Файл: Лабораторная работа 2 по теме 2 парная нелинейная регрессия и корреляция 2 содержание.pdf

11
I. Степенная регрессия
ˆ
b
y
ax
=
1.Чтобы сформировать расчетную таблицу (последовательно выполняя пункты 1-3), необходимо использовать Мастер формул MS Excel (таблица 2).
В данном пункте достаточно заполнить столбцы y, x, lny, lnx (таблица 2).
Таблица 2
Подготовка данных для оценивания нелинейной степенной регрессии объема продаж в зависимости от цены
№ п/п
y
x
lny lnx
ˆy
e
2
e
2
(
)
y
y
−
2
ˆ
(
)
y
y
−
e
Abs
y
 
 
 
1 23 37 3,14 3,61 2
18 33 2,89 3,50 3
27 15 3,30 2,71 4
29 36 3,37 3,58 5
43 26 3,76 3,26 6
23 24 3,14 3,18 7
55 15 4,01 2,71 8
47 33 3,85 3,50 9
35 44 3,56 3,78 10 38 34 3,64 3,53 11 14 63 2,64 4,14 12 51 8
3,93 2,08 13 20 44 3,00 3,78 14 39 43 3,66 3,76 15 35 31 3,56 3,43
Сред- нее
33,13 32,4 2.Чтобы оценить коэффициенты a и b нелинейной исходной степенной регрессии ˆ
b
y
ax
=
, ее необходимо линеаризовать через логарифмирование: ln ln
y
A b
x
= +
, где
A
a
e
=
В инструменте
Регрессия
надстройки
Пакет анализа
MS Excel в поле
Входной интервал
y необходимо выбрать столбик lny, в поле
Входной интер-
вал
x необходимо выбрать столбик lnx. Далее, нажав на кнопку Ок, получаем результаты (рис 2).

12
Рис. 2. Вывод результатов оценивания промежуточной вспомогательной ре- грессии в Excel для степенной зависимости
Чтобы восстановить оценку свободного коэффициента a ниже вывода итогов необходимо взять экспоненту для A (4,853…) с помощью функции
EXP(…)в MS Excel.
3.Теперь можно продолжить заполнение расчетной таблицы (таблица 2) до конца. Чтобы заполнить столбец ˆy надо использовать исходную степенную регрессию ˆ
b
y
ax
=
и ссылки на нужные ячейки в Мастере формул MS Excel.
Например, для первого значения:
0,42
ˆ 128,24 37 27,83
y
−
…
=
…⋅
=
. В столбец e надо поместить остатки регрессии (
ˆ
e
y
y
= − ) (таблица 3).
Таблица 3
Подготовка данных для оценивания нелинейной степенной регрессии объема продаж в зависимости от цены
№ п/п
y
x
lny lnx
ˆy
e
2
e
2
(
)
y
y
−
2
ˆ
(
)
y
y
−
e
Abs
y
 
 
 
1 23 37 3,14 3,61 27,83
-4,83 23,36 102,68 28,09 0,21 2
18 33 2,89 3,50 29,21 -11,21 125,75 229,02 15,36 0,62 3
27 15 3,30 2,71 40,78 -13,78 189,93 37,62 58,50 0,51 4
29 36 3,37 3,58 28,16 0,84 0,71 17,08 24,75 0,03 5
43 26 3,76 3,26 32,31 10,69 114,18 97,35 0,67 0,25 6
23 24 3,14 3,18 33,43 -10,43 108,73 102,68 0,09 0,45 7
55 15 4,01 2,71 40,78 14,22 202,16 478,15 58,50 0,26 8
47 33 3,85 3,50 29,21 17,79 316,34 192,28 15,36 0,38 9
35 44 3,56 3,78 25,87 9,13 83,43 3,48 52,81 0,26 10 38 34 3,64 3,53 28,85 9,15 83,77 23,68 18,37 0,24 11 14 63 2,64 4,14 22,22
-8,22 67,60 366,08 119,06 0,59 12 51 8
3,93 2,08 53,21
-2,21 4,87 319,22 402,94 0,04 13 20 44 3,00 3,78 25,87
-5,87 34,41 172,48 52,81 0,29 14 39 43 3,66 3,76 26,12 12,88 165,92 34,42 49,20 0,33 15 35 31 3,56 3,43 30,00 5,00 25,03 3,48 9,84 0,14
Среднее 33,13 32,4
Сумма 1546,21 2179,73 906,35 4,61

