ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 120
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Нетрудно показать, что любую подстановку можно представить в виде произведения транспозиций. Такое представление не единственно (например, в примерах выше 
).Все подстановки подразделяются на 2 класса: чётные и нечётные.Если в матрице подстановки есть 2 столбца 
, для которых 
и 
или 
и 
, то такая пара столбцов называется инверсией подстановки.Подстановка называется чётной или нечётной в зависимости от того, чётно или нечётно число инверсий в ней.Очевидно, что любая транспозиция является нечётной подстановкой: одна инверсия 
нечётнаяТеорема. Если подстановка чётная, то при любом способе разложения её в произведение транспозиций число множителей (то есть транспозиций) чётно, а если нечётная — то число этих транспозиций нечётно.Следствие. Так как при перемножении чётных подстановок, очевидно, снова получается чётная подстановка, то множество всех чётных подстановок является подгруппой симметрической группы 
и называется знакопеременной группой и обозначается 
. Причём порядок равен 
. 
состоит из одной подстановки: 
. 
состоит из 
подстановок и т. д.
Пример. Подгруппа
симметрической группы 
состоит из 3-х подстановок:Произведение двух нечётных подстановок, очевидно, есть чётная подстановка, поэтому нечётные подстановки не образуют группу.Порядок подстановки — это наименьшее целое положительное число 
такое, что 
.Пример. Докажем, что порядок подстановки 
равен 5:Теорема. Порядок подстановки равен НОК длин всех её независимых циклов.Также нетрудно показать, что порядок цикла равен длине цикла.Пример. Определить, является ли подстановка чётной или нечётной и разложить её в произведение транспозиций:Сосчитаем число инверсий 
. Инверсии — это пары столбцов , , , , , , . Поэтому (подстановка нечётная).Разложим её на циклы: Как видим, число транспозиций в произведении равно 5, то есть нечётно.Обратная операция: добавлена в середину только потому, что она равна . Другие подстановки (не равные ) в любое место добавлять нельзя, так как коммутативности нет.Порядок подстановки: . То есть . Проверим это.
).Все подстановки подразделяются на 2 класса: чётные и нечётные.Если в матрице подстановки есть 2 столбца , для которых и или и , то такая пара столбцов называется инверсией подстановки.Подстановка называется чётной или нечётной в зависимости от того, чётно или нечётно число инверсий в ней.Очевидно, что любая транспозиция является нечётной подстановкой: одна инверсия нечётнаяТеорема. Если подстановка чётная, то при любом способе разложения её в произведение транспозиций число множителей (то есть транспозиций) чётно, а если нечётная — то число этих транспозиций нечётно.Следствие. Так как при перемножении чётных подстановок, очевидно, снова получается чётная подстановка, то множество всех чётных подстановок является подгруппой симметрической группы и называется знакопеременной группой и обозначается . Причём порядок равен . состоит из одной подстановки: . состоит из подстановок и т. д.
Пример. Подгруппа
симметрической группы состоит из 3-х подстановок:Произведение двух нечётных подстановок, очевидно, есть чётная подстановка, поэтому нечётные подстановки не образуют группу.Порядок подстановки — это наименьшее целое положительное число такое, что .Пример. Докажем, что порядок подстановки равен 5:Теорема. Порядок подстановки равен НОК длин всех её независимых циклов.Также нетрудно показать, что порядок цикла равен длине цикла.Пример. Определить, является ли подстановка чётной или нечётной и разложить её в произведение транспозиций:Сосчитаем число инверсий . Инверсии — это пары столбцов , , , , , , . Поэтому (подстановка нечётная).Разложим её на циклы: Как видим, число транспозиций в произведении равно 5, то есть нечётно.Обратная операция: добавлена в середину только потому, что она равна . Другие подстановки (не равные ) в любое место добавлять нельзя, так как коммутативности нет.Порядок подстановки: . То есть . Проверим это.