Файл: Быстрый переход Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.docx

) непрерывна на [a, b], то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана. Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.




<Вернуться назад>

19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.

Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

(13)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию



Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:



Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:



Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и , а производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в некоторой средней точке промежутка . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

---

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны в замкнутом промежутке ; дифференцируемы в открытом промежутке ; в открытом промежутке . Тогда существует такая точка , что


Доказательство. Заметим, что . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная обратилась бы в нуль в некоторой точке .

Рассмотрим вспомогательную функцию



которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка :



Тогда существует точка , в которой



что и требовалось доказать.

<Вернуться назад>

20. Правило Лопиталя.

Первое правило Лопиталя 

Рассмотрим функции  , которые бесконечно малЫв некоторой точке  . Если существует предел их отношений  , то в целях устранения неопределённости   можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом:  , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел   тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Второе правило Лопиталя 

Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками  . Аналогично:

Если существует предел отношения бесконечно большихв точке   функций:  , то в целях устранения неопределённости   можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом:  , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел   должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение   может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость  .

<Вернуться назад>
21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.

---

Рассмотрим многочлен  -й степени



Его можно представить в виде суммы степеней  , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его  раз по переменной  , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке  :











Таким образом, получаем, что



Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена   степени  .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен   по степеням разности  , где   - любое число. В этом случае будем иметь:



Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена   в окрестности точки  .

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию   в точке  .

Решение. Найдем производные:







Итак,  ,  ,  . Значение функции в точке

---

Таким образом,





Ответ. 

Для произвольной функции  , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки  принимает вид:



Последнее слагаемое   называется остаточным членом в форме Пеано.

Замечание

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при  .
<Вернуться назад>
22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пусть функция f: [a, b] → R имеет в точке x0 производную n-го порядка. Тогда при x → x0



Если x0 = a или x0 = b, то под производными понимаются соответствующие односторонние производные.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид



<Вернуться назад>
23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Определение

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Теорема

---

(Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю:  , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения  ), либо это точки, в которых производная   не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

1. 
   функция непрерывна в окрестности точки  ;
   
2. 
    или   не существует;
   
3. 
   производная   при переходе через точку   меняет свой знак.
   

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная   при переходе через точку   не меняет знак, то экстремума в точке   нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию   на экстремум, необходимо:

1. 
   найти производную  ;
   
2. 
   найти критические точки, то есть такие значения  , в которых   или   не существует;
   
3. 
   исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
   
4. 
   найти значение функции в экстремальных точках.
   

Пример

Задание. Исследовать функцию   на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:



Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение  :



Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку  . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

---