Файл: Формула НьютонаЛейбница.doc

4.2. Площадь плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у = (ч) ( , прямыми х = а, х=в и осью ох вычисляется по формуле рис. 1

Если на отрезке (а;в), то рис. 2

рис. 1 рис. 2
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций

у = для а ;

у = для с , осью ох и прямыми х=а, х=в (рис.3) может быть вычислена как сумма площадей соответствующих трапеций:



Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций у= и у и прямыми х =а, х=в (рис. 4) определяется как разность площадей соответствующих трапеций.



Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции х= осью оу и прямыми у = с, у = (рис. 5) можно вычислить по формуле:
Рис. 3 рис. 4
Рис. 5
Пример 1. Вычислить площадь трапеции

---

, ограниченной параболами:

у= 4-х² и у = х² – 2х

Решение

Определить точки пересечения парабол А(-1;3) и В(2;0) и построить эти точки и параболы (рис. 6), видим, что искомую площадь можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций



= 8-

= -

=

Следовательно, = 9+

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(t), у = у(t), прямыми х = а, х = в и осью ох, то ее площадь вычисляется по формуле где пределы интегрирования находятся из уравнений а=х( на отрезке (
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью ох (рис. 7)

Решение

,

= 2

В полярных координатах площадь криволинейного сектора ОАВ (рис. 8), ограниченного кривой и лучами

---

, вычисляется по формуле:



Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную координатой

Решение

Кардиоида асимметрична относительно полярной оси (рис. 9). Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от о до П.
Рис. 9
Поэтому согласно имеющейся формуле



=

РАЗДЕЛ А

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

71. у = 16 – х2, у = 0	72. у = х2, у = 4
73. у= х2, у = √х	74. у = ℓnх, у = 0, х = е
75. у = х3 , х+1 = 1, х=0	76. у = √х, у = 1/х, х=9
77. у = 2-х2 , у = х2	78. у = 4х – х2, у = 0
79. у = ех, у = 1 –х, у=0, х=-3	80. ху=1, у = х2, у=4
81. у2 = 4х, х2 = 4у	82. у = , х =0, у=0
83. у = х2 +2х , у = х+2	84. у = е2х, у= ех, х=е
85. у= , у = -√х, х=4	86. у = , у=х, х=2
87. у = е2, у = е-х, у =е	88. у = х2, у =
89. у = , у=0, (0	90. у2 = 2х+1, х-у-1 =0

---

---

РАЗДЕЛ Б

Найти площади фигур, ограниченных линиями:
91. у = у = и осью оу;

92. х² – 9у = 0 , х – 3у +6 = 0;

93. 2х +у = 4, у = 2х²;

94. у= х², у= 3-2х;

95. 4у = х², х ² + 2 у – 6 = 0

96. у² + 8х = 16, у ² – 24 х = 48;

97. х = 4- у² , х = у² – 2у;

98. у = 4 – х² , у = х² – 2х;

99. х = (у-2)³ , х = 4у – 8;

100. у = х² - 1, у = х – 1;

101. х = - 2у², х = 1 – 3у²;

102. у = , у = , х = 16;

103. у = 2х, х = 2у, ху = 2 (х<0, у >0)

104. у = - , у = -1, х = 4;

105. у = (х-2)³, у = 4х – 8;

106. у = , у = 0, х = 0, х =1;

107. у = х+1, у = , х = 0, х =

108. х = 4 – (у-1)², х = у² – 4у+ 3;

109. у = 2- х², у² = х³, у=0, (у 0);

110. у = │ℓnх │у = 1;

111. у = - , у = - , х = 4, у = 0;

112. у = х³, у= - , х = 4;

113. х² + у² = 4, х² – 2у² = 1 (одну из частей круга)

114. х² + у² = 8, у² = 2х (одну из частей круга)

115. х² + у² = 4х, у² = 2х;

116. р = 3(1+ ),

117. р = 4 ;

118. р = 2 ( , (0 ;

119. р = 3

120. р² =

---