Файл: Методические указания к практическим занятиями. Модуль Основы теории вероятностей.pdf

11
Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий H
1
, H
2
, …H
n
.
События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда
P(A) = P(H
1
)P
H1
(A) + P(H
2
) PH
2
+…+ P(Hn)P
Hn
(A) (1)
(формула полной вероятности), причем
P(H
1
) +P(H
2
) +…+ P(Hn) = 1.
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с одним из событий H
1
, H
2
,…Hn,
образующих полную группу событий (они называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H
1,
H
2,…
Hn
после испытания, когда событие А имело место, т.е. P
A
(Hi), i = 1,2,…n.
Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):
P
A
(H
i
) =
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
A
PHn
Hn
P
A
PH
H
P
A
PH
H
P
A
PH
H
P
i
i
+
+
+
(2)
Замечания.
1) Вероятности P
A
(H
1
)
называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез
Hi.
Эти вероятности различаются.
2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и равен P(A).

12
Задачи
1 Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер.
Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, на втором -
0.02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом автомате.
2 Три хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными продуктами в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Найти вероятность того, что приобретенное хлебобулочное изделие оказалось высшего качества. Приобретенный продукт оказался высшего качества, найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором хлебокомбинате.
3 Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0.7, 0.6 и 0.9. 1) Какова вероятность получения сообщения? 2) Сообщение адресатом получено, какова вероятность, что оно передано по факсу?
5 Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2)
Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.
7 В ящике три детали, причем равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей. В этот ящик брошена стандартная деталь после чего наудачу извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь стандартна.
9 На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго - 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что взята наудачу деталь стандартна. 2) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, найти вероятность того, что она сделана на первом станке.

13
Формула Бернулли
Пусть проводится серия из n испытаний, в результате каждого из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность p наступления события
А
в каждом испытании постоянна, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.
Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется последовательностью независимых испытаний (или схемой Бернулли).
Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется лишь два исхода:
1) событие А, P(A) = p; 2) событие
A , P( A ) = q = 1 - p.
Вероятность P
n
(k)
того, что в серии из n испытаний в схеме Бернулли событие А
наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), выражается формулой
Бернулли
P
n
(k) =
)!
(
!
!
,
k
n
k
n
C
где
q
p
C
k
n
k
n
k
k
n
−
=
−
В некоторых задачах требуется определить вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет не менее k раз. Используя теорему сложения вероятностей и формулу
Бернулли, искомую вероятность определяют по формуле:
P
n
(k) + P
n
(k+1) +…+ P
n
(n).
Количество n испытаний, которое необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью, не менее Р, можно было утверждать, что событие А произойдет хотя бы один раз, определяем по формуле: n ≥
)
1
ln(
)
1
ln(
p
P
−
−
Наивероятнейшее значение µ появлений события А в n испытаниях равно целой части числа (n +1)p, а если это число целое, то наивероятнейших значений два
µ
1
= (n +1)p - 1, µ
2
= (n+1)p.
Локальная теорема Лапласа
Формула Бернулли становится трудно применимой при больших n. Это связано с вычислением
k
n
С
Существует практически удобный способ вычисления вероятностей P
n
(k) -
приближенный, но достаточно точный при больших значениях n.

