Файл: Формула НьютонаЛейбница.doc

4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1. Вычисление определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция у = ƒ (х) непрерывна на отрезке (а;в). Разобьем этот отрезок произвольным образом на n частичных отрезков длиною Δ х₁ , Δ х₂ ….. Δ х_n ; выберем в каждом отрезке по одной произвольной точке ξ 1, ξ 2 …..ξn ; вычисление значения функции у = ƒ (х) в выбранных точках и составили сумму в выбранных точках и составили сумму:

ƒ (ξ ₁) Δ х₁ + ƒ (ξ ₂) Δ х₂ + ƒ (ξ _n) Δ х_n =

Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ (х) на отрезке (а;в).

По-разному деля отрезок (а;в) на n частичных сумм и по-разному выбирая в них по одной точке ξί, получаем различные интегральные суммы. При неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных отрезков существует общий предел интегральных сумм. Этот общий предел всех интегральных сумм функции ƒ (х) на отрезке (а;в) называется определенным интегралом от ƒ (х) в пределах от а до в и обозначается

Простейшие свойства определенного интеграла:

1. 
   При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
   

= -

2. 
   Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: = 0
   
3. 
   Каковы бы ни были числа а,в,с имеет место равенство:
   

= +

4. 
   Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
   

+ φ (х)) dх = +

5. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
   

---

= с

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница:

= │ = F (x) │ = F(b) – F(a), т.е. определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример 1 Вычислить интеграл:



Если функции и = и(х) и V = V(х) непрерывны вместе со своими производными на отрезке (а;в), то имеет место формула интегрирования по частям:

│-

Пример 2. Вычислить интеграл



Решение

Полагая и = х, dv = , получили du = dx, v =

= (-x ctg x) │ - ││ = -

Если функция f (х) непрерывна на отрезке (а;в), а функция х = φ(t) непрерывна и дифференцируема на отрезке (α; β). Причем φ(α) = а, φ(β) = в, то справедлива формула

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле. Кроме подстановки х = φ(t) применяют также обратную подстановку t= φ(х).

Пример 3. Вычислить интеграл:

---

Решение

Полагая х = 2 sin t, получим: dx = 2 cost dt,

t₁ = при х ₁ = 1;

t₂ = при х ₂ = ;

│ = -2 ( .

РАЗДЕЛ А.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19	20.

---

---

РАЗДЕЛ Б

21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.
61.	62.
63.	64.
65.	66.
67.	68.
69.	70.

---