Файл: Ытималдытар теориясы жне математикалы статистика i тарау. Кездейсо оиалар негізгі тсініктер. Оиаларды трлері.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.12.2023
Просмотров: 752
Скачиваний: 9
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
жолы бар екенiн көремiз.
Ендi алмастырулардың, орналастырулардың және терулердiң сандарын есептеудiң формулаларының арасында мынадай
байланыс бар екенiн көрсетелiк.
Расында,
Комбинаторикалық есептердi шығарғанда мына екi ереже жиi қолданылады:
Қосу ережесi.
Егер а және b элементтерiн сәйкес m және n жолдармен алуға болатын болса, онда олардың кез келген бiреуiн m+n жолмен алуға болады.
Көбейту ережесi.
Егер бiрiншi топта m әртүрлi элемент, ал екiншi топта n элемент бар болса, онда осы екi топтан алынып құрылған қосақтар саны m*n арқылы анықталады.
Расында бiрiншi топтың бiр элементi екiншi топтың әрбiр элементiмен қосақталынады және керiсiнше, сондықтан қосақтардың жалпы саны mn көбейтiндiсiмен анықталады.
10-мысал. Волейболдан жаттығуға 5 қыз және 7 бала қатысты. Құрамында 3 қыз, 3 бала болатын аралас команданы неше жолмен құруға болады?
Шешуi: Жаттығуға қатысқан 5 қыздан 3 қыз
жолмен, ал 7 баладан 3 бала 
жолмен алынады. Ендi 3 қыз, 3 баладан тұратын құрама команданы құрастыру саны көбейту ережесi бойынша табылады
яғни, құрама команданы 350 жолмен құруға болады екен.
Бұл жерде n! (n факториaл) мына түрде есептелiнедi n!=123...(n-1)n және 0!=1 деп қабылданады.
11-мысал . а) Әрбiр Ө, Н, Ж, Е, Д, У әрiптерi бөлек қарталарға жазылған. Содан кейiн карталар араластырылып кез-келген ретпен бiр қатарға орналастырылған. Сонда "ЖӨНДЕУ" сөзiнiң пайда болуының ықтималдығы қандай?
б) Әрқайсысында бiр әрiп жазылған карталардан "БАРЛЫҚ" сөзi құрылған. Карталарды араластырып, содан кейiн бiр-бiрлеп алған ретiмен сөз құрастырылады. Сонда "ЛАҚ" сөзiнiң пайда болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: а) Берiлген алты карталардың бiр қатарға әртүрлi орналасуларының бiр-бiрiнен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады. Сондықтан ондай
алмастырулардың жалпы саны (1.1.8) формуламен анықталады, яғни
n =P6=6!=720
Берiлген алты картаның әрбiр орналасу комбинацияларын оқиға ретiнде қарастырсақ, онда олар теңмүмкiндiкті, үйлесiмсiз оқиғалар болады, яғни осы сынақтың элементарлық оқиғалары болып табылады. Ал "ЖӨНДЕУ" сөзіне қолайлы элементарлық оқиғалар саны m=1.
Себебi карталар әртүрлi комбинациямен орналасқанда "ЖӨНДЕУ" сөзi бiр-ақ рет кезiгедi. Сонда P=1/ P6 =1/720.
б) Берiлген алты карталардан үш карта бойынша орналастырулар саны n=
. Ал үш әрiптен тұратын комбинациялардың бiзге керегi бiреу-ақ, яғни "ЛАҚ", олай болса m=1. Сөйтiп
Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелi оқиғаны белгiлi бiр әрiп арқылы белгiлеп алу қажет. Содан кейiн теңмүмкiндiкті, үйлесiмсiз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.
12-мысал. Кiтап сөресiнде кездейсоқ ретпен 5 томнан тұратын анықтама қойылған:
а) Кiтаптар бiрiншi томнан бесiншi томға дейiн дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек.
