ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 69
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
( лемниската);
121. р =
;
122. р = 2(1-
);
123. р = 5 + ;
124. р2 = 2 ;
125. р = 2, р2 = 8
(взять первую четверть вне круга);
126. р = 6
, 
(меньшая часть)
127. х2 + у2 – 4х = 0; у = х, у
(перейти к полярным координатам);
128. р
, р = 6 ;
129. р = 2 , р = 2(1-
) (вне круга);
130. х2 +у2 – 4у =0, у
(перейти к полярным координатам);
131. р = 4 (1+
, 
= 
(меньшая часть);
132. р = 8 , 
(и полярной осью)
133. р = 3(1- ), 
и полярной осью (верхняя часть)
134.
(петля)
4.3. Длина дуги кривой
Если плоская кривая задана уравнением у =
, то длина ее дуги от точки А с абсциссой а до точки В с абсциссой в (а<в) вычисляется по формуле
Если кривая задана уравнением х =
, то длину ее дуги можно вычислить по формуле.
где с и
- ординаты начальной и конечной точек кривой.
Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = (х-1)3 между точками А (2;-1) и В (5;-8).
Решение
Разрешаем данное уравнение относительно у и находим у' :
(знаки
в выражении указывают, что кривая симметрична относительно оси ох; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси ох).
Если кривая задана параметрическими уравнениями
то длина дуги определяется формулой
Пример 2. Найти длину дуги одной арки циклоиды
х=
.
Решение
Из уравнения циклоиды находим:
Когда х пробегает отрезок (0;2
), параметр 
пробегает отрезок (0;2
).
Следовательно,
= 8а
Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат р=р(
) (
), вычисляется по формуле 
Пример. Найти длину дуги кривой
Решение
Из уравнения кривой находим производную:
и дифференциал ее дуги:
половина этой кривой (рис. 10), описывается концом полярного радиуса при изменении от 0 до 
рис. 10
Поэтому длина всей кривой
=
Найти длину дуги кривой:
Найти длину дуги.
* здесь удобно принять у за независимую переменную
121. р =
; 122. р = 2(1-
); 123. р = 5 +
; 124. р2 = 2
; 125. р = 2, р2 = 8
(взять первую четверть вне круга); 126. р = 6
, (меньшая часть)127. х2 + у2 – 4х = 0; у = х, у
(перейти к полярным координатам); 128. р
, р = 6 ; 129. р = 2 , р = 2(1-
) (вне круга); 130. х2 +у2 – 4у =0, у
(перейти к полярным координатам); 131. р = 4 (1+
, = (меньшая часть); 132. р = 8
, (и полярной осью) 133. р = 3(1-
), и полярной осью (верхняя часть) 134.
(петля) -
осями координат и прямой х = 1; -
-
осью ох и прямой, проходящей через высшую точку циклоиды параллельно оси оу
-
и осями координат
-
прямой у =1 и осью оу (выше прямой)
-
(петля) ;
-
прямой х= 2 и осью ох (меньшая часть);
-
и осями координат;
-
(астроида);
-
(петля);
4.3. Длина дуги кривой
Если плоская кривая задана уравнением у =
, то длина ее дуги от точки А с абсциссой а до точки В с абсциссой в (а<в) вычисляется по формуле Если кривая задана уравнением х =
, то длину ее дуги можно вычислить по формуле. где с и
- ординаты начальной и конечной точек кривой. Пример 1. Вычислить длину дуги полукубической параболы у2 = (х-1)3 между точками А (2;-1) и В (5;-8).
Решение
Разрешаем данное уравнение относительно у и находим у' :
(знаки
в выражении указывают, что кривая симметрична относительно оси ох; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси ох).
Если кривая задана параметрическими уравнениями
то длина дуги определяется формулой Пример 2. Найти длину дуги одной арки циклоиды
х=
. Решение
Из уравнения циклоиды находим:
Когда х пробегает отрезок (0;2 ), параметр пробегает отрезок (0;2 ). Следовательно,
= 8а Длина дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат р=р(
) ( ), вычисляется по формуле Пример. Найти длину дуги кривой
Решение
Из уравнения кривой находим производную:
и дифференциал ее дуги: половина этой кривой (рис. 10), описывается концом полярного радиуса при изменении
от 0 до рис. 10
Поэтому длина всей кривой
=
РАЗДЕЛ А
Найти длину дуги кривой:
-
у =
-
у =
от х = 0 до х = 
-
у =
от 0 (0;0) до А (
-
-
-
от А (0;0) до В (0;3П) -
р = 4 φ (двух первых витков) -
р = 3еφ , х = 0 до х =
-
р = 3 е φ , 0 ≤ φ ≤ 2ℓn3 -
астроиды х =
-
РАЗДЕЛ Б
Найти длину дуги.
-
, отсеченной прямой 
-
у2 = (х+2)3, отсеченной осью оу -
у2 = 2(х-4), отсеченной прямой х = 3у *
* здесь удобно принять у за независимую переменную
-
, отсеченной осью ох -
у2 = 4х между прямыми у = х и у =
-
между точками (1;0) и (
) -
2у3 = х2 между точками О (0;0)и В (8
; 4)* -
-
(0
-
-
(
-
(0
-
(петля) -
(
-
( -
-
-
-
найти периметр фигуры, ограниченной кривыми у3 = х2 и