13 4.Чтобы вычислить индекс детерминации, необходимо, используя ссылки на необходимые ячейки, применить формулу:
2 2
2 2
ˆ
(
)
1
(
)
906,35 1
0,29.
2179,73
y
y
R
y
y
R
−
= −
−
= −
=
∑
∑
Для определения индекса корреляции достаточно взять квадратный ко- рень из индекса детерминации:
0,29 0,54
R =
=
Вывод 1:
Степенная регрессия объема продаж по цене объясняет 29% его вариации вокруг своего среднего значения. Корреляция умеренная.
5.Чтобы вычислить средний коэффициент эластичности, необходимо, используя ссылки на необходимые ячейки, применить формулy:
1 1
1
(
)
b
b
b
b
b
x
x
a b x
Э
a x
a b x
b
y
a x
a x
−
−
−
⋅ ⋅
′
=
⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
, Э=b= – 0,42.
Вывод 2:
Средний коэффициент эластичности показывает, что увели- чение цены на 1% приводит к уменьшению объема продаж на 0,42%.
Чтобы вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации, необходимо, используя сумму по последнему столбцу расчетной таблицы и ссылки на необходимые ячейки, применить формулy:
1 100.
1 4,61 100 30,74%.
16
x
y
y
A
n
y
A
−
= ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
Вывод 3:
Допустимый интервал средней ошибки аппроксимации – от
4% до 7%. Для построенной парной нелинейной степенной регрессии сред- няя ошибка аппроксимации составила 30,74%, значит, качество подгонки мо- дели рекомендуется улучшать, возможно, путем использования других нели- нейных зависимостей.
II. Экспоненциальная регрессия
bx
y
ae
=
1. Для построения экспоненциальной и последующих нелинейных ре- грессий удобнее всего скопировать полностью заполненную результатами сте- пенной зависимости расчетную таблицу (таблица 2) и вставить ее ниже на этом же листе MS Excel в режиме вставки формул. Для этого после копирования в контекстном меню (по щелчку правой кнопки мыши) выбрать
Специальная
вставка – Вставка – Формулы
. Либо сразу в контекстном меню нажать на

14 значок f
x
. После вставки в расчетной таблице (в таблице 2) надо удалить рас- четные значения – содержимое столбца ˆy . Так мы получили «заготовку» но- вой расчетной таблицы для экспоненциальной зависимости.
2. Затем надо оценить коэффициенты a и b нелинейной исходной экс- поненциальной регрессии
bx
y
ae
=
, ее необходимо линеаризовать через лога- рифмирование: ln y A b x
= + ⋅ , где exp( )
a
A
=
. В инструменте
Регрессия
надстройки
Пакет анализа
MS Excel в поле
Входной интервал Y
необхо- димо выбрать столбик lny, в поле
Входной интервал X
необходимо выбрать столбик x. Далее, нажав на кнопку Ок, получаем результаты (рис 3).
Рис. 3. «Заготовка» новой расчетной таблицы после удаления столбца ˆy и вывод результатов оценивания промежуточной вспомогательной регрессии в
Excel для экспоненциальной зависимости
Чтобы восстановить оценку свободного коэффициента a ниже вывода итогов необходимо взять экспоненту для A (3,991…) с помощью функции
EXP(…) в MS Excel.
3. Теперь можно завершить заполнение расчетной таблицы для экспо- ненциальной зависимости. Чтобы заполнить столбец ˆy надо использовать ис- ходную экспоненциальную регрессию
bx
y
ae
=
и ссылки на нужные ячейки в
Мастере формул MS Excel. Например, для первого значения:
0,01 37
ˆ 54,12 28,45
y
e
−
…⋅
=
…⋅
=
После заполнения столбца ˆy , благодаря скопированным формулам, зна- чения в других столбцах расчетной таблицы меняются автоматически.

15
Таблица 4
Подготовка данных для оценивания нелинейной экспоненциальной регрес- сии объема продаж в зависимости от цены
№ п/п
y
x
lny lnx
ˆy
e
2
e
2
(
)
y
y
−
2
ˆ
(
)
y
y
−
e
Abs
y
 
 
 