14
Теорема Лапласа. Пусть p - вероятность появления события А в одном испытании, причем 0 < p < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается равенством
P
n
(k)
≈
npq
1
ϕ
(x), где x =
npq
np
k
−
,
ϕ
(x) =
π
2 1
2 2
x
e
−
, q = 1 – p (1)
Формула (1) дает тем более точный результат, чем больше n.
Для функции
ϕ
(x) cоставлены таблицы, лишь для x ≥0, так как
ϕ
(x) - четная функция, т. е.
ϕ
(-x) =
ϕ
(x). (См. приложения).
Интегральная теорема Лапласа
Во многих задачах требуется вычислить P
n
(k
1,
k
2
)
того, что в серии из n испытаний событие А произойдет не менее k
1
и не более k
2
раз. Вычисление этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших n весьма затруднительно.
Удобный приближенный способ вычисления вероятностей P
n
(k
1
, k
2
)
в схеме Бернулли дает интегральная теорема Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p (0 < p < 1), то имеет место приближенное неравенство
P
n
(k
1,
k
2
)
≈
π
2 1
dt
e
x
x
t
∫
−
2 1
2 2
,
где где x
1
=
npq
np
k
−
1
, x
2
=
npq
np
k
−
2
(1)
Для вычисления вероятности P
n
(k
1,
k
2
)
формулу (1) представляют в виде:
P
n
(k
1,
k
2
) = Ф(x
1
) – Ф(x
2
) (1`) ,
где
Ф(х) ≈
π
2 1
dt
e
x
t
∫
−
0 2
2
,
функция Лапласа, для которой составлены таблицы значений.
Так как Ф(х) функция нечетная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х), то таблицы составлены лишь для х ≥ 0.
(См. приложения)
Замечание 1. Формула (1) (или (1`)) дает хорошие результаты при достаточно больших n.
Замечание 2. Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз в n испытаниях можно вычислять по формуле (1`), полагая k
1
= k, k
2
= n.
Теорема Пуасона
Рассмотрим схему Бернулли с малой вероятностью p появления события А в одном испытании и с большим количеством n испытаний. Пусть при большом n малая вероятность
p
такова, что pn = λ , где λ - некоторое число. Вероятность P
n
(k)
в такой схеме Бернулли описывается теоремой Пуассона. Пусть n→∞, λ >0 постоянно и p =
n
λ
. Тогда в схеме
Бернулли из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, имеет место приближенное равенство:
P
n
(k)
≈
!
k
e
k
λ
λ
−
(формула Пуассона).
(Таблица значений для формулы Пуассона приведена в Приложении).
Замечание. Формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число n испытаний
«велико», вероятность события p «мала», а λ = np «не мало и не велико».
Задачи
1 Вероятность сбоя в работе компьютера в одном сеансе работы равна 0.1. Найти вероятность двух сбоев в шести сеансах работы.

15 2 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 5 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза.
3 Фирма выпускает изделия, из которых 80% высшего качества. Какова вероятность при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 изделий высшего качества?
4 Хлебокомбинат выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий хлебокомбината первосортных окажется не менее 380?
10 Типография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?
Дискретные и непрерывные случайные величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания приобретает то или иное числовое значение из некоторого множества. При этом заранее неизвестно, какое значение имела случайная величина примет в результате опыта.
Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения изолированы друг от друга и их можно занумеровать.
Случайную величину называют непрерывной, если она может принимать любые значения из некоторого промежутка (конечного или бесконечного).
Случайные величины будем обозначать заглавными буквами, например, X, Y, а их возможные значения соответствующими малыми буквами x
1,
x
2, …
x
n;
y
1,
y
2,….,
y
m
.
Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное x
i
,
обозначают
P(X = x
i
) = p
i
.
Законом распределения случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

16
Простейшей формой задания этого закона для дискретных случайных величин является таблица, первая строка которой содержит все возможные значения случайной величины, а вторая – их вероятности:
Х x
1
x
2
… x n
р p
1
p
2
… p n
Отметим, что p
1
+ p
2
+…+ p
n
= 1.
Для того, чтобы придать закону более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Точки (x
i
p
i
), i =1, 2,…n
, соединяют отрезками прямых.
Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Дискретные случайные величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, то есть, если X - дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:
Х x
1
x
2
… x n
р p
1
p
2
… p n
находится по формуле: M(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ …+ x
n
p
n.
Отметим, что при большом числе опытов среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.
Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная.
Основные свойства математического ожидания:
1.Математическое ожидание постоянной величины равно постоянной, т.е., если
С = const
, то M(С) = М
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е M(CX)
= CM(X).
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е. M(X+Y) = M(X) +M (Y)
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X) M(Y), где X и Y- независимые случайные величины.
5.Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях М(Х) = np
Дисперсия дискретной случайной величины
Пусть X – случайная величина. Случайную величину │X – M(X)│ называют отклонением. Очевидно, что математическое ожидание отклонения равно 0:
M [X – M(X)] = 0
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения от ее математического ожидания, т.е. D (X) = M((X - M(X)))
2
.
(1)
Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.
Нередко вместо формулы (1) в вычислениях используют эквивалентную ей формулу

D (X) = M(X
2
) – (M(X))
2
(2)
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D(С) =0

