Файл: Методические указания к практическим занятиями. Модуль Основы теории вероятностей.pdf

20
Практически вместо формул (*) и (**) бывает удобнее использовать соответственно формулы:
D (X) =
∫
−
b
a
x
M
dx
x
f
x
2 2
))
(
(
)
(
; D(X)
=
∫
+∞
∞
−
−
2 2
))
(
(
)
(
x
M
dx
x
f
x
Замечание
. Свойства M(X) и D(X) аналогичны соответствующим свойствам числовых характеристик дискретной случайной величины.
σ (X) =
)
(X
D
- среднее квадратическое отклонение случайной величины (стандарт).
Задачи.
Случайная величина Х задана функцией распределения F(x).
Найти: а) функцию плотности распределения f(x); б) математическое ожидание M(X); в) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение
σ(X); г) построить графики функций F(x) и f(x).
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
=
1
,
1 1
0
,
0
,
0
)
(
1 5
2
x
x
x
x
x
F
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
<
≤
=
2
,
1 2
0
,
4 0
,
0
)
(
2 5
2
x
x
x
x
x
F
Равномерное распределение
Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения непрерывной случайной величины, плотность вероятности сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала она равна нулю.
Для равномерно распределенной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку
[ ]
b
a,
(см. рис3.), плотность вероятности имеет вид:
f (x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
<
−
≤
b
x
при
b
x
a
при
a
b
a
x
при
0
,
1
,
0

21
Функция распределения F(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤
<
−
−
≤
b
x
при
b
x
a
при
a
b
a
x
a
x
при
1
,
,
0
см рис.4
Числовые характеристики M(X) =
2
b
a
+
, D(X) =
12
)
(
2
a
b
−
; σ (X) =
3 2
a
b
−
.
рис.3 рис.4
Задачи
Для случайной величины X, распределенной равномерно на отрезке [a,b], написать
Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид:
ƒ(x) =
2 2
2
)
(
2 1
σ
π
σ
a
x
e
−
−
,
где a є R,
σ > 0 -
параметры распределения.
График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса рис.5. рис.5
Она обладает следующими свойствами:
1. кривая симметрична относительно прямой
x = a
;
2) функция имеет максимум
ƒ(a) =
π
σ
2 1
;
3) при
x
→ ± ∞
кривая приближается к оси
Ox
;
4) кривая ориентирована вогнутостью вниз при x є (a -
σ
, a +
σ
) и вогнутостью вверх при x
+∞
+
∪
−
−∞
∈
,
(
)
,
(
σ
σ
a
a
), а – это математическое ожидание нормальной случайной величины,
σ
- ее среднее квадратическое отклонение функцию распределения F(x), плотность вероятности f(x). Найти математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение
σ(X), если задан отрезок:
6.1.1 [1,5];
6.1.2 [2,6];

22
Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал (α,β) определяется по формуле:
P(α < X < β) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
σ
α
σ
β
a
Ф
a
Ф
, где Ф(х) – функция Лапласа.
Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания, определяется формулой:
P(
a
X
−
<
δ) = 2 Φ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
δ
.
Из этой формулы получаем P(
a
X
−
<
3δ) = 2 Φ(3) = 0,9973,
откуда следует правило трех сигм для нормального распределения: практически достоверно, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.(Слова
«практически достоверно означают, что лишь в 0, 27% случаев отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания может превзойти 3
σ
)
Нормально распределенные случайные величины широко встречаются в природе, на практике. Выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым была доказана центральная предельная теорема теории вероятностей, из которой вытекает следующее следствие: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то эта случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.
2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 10, а дисперсия 4. Найти вероятность того, что в результате испытания эта случайная величина примет значение из интервала [12; 14].
3.Производится измерение диаметра вала без системных ошибок. Случайные ошибки
ξ подчинены нормальному закону с D(
ξ) = 100мм. Найти Р(⏐ξ⏐ < 15).
4.15% продукции фирмы представляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%
±2%?
Задачи

23
Показательное распределение
Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если функция ее плотности вероятности имеет вид:
⎩
⎨
⎧
−
>
≥
<
=
−
параметр
некоторый
где
x
если
e
x
если
x
f
x
0
,
0
,
,
0
,
0
)
(
λ
λ
λ
График функции y = f(x) имеет вид рис.6:
Функция распределения показательной случайной величины Х имеет вид:
F(x) =
⎩
⎨
⎧
≥
−
<
−
0
,
1
,
0
,
0
x
при
e
приx
x
λ
рис7.
Для показательной случайной величины Х:
λ
σ
λ
λ
1
)
(
,
1
)
(
,
1
)
(
2
=
=
=
X
X
D
X
M
Вероятность попадания в интервал [a;b]: P(a -λa
- e
-λb

24
рис.6 рис.7
Задачи
1.Случайная величина Х распределена по показательному закону плотностью вероятности
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
−
0
,
,
0
,
0
)
(
x
если
e
x
если
x
f
x
λ
λ
2. Время безотказной работы электронной схемы распределено по закону p(x) = 0,03e
-0,03x
, где х означает время в часах. Найти вероятность того, что микросхема проработает безотказно не меньше 100 часов.
3. 98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из строя после 3000 моточасов.
Какова вероятность того, что насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?
1.Написать плотность вероятности f(x), функцию распределения F(x). Найти математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) си среднее квадратическое отклонение
σ(х), если:
1.1
λ = 1; 1.2 λ = 2;