ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 49
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство транспорта РФ
Филиал Новороссийской государственной
морской академии
в г. Ростове-на-Дону
Теория вероятностей
Типовое расчётное задание
Ростов-на-Дону
2001 г.
Составитель Л.В. Сахарова
УДК 517
С 221
Теория вероятностей. Типовое расчётное задание. Ростов-на-Дону: Типография ООО "ВУД", 2001. - 25 с.
Пособие содержит 180 задач по теории вероятностей, сгруппированных в 6 заданий по 30 вариантов соответственно основным темам курса, включая элементы статистики. Предназначено для составления вариантов типовых расчётных заданий. Может быть использовано для организации самостоятельной аудиторной и индивидуализированной домашней работы курсантов.
Печатается по решению общенаучной кафедры филиала НГМА в г. Ростове-на-Дону
Рецензент: начальник общенаучной кафедры филиала НГМА,
доцент, к.ф.-м.н. Н.Ю.Сафонцева
Типография ООО "ВУД", 2001
Задание №1. Непосредственный подсчёт вероятностей. Правила сложения и умножения вероятностей
1) Имеется 5 билетов стоимостью по 1 рублю, 3 билета – по 3 рубля и 2 – по 5 рублей. Наугад берутся 3 билета. Определить вероятность того, что а) хотя бы 2 из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все 3 билета стоят 7 рублей.
2) Человек, принадлежащий к определённой группе населения, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 – шатеном, с вероятностью 0,4 – блондином и с вероятностью 0,1 – рыжим. Выбирается наугад группа из 6 человек. Найти вероятность того, что в составе группы а) не менее 4 блондинов; б) хотя бы 1 рыжий.
3) В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Два игрока поочерёдно вынимают из урны по шару, не кладя их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
4) В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
5) В урне 5 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.
6) Два стрелка независимо один от другого делают по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,6, для второго 0,7. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок.
7) На девяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например, 07, 14 и т.п. Найти вероятность того, что число будет чётным.
8) Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 4 билетов а) два выигрышных, б) хотя бы один выигрышный.
9) Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k < 2n. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос своего билета и один (по выбору преподавателя) дополнительный вопрос из другого билета.
10) Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено а) 4 выстрела; б) не более трёх выстрелов.
11) Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:
А – в каждой из пачек окажется по 2 туза;
В – в одной пачке не будет ни одного туза, а в другой – все 4;
С – в одной из пачек будет один туз, а в другой – 3.
12) В первом ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5; во втором – с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров будет а) не меньше 7; б) больше 12.
13) Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятность того, что а) произведение выпавших очков чётное; б) сумма выпавших очков не превосходит 5.
14) По железнодорожному мосту независимо один от другого производят серийное бомбометание 3 самолёта. Каждый самолёт сбрасывает серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолёта 0,3, для второго – 0,4, для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что мост будет разрушен.
15) Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
А – сумма выпавших очков равна 5;
В – сумма выпавших очков меньше, чем их произведение.
16) Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,54. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле для первого из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,3.
17) Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,6, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить а) вероятность попадания в мишень хотя бы один раз; б) вероятность попасть в мишень один раз и два раза промахнуться.
18) На 7 карточках написано по одной букве: Л, О, К, А, Т, О, Р. Наугад извлекаются 4 карточки одна за другой. Найти вероятность того, что в порядке поступления первых четырёх букв образуется слово "РОТА", если а) выбранные карточки не возвращаются; б) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед каждым следующим извлечением.
19) В большой партии изделий доля дефектных изделий составляет 20%. Каков объём случайной выборки, в которую с вероятностью не меньшей 0,96 попадёт хотя бы одно дефектное изделие.
20) На плоскость, разграфлённую параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечёт ни одной из прямых.
21) На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 см и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.
22) В области, ограниченной эллипсом
, разбросаны пять кружков радиуса 0,1. Известно, что кружки не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадёт ни в один из кружков.23) Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что их произведение будет не больше единицы, а частное
не больше 2.24) Внутрь круга радиусом 2 см наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг а) квадрата; б) правильного треугольника.
25) Два лица имеют одинаковую вероятность придти к указанному месту в любой момент между 5 и 6 часами. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше 15 минут.
26) На отрезке ОА длиной 10 см числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причём у х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше длины отрезка ОВ.
27) В круге радиусом R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не больше R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению.
28) На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу монета диаметром 2r < а. Найти вероятность того, что а) монета попадёт целиком внутрь одного квадрата; б) монета пересечёт не более одной стороны квадрата.
29) Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – 1 час, а второго – 2 часа.
30) Игрок А поочерёдно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,3 и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранным с любым из игроков. Определить вероятность выигрыша игроков В и С.
Задание №2. Формула полной вероятности
1) Группа студентов состоит из "а" отличников, "b" хорошо успевающих и "с" занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
2) В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1 и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.
3) В группе из 20 курсантов, пришедших на экзамен, 5 подготовленных отлично, 8 подготовленных хорошо, 4 подготовленных удовлетворительно и 3 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 25 вопросов. Отлично подготовленный курсант может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 20 вопросов, удовлетворительно – на 14, плохо – на 10 вопросов. Найти вероятность того, что вызванный наугад курсант ответит на три произвольно заданных вопроса.
4) Сборщик получил три коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом №1 и пять коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлёк деталь. Найти вероятность того, что извлечённая деталь стандартна.
5) В пирамиде 8 винтовок, 5 из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.
6) Для контроля продукции из трёх партий деталей взята наудачу для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей бракованные, во второй – 1/8 деталей бракованные, в третьей – все доброкачественные.
7) Имеются две стопки тетрадей; в первой стопке 10 тетрадей в линию и 5 в клетку, во второй стопке 12 тетрадей в линию и 3 в клетку. Из первой стопки во вторую переложили наугад одну тетрадь, после чего взяли из второй стопки наугад тетрадь. Какова вероятность того, что взята тетрадь в клетку?
8) Сборщик получил 3 ящика деталей: в I ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных, во II ящике – 50 деталей, из них 40 окрашенных, в III ящике 30 деталей, из которых 25 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.
9*) В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
10*) Из ящика, содержащего 5 белых и 3 чёрных шара, наугад переложено 2 шара в ящик, содержащий 2 белых и 2 чёрных шара, после чего из второго ящика извлекается наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар чёрный.
11) Из 15 стрелков 4 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 6 – с вероятностью 0,7, 3 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал.
12) Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате – 0,08, на втором – 0,04. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна.