Файл: Понятие многогранника, правильного многогранника. Призма, параллелепипед, куб. Симметрии и сечения фигур.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 128
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема: «Понятие многогранника, правильного многогранника. Призма, параллелепипед, куб. Симметрии и сечения фигур».План:
Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.Поверхность, состоящую из многоугольников, и ограничивающую некоторое геометрическое тело называют многогранной поверхностью или многогранником. На рисунке 1 изображены примеры многогранников:Тетраэдр Параллелепипед ОктаэдрМногоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники, гранями параллелепипеда – параллелограммы. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр – выпуклые многогранники. На рисунке 2 – невыпуклый многогранник.Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками! В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360.Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер.Примером правильного многоугольника является куб. Все его грани – равные квадраты, и в каждой вершине сходятся 3 ребра.Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Так же равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.Не существует правильного многогранника, гранями которого является правильные 6 –ти угольники, 7-угольники и вообще n-угольники при n 6.Поэтому каждая вершина правильного многоугольника может быть вершиной либо 3х, 4х или 5ти равносторонних треугольников, либо 3х правильных 5 – угольников. Других возможностей нет.Симметрия в пространствеВ планиметрии рассматриваются фигуры, симметричные относительно точки и прямой, а в стереометрии – относительно точки, прямой и плоскости.
Точка (прямая, плоскость)называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии). Например, параллелепипед, куб.Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является её центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является её осью (плоскостью) симметрии.Существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, тетраэдр.- 2 –Параллелепипед.Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1 параллельны (рисунок 3). Четырехугольники АВВ1А1, ВСС1В, СDD1C, DАА1D1 также являются параллелограммами, т.к. каждую из них имеющую попарно параллельные противоположные стороны.D1 C1A1 B1D CA BРИС. 3Поверхность, состоящая из 2х равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и 4хпараллелограммов АВВ1А1, ВСС1В, СDD1C, DАА1D1 называется параллелепипедом и обозначается АВСDА1В1С1D1Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называется гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными.Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются
противоположными.Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет 4 диагонали (АС1, ВD1, CA1 и DВ1).Любые две противоположные грани – основания, а остальные грани – боковые грани параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.Свойства параллелепипеда:1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.(Доказать самостоятельно).Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Например, ящики, комнаты и т.д.Свойства прямоугольного параллелепипеда:1. В прямоугольном параллелепипеде все 6 граней – прямоугольникиПолуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Длины 3хребер, имеющих общую вершину, называется измерениями прямоугольного параллелепипеда.Для измерения комнаты используется «длина», «ширина», «высота», а это и есть измерения.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника, и поэтому квадрат диагонали прямоугольника = сумме квадратов 2х его измерений. Аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда = сумме квадратов 3х его измерений.Следствие.Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Т.к. параллелепипед имеет 6 граней, то его сечениями могут быть:Треугольники и четырехугольники (рис.а), Пятиугольники (рис.б),шестиугольники(рис.в).На рисунке показаны центр, ось и плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда:КубПрямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны, называется кубом.Все грани куба – равные друг другу квадраты.
Куб состоит из 6 квадратов, в каждой вершине сходятся 3 квадрата, сумма плоских углов равна 270.Симметрия в кубе:Плоскости симметрии: 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; 6 плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.Призма.Рассмотрим 2 равных многоугольника А1А2 … Аnи В1В2 … Вn, расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки А1В1, А2В2, … , АnВn соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. (рисунок 4). Каждый из n 4х угольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn является параллелограммом, т.к имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в 4х угольнике А1А2В2В1 стороны А1В1 и В1В2 параллельны по условию, а стороны А1А2 и В1В2 по свойству параллельных плоскостей, пересеченных 3ейплоскостью. BnB1 СβB2AnA1НαA2РИС. 4. Многогранник, составленный из 2хравных многоугольников А1А2 … Аn и В1В2 … Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn , называется призмой.Многоугольники А1А2 … Аn и В1В2 … Вn – основания, а параллелограммы А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn – боковые грани призмы. Отрезки А1В1, А2В2, … , АnВn– боковые ребра. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны.