17 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(CX) =C
2
DX
3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D(X ± Y) = D(X) ± D(Y),
4. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq.
Следствие: D(C + X) = D(X), где С – постоянная.
Замечание. Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата единицы размерности случайной величины X. Это создает определенные неудобства, поэтому вводят показатель рассеяния случайной величины, имеющей ту же размерность, что и случайная величина. Для этого извлекают квадратный корень из дисперсии. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением (стандартом) и обозначают
σ(X), т.е.
σ(X) =
D(X)
Отметим, что среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин:
σ(X
1
+ X
2
+ X
3
+ … + X
n
) =
)
(
)
(
)
(
2 2
2 1
2
n
X
X
X
σ
σ
σ
+
+
+
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х
k
:
)
(
k
k
X
M
=
ν
, в частности, )
(
1
X
M
=
ν
, )
(
2 2
X
M
=
ν
Пользуясь этими моментами формулу для вычисления дисперсии можно записать так:
D (X) = M(X
2
) – (M(X))
2
=
2 1
2
ν
ν
−
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х – М(Х))
k
]
))
(
[
k
k
X
M
X
M
−
=
μ
, в частности
0
]
))
(
[
1
=
−
=
X
M
X
M
μ
, )
(
]
))
(
[
2 2
X
D
X
M
X
M
=
−
=
μ
Нетрудно вывести соотношения:
4 1
2 1
2 1
3 4
4 3
1 2
1 3
3 2
1 2
2 3
6 4
2 3
ν
ν
ν
ν
ν
ν
μ
ν
ν
ν
ν
μ
ν
ν
μ
−
+
−
=
+
−
=
−
=
Приведем знаменитое в теории вероятностей неравенство П.Л. Чебышева:
P(
⎪x - a⎪ ≥ ε) ≤
2
)
(
ε
x
D
, где х – значения случайной величины, а – математическое ожидание,
ε - любое напер заданное сколь угодно малое число. Это неравенство позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Из этого неравенства можно получить закон больших чисел:
(P(w – p) <
ε) → 1, где w – относительная частота появления события А в n независимых испытаниях, p – классическая вероятность его появления в каждом отдельном испытании, т.е.: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании.
Задачи
1.Найти математическое ожидание a) M(X), b) дисперсию D(X), c)среднее квадратическое отклонение
σ (X) дискретной случайной величины X по заданному закону распределения.
1.1 1.2
X -3 0 1 3 p 0,1 0,2 0,4 0,3 1.3 1.4
X 1 3
4 7 p 0,1 0,5 0,2 0,2

18
Непрерывные случайные величины
Функция распределения и плотность вероятности
Закон распределения, рассмотренный выше (в виде таблицы ), пригоден только для дискретных случайных величин. Для характеристики непрерывных случайных величин вводят функцию распределения F(x) = P (X < x), называемую также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X
(x-произвольное действительное число).
9)Из всей выпускаемой фирмой продукции 95% составляют стандартные изделия.
Наугад отобраны 6 изделий Пусть «х» - число стандартных деталей среди этих отобранных.
Найдите D(x).
10)Автомобиль на пути встретит 4 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа светофоров до первой остановки.

19
Заметим, что функция распределения имеет смысл и для дискретных случайных величин и может быть записана в виде: F(x) =
∑
≤х
х
к
к p
Свойства функции распределения:
1. F(x) – величина безразмерная и 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(x) – неубывающая функция, т.е., если x
1
>x
2
то F(x
1
) ≥ F(x
2
)
3. Р( a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
5.
,
1
)
(
lim
+∞
→
=
x
x
F
,
0
)
(
lim
−∞
→
=
x
x
F
График функции распределения показан на рис2.
Для непрерывных случайных величин нередко вместо функции F(x) бывает удобнее использовать функцию f(x), определяемую равенством f(x) = F’(x) и называемую плотностью вероятности или дифференциальным законом непрерывной случайной величины Х. График плотности показан на рис1.
Свойства плотности вероятности
1. f(x) ≥ 0,
2.
∫
+∞
∞
−
=1
)
( dx
x
f
, если же возможные значения случайной величины принадлежат отрезку
[ ]
b
a,
,
т.е. ƒ(x) при a ≤ x ≤ b f(x)= 0 при x < a и x > b то
∫
=
b
a
dx
x
f
1
)
(
3. Р( a ≤ x ≤ b) =
∫
b
a
dx
x
f
)
(
;
4. F (x) =
∫
∞
−
x
dx
x
f
)
(
.
рис1. рис2.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку
[ ]
b
a,
, определяется формулой
M(X) =
∫
=
b
a
dx
x
xf
1
)
(
,
где f(x) - плотность вероятности случайной величины X.
Если возможные случайные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то M (X) =
∫
+∞
∞
−
=1
)
( dx
x
xf
.
Аналогично дисперсии дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:
D (X) =
∫
−
b
a
dx
x
M
x
2
))
(
(
.
(*) Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то D(X) =
∫
+∞
∞
−
−
dx
x
M
x
2
))
(
(
(**)