Файл: Быстрый переход Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.docx

Быстрый переход:

1. 
   Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
   
2. 
   Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
   
3. 
   Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
   
4. 
   Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
   

(+ определение б/б функций limf(x) = ∞)

5. 
   Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции
   
6. 
   Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
   
7. 
   Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
   
8. 
   Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
   
9. 
   Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий. о непрерывности сложной функции.
   
10. 
    Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
    
11. 
    Точки разрыва и их классификация
    
12. 
    Производная, ее геометрический и механический смысл
    
13. 
    Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости
    
14. 
    Арифметические действия с производными
    
15. 
    Таблица производных
    
16. 
    Производные сложной и обратной функции
    
17. 
    Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
    
18. 
    Теорема Ролля, ее геометрический смысл
    
19. 
    Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
    
20. 
    Правило Лопиталя.
    
21. 
    Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
    
22. 
    Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранджа
    
23. 
    Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
    
24. 
    Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
    
25. 
    Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты.
    
26. 
    Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
    
27. 
    Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
    
28. 
    Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
    

Нахождение производных по определению 1

Нахождение производных по определению 2
<Справка>

1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.

• 
  Предел числовой последовательности:
  

Число   называется пределом последовательности   , если для любого   существует номер   такой, что для любого    выполняется неравенство   :

• 
  Подпоследовательность:
  

Пусть задана некоторая последовательность { } и есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности { }.

Будем писать:  

и говорить, что последовательность { } стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа   найдется номер  , такой что   при любом  Аналогично даются определения для случая  ,

• 
  Частичный предел последовательности:
  

1. 
   Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.
   
2. 
   Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов.
   

Пример:

Пусть 

Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности   и   сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  
<Вернуться назад>
2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

• 
  Свойства фундаментальных последовательностей:
  

Если последовательность   фундаментальная, тогда существует такой номер   , что в  -окрестности точки   содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера.

Последовательность   сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему.






<Вернуться назад>

3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции.Первый замечательный предел.

• 
  Предел:
  

• 
  Пределпромежуточной функции
  

Если имеет место соотношение   и  ,  , то и  или говорят: если функция F(х) заключена между двумя функциями s(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу.
Пример: Найти предел функции   в точке  , если известно, что имеет место соотношение:   и   , 

Решение: Найдем пределы заданных функций   и   при  :





А тогда по теореме о предел промежуточной функции и



Ответ. 

• 
  Первый замечательный предел:
  

Так как при α→0 имеем sinα→0, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида 0/0. Вместо переменной α под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, если:

1. 
   Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида 0/0.
   
2. 
   Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.
   

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:
<Вернуться назад>

4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.

• 
  Бесконечно малые функции:
  

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м или б/м) при   (или в точке   ), если

Пример:

Функция   является бесконечно малой (б.м) функцией при  .
Основные свойства бесконечно малых функций:

1)Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2)Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3)Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4)Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5)Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен 0, есть функция б.м.

6)Функция 1/f(x), обратная к б.м функции, есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.
Теорема:

Пусть   - предел функции   в точке  :   . Тогда заданную функцию можно представить в виде  , где   - б.м. функция. Верно и обратное утверждение.

• 
  Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций:
  

Если функция - функция бесконечно малая ( ), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.
<Вернуться назад>
5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.

• 
  Теорема:
  

Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

• 
  Доказательство:
  

Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

• 
  Из доказанной теоремы вытекают:
  

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .
<Вернуться назад>
6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей

• 
  Второй замечательный предел:
  

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом:



Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).



<Вернуться назад>

7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.

• 
  Таблица эквивалентных бесконечно малых:
  

П усть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .
<Вернуться назад>
8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.

• 
  Теорема: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
  

(См. 7. Сравнение бесконечно малых)
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

т. е.

Отсюда т. е. α

ß. Аналогично, если то α ß.

• 
  Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения:
  

Числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.

Доказательство: Пусть в точке х = х₀ имеем f(x) α(

---

x). Тогда


<Вернуться назад>

9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывностиарифметических действий о непрерывности сложной функции.

• 
  Непрерывность функции в точке:
  

Ф ункция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть:
Следствие:

Значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

• 
  Теорема о непрерывности сложной функций:
  

Пусть функция φ(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке x0=φ(t0).

Тогда функция f(φ(t)) непрерывна в точке t0.
<Вернуться назад>


10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.

• 
  Непрерывность функции в интервале и на отрезке:
  

1. 
   Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
   
2. 
   Ф ункция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).
   

• 
  Свойства функций непрерывных на отрезке:
  

1. 
   Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения (теорема Вейерштрасса).
   
2. 
   Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.
   
3. 
   Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и
   

---

(теорема Больцано-Коши).

4. 
   Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .
   

<Вернуться назад>

1 1. Точки разрыва и их классификация.


<Вернуться назад>

12. Производная, ее геометрический и механический смысл.

• 
  Производная:
  

Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:







или

Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

• 
  Геометрический смысл производной:
  

Производная функции  , вычисленная при заданном значении  , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси   и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой  :






Замечание: Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке   .

• 
  Механический смысл производной:
  

Пусть задан путь   движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени   есть производная от пути   по времени  :


<Вернуться назад>

13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости. 

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

---

Доказательство:

Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу.




Найдем
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

П ример:

 у=|х|, х0=0.

Dх>0,              ;

Dх<0,              .

В точке х0=0 функция непрерывна, но производной не существует.
<Вернуться назад>


14. Арифметические действия с производными.


<Вернуться назад>


15.Таблица производных.



<Вернуться назад>


16. Производные сложной и обратной функции.

• 
  Таблица производных сложной функции:
  

• 
  Производная обратной функции:
  

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).
Доказательство:
По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f^--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f^--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f^--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. 

---

Тогда


<Вернуться назад>

17.Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.

Дифференциалом в точке x, соответствующему называется главная линейная часть приращения функции. .

То есть если существует производная, то при , и дифференциал . Когда x=const, то переменной является и дифференциал будет линейной функцией.

геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Инвариантность формул первого дифференциала

Пусть существует сложная функция , и существует ее производная: . Считая y независимой переменной, получим формулу дифференциала: . Теперь, если считать y зависимой от x, получим: , т.к. . То есть получается, что формула дифференциала не зависит от типа переменной.


<Вернуться назад>
18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.

Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x

---