-
Понятие многогранника, правильного многогранника. -
Многогранники: параллелепипед, призма, куб. Симметрии и сечения фигур. -
Формулы площадей и объемов многогранников.
-
1
Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.Поверхность, состоящую из многоугольников, и ограничивающую некоторое геометрическое тело называют многогранной поверхностью или многогранником. На рисунке 1 изображены примеры многогранников:Тетраэдр Параллелепипед ОктаэдрМногоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники, гранями параллелепипеда – параллелограммы. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр – выпуклые многогранники. На рисунке 2 – невыпуклый многогранник.Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками! В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360.Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер.Примером правильного многоугольника является куб. Все его грани – равные квадраты, и в каждой вершине сходятся 3 ребра.Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Так же равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.Не существует правильного многогранника, гранями которого является правильные 6 –ти угольники, 7-угольники и вообще n-угольники при n 6.Поэтому каждая вершина правильного многоугольника может быть вершиной либо 3х, 4х или 5ти равносторонних треугольников, либо 3х правильных 5 – угольников. Других возможностей нет.Симметрия в пространствеВ планиметрии рассматриваются фигуры, симметричные относительно точки и прямой, а в стереометрии – относительно точки, прямой и плоскости.
Точка (прямая, плоскость)называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии). Например, параллелепипед, куб.Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является её центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является её осью (плоскостью) симметрии.Существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, тетраэдр.- 2 –Параллелепипед.Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1 параллельны (рисунок 3). Четырехугольники АВВ1А1, ВСС1В, СDD1C, DАА1D1 также являются параллелограммами, т.к. каждую из них имеющую попарно параллельные противоположные стороны.D1 C1A1 B1D CA BРИС. 3Поверхность, состоящая из 2х равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и 4хпараллелограммов АВВ1А1, ВСС1В, СDD1C, DАА1D1 называется параллелепипедом и обозначается АВСDА1В1С1D1Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называется гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными.Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются
противоположными.Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет 4 диагонали (АС1, ВD1, CA1 и DВ1).Любые две противоположные грани – основания, а остальные грани – боковые грани параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.Свойства параллелепипеда:1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.(Доказать самостоятельно).Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Например, ящики, комнаты и т.д.Свойства прямоугольного параллелепипеда:1. В прямоугольном параллелепипеде все 6 граней – прямоугольникиПолуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Длины 3хребер, имеющих общую вершину, называется измерениями прямоугольного параллелепипеда.Для измерения комнаты используется «длина», «ширина», «высота», а это и есть измерения.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника, и поэтому квадрат диагонали прямоугольника = сумме квадратов 2х его измерений. Аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда = сумме квадратов 3х его измерений.Следствие.Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Т.к. параллелепипед имеет 6 граней, то его сечениями могут быть:Треугольники и четырехугольники (рис.а), Пятиугольники (рис.б),шестиугольники(рис.в).На рисунке показаны центр, ось и плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда:КубПрямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны, называется кубом.Все грани куба – равные друг другу квадраты.
Куб состоит из 6 квадратов, в каждой вершине сходятся 3 квадрата, сумма плоских углов равна 270.Симметрия в кубе:Плоскости симметрии: 3 плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; 6 плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.Призма.Рассмотрим 2 равных многоугольника А1А2 … Аnи В1В2 … Вn, расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки А1В1, А2В2, … , АnВn соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. (рисунок 4). Каждый из n 4х угольников А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn является параллелограммом, т.к имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в 4х угольнике А1А2В2В1 стороны А1В1 и В1В2 параллельны по условию, а стороны А1А2 и В1В2 по свойству параллельных плоскостей, пересеченных 3ейплоскостью. BnB1 СβB2AnA1НαA2РИС. 4. Многогранник, составленный из 2хравных многоугольников А1А2 … Аn и В1В2 … Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn , называется призмой.Многоугольники А1А2 … Аn и В1В2 … Вn – основания, а параллелограммы А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn – боковые грани призмы. Отрезки А1В1, А2В2, … , АnВn– боковые ребра. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2, … , АnА1В1Вn, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны.