптимальную стратегию. Использовать: критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

Решение

---

Имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: П1, П2, П3, П4. Известны так же четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: А1, А2, А3, А4. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре П_i и А_i заданы следующей матрицей:



Построим матрицу рисков. В данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери значит для построения матрицы рисков используется принцип r_ij = a_ij - _j, где _j = min a_ij.

Для П1: _j = 6

Для П2: _j = 7

Для П3: _j = 9

Для П4: _j = 15

Матрица рисков имеет следующий вид:



Критерий Вальда

Так как в данном примере a_ij представляет затраты т.е. потери, то применятся минимаксный критерий.

Для А1: max a_ij = 24

Для А2: max a_ij = 28

Для А3: max a_ij = 23

Для А4: max a_ij = 27

W = min max a_ij = 23  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием Вальда будет третья стратегия (А3).

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Для А1: max r_ij = 11

Для А2: max r_ij = 13

Для А3: max r_ij = 17

Для А4: max r_ij = 21

S = min max r_ij = 11  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А1).

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Положим значение коэффициента пессимизма р = 0,5.

Так как в данном примере a_ij представляет затраты (потери), то применятся критерий:

H_A = min  p min a_ij + (1-p) max a_ij 

	min aij	max aij	p min aij + (1-p) max aij
Для А1	6	24	15
Для А2	7	28	17,5
Для А3	15	23	19
Для А4	15	27	21

---

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1

Рассчитаем оптимальную стратегию применительно к матрице рисков

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij

	min rij	max rij	p max rij + (1-p) min rij
Для А1	0	11	5,5
Для А2	0	13	6,5
Для А3	4	17	10,5
Для А4	0	21	10,5

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1

Вывод: в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

• 
  по критерию Вальда – выбор стратегии А3;
  
• 
  по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А1;
  
• 
  по критерию Гурвица – выбор стратегии А1.
  

Вариант 8
Дана следующая матрица выигрышей: Определите оптимальную стратегию используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,5).



1. Выбор стратегии: r_ij = _j-a_ij, где _j = max a_ij, при заданном j. 1 i m если а_ij – выигрыш.

Для П1: _j = 85

Для П2: _j = 30

Для П3: _j = 45

Для П4: _j = 75

Матрица выигрыша имеет следующий вид:

	П1	П2	П3	П4
А1	55	0	30	0
А2	70	10	0	55
А3	60	14	20	50
А4	0	25	0	70

---

R_ij=

2. Критерий Вальда: так как в данном примере aij представляет выигрыш, то применятся максиминный критерий.

Для А1: min aij = 15

Для А2: min aij = 15

Для А3: min aij = 16

Для А4: min aij = 5

W = max min aij = 16  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с максиминным критерием Вальда будет третья стратегия (А3).

3. Критерий максиминного риска Сэвиджа: работаем с матрицей R_ij.

Для А1: max r_ij = 55

Для А2: max r_ij = 70

Для А3: max r_ij = 60

Для А4: max r_ij = 70

S = min max r_ij = 55  наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Сэвиджа будет первая стратегия (А1).

4.Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица: H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij ,

1 i m, 1 j n. если a_ij – выигрыш.

Положим значение коэффициента пессимизма р = 0,5.

Так как в данном примере a_ij представляет выигрыш, то применятся критерий:

H_A = max  p max a_ij + (1-p) min a_ij 

	max aij	min aij	p max aij + (1-p) min aij
Для А1	85	15	50
Для А2	30	15	22,5
Для А3	45	16	30,5
Для А4	75	5	40

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1.

Рассчитаем оптимальную стратегию применительно к матрице рисков.

H_R = min p max r_ij + (1-p) min r_ij

	min rij	max rij	p max rij + (1-p) min rij
Для А1	0	55	27,5
Для А2	0	70	35
Для А3	14	60	37
Для А4	0	70	35

Оптимальное решение заключается в выборе стратегии А1

---

Вывод: в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

• 
  по критерию Вальда – выбор стратегии А3;
  
• 
  по критерию Сэвиджа – выбор стратегии А1;
  
• 
  по критерию Гурвица – выбор стратегии А1.
  

Контрольные вопросы

1. 
   В чем состоит отличительная особенность принятия решения в игре с «природой»?
   

Ответ: Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игрок1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально.

2. 
   Специфика мажорирования стратегий в игре с природой?
   

Ответ: Мажорирование стратегий в игре с природой имеет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех j=1, ..., п , k, l = 1, ..., т, то k-ю стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из мат­рицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычер­кивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопус­тимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в «игре» с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или про­игрышных стратегий, она действует неосознанно.

3. 
   Опишите два способа задания матрицы игры с природой.
   

Ответ: 1). Матрица игры с природой А = ||аij||, где аij – выигрыш (потеря) игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i=1, …, m; j=1,…,n). Игрок 1 имеет m возможных стратегий: А1,А2, … , Аm, а у природы имеется n возможных состояний (стратегий): П1, П2, ..., Пn, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей (потерь) игрока 1:



2). Другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей (потерь), а в виде так называемой матрицы рисков R = ||r_ij

---

Смотрите также файлы

• Роботтытехниканы даму кезедері айтыныз. Роботтарды басару ралдарын айтыныз.docx

• Перспективы методической работы колледжа. Легович Маргарита Владимировна зам директора по умр гбпоу Челябинский профессиональный колледж.pptx

• Дидактические игры в формировании пространственных и временных отношений К. Д. Ушинский.pptx

• Гальванизация методики и техника проведения.docx

• Слова это один из наиболее мощных инструментов, которые у нас есть. Они способны вызывать эмоции, влиять на мышление, изменять мировоззрение и даже формировать культуру.docx