Файл: Методические указания к практическим занятиями. Модуль Основы теории вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 38
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Владимирский государственный университет
имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
(ВлГУ)
Институт машиностроения и автомобильного транспорта
Кафедра «Управление качеством и техническое регулирование»
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Методические указания к практическим занятиями.
Модуль 1. Основы
теории вероятностей.
направление 27.03.02 «Управление качеством»
Владимир – 2018 г.
Оглавление
Элементы комбинаторики……….. ...............................…...........…...4
Элементы теории вероятностей......................................……..….…..7
Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................……...9
Формула полной вероятности……………………..…...................…11
Формула Бернулли………………………..………...........…………..13
Локальная теорема Лапласа…..……………………………………..13
Интегральная теорема Лапласа……………………………………...14
Теорема Пуасона………………………………………………………14
Дискретные случайные величины...........................................…..…16
Непрерывные случайные величины......….…………………………18
Равномерное распределение......................................……………….20
Нормальное распределение…………………………………………21
Показательное распределение………………………………………23
4
Элементы комбинаторики
Пусть задано множество, содержащее конечное число элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.) Такие множества будем называть конечными и обозначать {a,b,c,d}. Если каждому элементу конечного множества поставлены в соответствие натуральные числа, то такое упорядоченное множество называется перестановкой и обозначается (a,b,c,d). Сколько перестановок можно составить из n- элементного множества? Из трехэлементного 6: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).
Число перестановок из n-элементного множества вычисляется по формуле: Р
n
= n!,
где n! - произведение n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1. Полезна рекуррентная формула
P
n
= nP
n-1
Прост и комбинаторный смысл числа перестановок: сколькими способами можно упорядочить конечное n-элементоное множество.
Размещением из n по k называется упорядоченное k-элементное подмножество n- элементного множества. По смыслу определения ясно, что k
≤ n. Число размещений из n по k обозначается
k
n
A . Очевидно, что
n
n
A = Р
n
= n!,
1
n
A = n,
2
n
A =n*(n – 1),
3
n
A =n*(n –1)*(n–2 )
4
n
A =n*(n – 1)*(n – 2)*(n – 3)
и т.д.
k
n
A -
это произведение k старших сомножителя натурального числа n, т. е.
k
n
A = n*(n – 1)*(n – 2)*…*(n – k + 1)
(*). Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:
)!
(
!
)!
(
)!
)(
1
)...(
2
)(
1
(
k
n
n
k
n
k
n
k
n
n
n
n
A
k
n
−
=
−
−
+
−
−
−
=
= n(n –1)(n – 2)(n –3)…3*2*1, т.е. k старших сомножителя числа n.
Сочетанием из n по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n- элементного множества. По смыслу определения ясно, что k
≤ n. Число сочетаний из n по k обозначается
k
n
C . Очевидно, что неупорядоченных подмножеств n-элементного множества в k! меньше чем упорядоченных подмножеств, т.е.
k
n
C =
!
)
1
(
*
*
)
1
(
*
k
k
n
n
n
P
A
k
k
n
+
−
−
=
(*)
Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:
)!
(
!
!
)!
(
!
)!
)(
1
(
*
*
)
1
(
*
k
n
k
n
k
n
k
k
n
k
n
n
n
C
k
n
−
=
−
−
+
−
−
=
;
На практике, для вычисления
k
n
C используют формулу (*)
В приложении №1 приведены значения
k
n
C , так называемый треугольник Паскаля.
Некоторые важные свойства числа сочетаний, которые необходимо применять при решении различных задач:
1)
0
n
C =
0 0
C = 1; 2)
1
n
C = n; 3)
k
n
C =
k
n
n
C
−
-
эту формулу удобно применять при k > n/2 4)
0
n
C +
1
n
C +
2
n
C +
3
n
C + … +
n
n
C = 2
n
; 5)
k
n
C +
1
+
k
n
C
=
1 1
+
+
k
n
C
-
рекуррентная формула.
Размещение с повторениями из n элементов по k элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое
5
размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
k
k
повт
с
n
n
A
=
)
(
Сочетание с повторениями из n элементов по k (k n
⊆ ) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, или не содержать его совсем, т.е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющих элементов.
Следует отметить, что если, например два соединения по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
( )
)!
(
!
)!
1
(
1
k
n
k
k
n
C
C
k
k
n
повт
с
k
n
−
−
+
=
=
−
+
; Замечание: k может быть и больше n.
Пусть имеется n + k + s предметов. Сколькими способами можно разделить эти предметы на три группы так, чтобы в одной группе было n предметов, в другой k предметов, в третьей s предметов? Это задача на перестановки с повторениями. Число перестановок с повторениями находится по формуле:
(
)
!
!
!
)!