1 23 37 3,14 3,61 28,45
-5,45 29,70 102,68 21,93 0,24 2
18 33 2,89 3,50 30,50 -12,50 156,21 229,02 6,94 0,69 3
27 15 3,30 2,71 41,70 -14,70 216,19 37,62 73,45 0,54 4
29 36 3,37 3,58 28,95 0,05 0,00 17,08 17,51 0,00 5
43 26 3,76 3,26 34,45 8,55 73,19 97,35 1,72 0,20 6
23 24 3,14 3,18 35,66 -12,66 160,37 102,68 6,40 0,55 7
55 15 4,01 2,71 41,70 13,30 176,80 478,15 73,45 0,24 8
47 33 3,85 3,50 30,50 16,50 272,30 192,28 6,94 0,35 9
35 44 3,56 3,78 25,19 9,81 96,23 3,48 63,09 0,28 10 38 34 3,64 3,53 29,97 8,03 64,43 23,68 9,99 0,21 11 14 63 2,64 4,14 18,10
-4,10 16,85 366,08 225,86 0,29 12 51 8
3,93 2,08 47,10 3,90 15,21 319,22 195,07 0,08 13 20 44 3,00 3,78 25,19
-5,19 26,94 172,48 63,09 0,26 14 39 43 3,66 3,76 25,63 13,37 178,70 34,42 56,27 0,34 15 35 31 3,56 3,43 31,58 3,42 11,71 3,48 2,42 0,10
Среднее 33,13 32,4
Сумма 1494,84 2179,73 824,14 4,38 4. Для вычисления индекса детерминации и индекса корреляции в экс- поненциальной и других зависимостях необходимо применять те же формулы, что и для степенной зависимости.
5. Для вычисления средней ошибки аппроксимации в экспоненциальной и других зависимостях необходимо применять те же формулы, что и для сте- пенной зависимости. Формулы для расчета среднего коэффициента эластич- ности указаны в таблице 5.
Таблица 5
Средний коэффициент эластичности для линейной и нелинейных зависимостей
Зависимость
Коэффициент эластичности
y
a
bx
ε
= +
+
bx
a bx
+
b
y
ax
ε
=
b
bx
y
ae
ε
=
b x
⋅
ln
y
a
b
x
ε
= +
+
ln
b
a
b
x
+
1
y
a bx
ε
=
+
+
b x
a b x
− ⋅
+ ⋅
b
y
a
x
ε
= + +
b
ax b
−
+

16
Аналогично степенной и экспоненциальной зависимостям самостоя- тельно предлагается составить расчетные таблицы и оценить коэффициенты a и b для парных полулогарифмической, обратной и гиперболической регрес- сий. Затем результаты надо обобщить в сводной таблице 6.
Таблица 6
Сводная таблица оценивания нелинейных регрессий объема продаж в зависи- мости от цены
Зависимость
Регрессия
R
2
R
А
Э
Степенная
0,42 128, 25
y
x
ε
−
=
0,29 0,53 30,74 -0,42
Экспоненциальная
0,02 54,12
x
y
e
ε
−
=
0,31 0,56 29,21 -0,56
Полулогарифмическая
79, 01 13, 61ln
y
x
ε
=
−
+
0,33 0,57 31,46 -0,43
Обратная
1 0, 0134 0, 0007
y
x
ε
=
+
+
0,25 0,50 29,10 -0,62
Гиперболическая
240, 28 23,52
y
x
ε
=
+
+
0,29 0,53 33,48 -0,24
Вывод:
Исходя из индекса детерминации и средней ошибки аппрокси- мации нельзя выбрать нелинейную регрессию с хорошим качеством подгонки.
Рекомендуется прежде всего увеличить выборку наблюдений.

17
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЩИТЕ
ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №2
1. Перечислите виды моделей, нелинейных относительно: а) включаемых переменных; б) оцениваемых параметров.
2. Какие преобразования используются для линеаризации нелинейных моделей?
3. Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам ре- грессионных моделей?
4. Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных со- отношениях рассматриваемых признаков.
5. Приведите примеры использования обратных и степенных моделей.
6. Какой смысл приобретает сумма коэффициентов регрессии в произ- водственных функциях и что означает, когда такая сумма коэффициентов ре- грессии больше единицы?

18
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Бородич С. А. Эконометрика: учебное пособие. – Мн.: Новое знание,
2006. – Гл. 7.
2.
Валентинов В. А. Эконометрика [Электронный ресурс]: Практикум /
В. А. Валентинов. – 3-е изд. – М.: Дашков и К, 2010. – 436 с.: Гл. 4. Режим доступа : http://znanium.com
3.
Уткин В. Б. Эконометрика [Электронный ресурс] : учебник / В. Б. Ут- кин; под ред. проф. В. Б. Уткина. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпо- рация «Дашков и К°», 2012. – 564 с. Гл. 9. – Режим доступа : http://znanium.com

19
ОБРАЗЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
КАЗАНСКИЙ ИННОВАЦИОННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. В.Г. ТИМИРЯСОВА (ИЭУП)
Кафедра высшей математики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №___
ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ
Тема: _______________________________________________
Вариант ___
Выполнил: студент группы №_____ факультета _____________________
Фамилия Имя Отчество зачетная книжка № ______________
Руководитель: проф. (доц.; ст. преп.; асс.) Фамилия И.О.
Город обучения – 20___ г.