(
s
k
n
s
k
n
P
повт
с
s
k
n
+
+
=
+
+
Комбинаторные уравнения и неравенства:
1)
455 5
3 15 3
=
− C
A
n
2)
3 15 5
5 165
n
A
C
+
=
3)
30 3
2 5
=
−
n
A
P
4)
3 1
3 3
10
−
=
−
n
n
n
C
C
A
5)
n
n
n
n
C
C
1 2
1 2
5 3
−
−
=
6)
55 1
2
=
+
−
−
n
n
n
n
C
C
7)
13 7
1 1
2 1
2
=
−
+
−
n
n
n
n
C
C
8)
7 13 1
2 1
1 2
=
+
−
+
n
n
n
n
C
C
9)
17 9
1 2
1 2
=
−
−
n
n
n
n
C
C
10)
4 2
3 5
1
+
=
n
n
C
C
11)
17 9
1 2
1 2
=
−
−
n
n
n
n
C
C
12)
9 17 1
2 1
2
=
−
−
n
n
n
n
C
C
13)
n
n
n
n
P
P
P
P
2 2
2 1
2
−
−
=
14)
2 1
2 2
2 2
−
−
=
n
n
n
n
P
P
P
P
15)
1920 5
15 7
=
C
A
n
16)
19 19 1
n
n
C
C
−
<
17)
15 15 2
n
n
C
C
−
>
18)
1 1
2
n
n
n
n
C
C
−
+
<
19)
1
+
<
k
n
k
n
C
C
20)
5 2
7 2
n
n
C
C
>
21)
2 10
C
P
n
>
22)
4 2
5 18
−
=
n
n
A
A
23)
5 2
6 28
−
=
n
n
A
A
24)
n
n
n
P
P
A
30 2
3 1
=
−
+
; 25)
2 2
2 2
n
n
n
A
C
=
−
+
; 26)
3 2
1 4
3 4
+
−
+
=
n
n
n
A
C
; 27)
75 15 2
1 2
5
=
−
+
n
n
C
C
Комбинаторные задачи
1) В карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 6. Каково число всех возможных вариантов?
2) Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 15 кандидатов на эти должности?
3) В группе 28 студентов. Сколькими способами можно избрать 6 делегатов на профсоюзную конференцию?
4) Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?
5) Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?
6) Из 20 милиционеров необходимо составить наряд из 6 человек.. Сколькими способами это можно сделать?
7
Элементы теории вероятностей
Классическое определение вероятности
Наблюдаемые нами события можно разделить на достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Т.е. под случайным событием, связанным с некоторым опытом, будем понимать всякое событие, которое либо происходит, либо не происходит при осуществлении этого опыта.
Вместо слов «осуществлена совокупность условий» зачастую говорят «произведено испытание».
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым исходом его является одно или только одно событие этой группы.
Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными исходами испытания.
Исход испытания называется благоприятствующими некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие.
События называются равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем остальные.
Определение.
Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу n всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу, т.е Р(А) =
n
m
Свойства вероятности
:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
8 3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей.
Таким образом, вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Относительная частота и статистическая вероятность
Классическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к сложным задачам наталкивается на трудности принципиального характера. Во-первых, число элементарных исходов испытания не всегда конечно, во-вторых, очень часто невозможно представить результат в виде совокупности элементарных исходов, в-третьих, трудно указать основания, позволяющие считать элементарные исходы равновозможными.
Поэтому используют также статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к общему числу n фактически проведенных испытаний, т.е. W (A) =
n
m
При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, которая состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число называется вероятностью события А в статистическом смысле.
Для осуществления статистической вероятности события А требуется: а) возможность хотя ба принципиально, проводить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; в) устойчивость относительной частоты события А в различных сериях большого числа испытаний.
Задачи на непосредственное вычисление вероятностей
3)Куб, все грани которого окрашены распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней а) одну, б) две, в)три.
4)При стрельбе относительная частота попаданий оказалась равной 0.85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.
5)Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
6)Набирая номер телефона абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
7)В ящике из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6 деталей 4 стандартных. (Это, так называемая задача о выборке, обобщите ее и составьте аналогичные.)
8)Восемь различных книг расставляются рядом на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
9
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой А + В событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. ( Другими словами, суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий):
Если события А и В несовместны, то А + В – это событие А, или событие В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А, и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.
Событием, противоположным событию А, называется событие, обозначаемое A и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Следствие1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А
1
+ А
2
+ …+ А
n
) = P(A
1
) + P(A
2
)
+ P(A
3
) + …+ P(A
n
).
Следствие 2. Если события А
1
, A
2
, A
3
, …An
образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице: P(A
1
) + P(A
2
)
+ P(A
3
) + …+ P(An) = 1.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P(A) + P(
A ) = 1.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
10
Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А
меняется в зависимости от того, произошло это событие В или нет.
Вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события а и обозначается P
B
(A)
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое из них произошло:
P(AB) = P(A)P
A
(B) = P(B)P
B
(A).
Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Для вычисления вероятности совместного появления большего числа событий, например, четырех, используют формулу:
P(ABCD) = P(A)P
A
(B)P
AB
(C)P
ABC
(D).
Для нескольких независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:
P(A
1
A
2
…A
3
) = P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
).
Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий А
1
,A
2
…A
n
.,
независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий A
1
,
A
2
,…
A
n
: PA
1
+ A
2
+ …A
n
) = 1 – P(
A
1
) P(
A
2
)… P(
A
n
)
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
1) В магазин поступило 30 телевизоров, 5 среди которых имеют скрытые дефекты.
Наудачу отбираются 2 телевизора для проверки. Какова вероятность того, что оба они не имеют дефектов?
2) Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов равна 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что сработают: а) оба сигнализатора, б) хотя бы один сигнализатор.
3) Изделия проверяются на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0.8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
4) Партия товара, состоящая из 15 ящиков, подлежит приемке, если при проверке наугад двух выбранных ящиков окажется, что содержащиеся в них изделия удовлетворяют стандарту. Найти вероятность приемки партии, содержащей в 5 ящиках нестандартные изделия.
6) В партии деталей 12 стандартных изделий и 3 нестандартных. 5 деталей, выбранных наудачу, проверяют на соответствие стандарту. Найти вероятность того, что среди них не окажется нестандартных.