в) Ең болмағанда бiр томның реттi орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Сынақ ретiнде кiтап сөресiнде кiтаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кiтаптардың бұлай орналасуларының жалпы саны
n=P5=5!=120
1. А әрiпi арқылы кiтап сөресiнде кiтаптардың том нөмiрлерiнiң өсу ретiмен орналасуын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға бiреу-ақ. Сондықтан
P(A)=1/20;
2. В әрiпi арқылы, ең болмағанда бiр том реттi орнында болмауын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Мұндай оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебi кiтаптардың том нөмiрлерi бойынша дұрыс орналасу саны бiрге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен P(B)=119/120;
Осы жерде А және В оқиғаларының қарама-қарсы екенiн ескерсек, онда
екенiн пайдаланып 
табамыз, яғни бұрынғы жауапты алдық.
13-мысал . Қорапта бiрдей 5 бұйым бар. Оның үшеуi боялған. Қораптан кезкелген екi бұйым алынды.
1.Алынған екi бұйымның бiреуi боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
2.Алынған бұйымның екеуi де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: 1. Қорапта 5 бұйымның екеуiн барлығы
тәсiлмен алуға болады, ал алынған екi бұйымның бiреуi боялған болса, сол бiр боялған, бiр боялмаған бұйымдарды сәйкес 
тәсiлмен алуға болады. Сонда екi бұйымның бiрi боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны
,
2.Енді алдыңғы пункттегi шығару жолын пайдаланып:
Сонда
аламыз.
Ықтималдықтарды есептегенде сондай-ақ, қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулер де пайдаланылады.
Анықтама. Берiлген әртүрлi n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы орналастырулар деп белгiлi бiр ретпен жазылған m элементтен тұратын комбинацияларды айтады. Мұнда әрбiр элемент комбинацияға бiрнеше рет кiруi мүмкiн.
Қайталанбалы орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады
. (1.1.10)
14-мысал . 4 және 5 цифрларының көмегiмен әртүрлi үш таңбалы қанша сан жазуға болады?
Шешуi: Барлығы екi 4 және 5 цифрлары берiлгендiктен iздеп отырған комбинацияларды бiрден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты (1.1.10) формуласын пайдаланып та алуға болады.
Демек, барлығы 8 үш таңбалы сан жазуға болады.
Aйталық n элементтер берiлсiн. Осы элементтердi к топтарға бөлейiк. Әрбiр топтағы элементтер өзара бiрдей, ал әртүрлi топтардағы элементтер бiр-бiрiнен бөлек. Ендi әрбiр топтағы элементтер санын сәйкес m1, m2, ..., mк арқылы белгiлейiк, сонда m1+m2+...+mк=n орындалады.
Анықтама.
n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы алмастырулар деп n элементтен тұратын комбинацияларды айтады. Мұнда екi жағдай болуы мүмкiн:
1.Егер к=n болса, яғни барлық элементтер әртүрлi болса, онда (1.1.8) формуласы бойынша
Pn=n!
2.Егер к
(1.1.11)
15-мысал . Мына 5; 3; 1; 5; 5; 1 цифрлардың көмегiмен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.
Шешуi: Берiлген алты цифрды үш топқа бөлемiз: 1;1, 3;5, 5;5.
Есептiң шарты бойынша (1.1.11) формуланы пайдалануға болады. Сонда
Осыдан барлығы 60 алты таңбалы сан жазуға болатынын көреміз.
Анықтама: Берiлген n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы терулер деп бiр-бiрiнен құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады. Mұнда бiр элемент комбинацияға бiрнеше рет кiруi мүмкiн.
Қайталанбалы терулер саны мына формуламен анықталады:
(1.1.12)
16-мысал . Гүл дүкенiнде 3 түрлi гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдiспен букет жасауға болады?
Шешуi: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түстi гүлдердiң әрбiр түсiнен бiрнеше гүл кiруi мүмкiн. Олай болса (1.1.12) формуланы пайдаланып
Сонымен, 7 гүлден тұратын 36 букет жасауға болады.
Есептер
1. Үш тиын лақтырылып тәжiрибе жүргiзiлсiн. Сонда С1, С2 және С3 бiрiншi, екiншi және үшiншi тиындардың сәйкес сан жазылған жақтарының пайда болуын бiлдiретiн оқиғалар болсын. Ендi Сi(i=
) арқылы мына оқиғаларды өрнекте: А - бiр сан жазылған жақтың, екi елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы; В - бiр реттен артық елтаңба жазылған жақтардың пайда болмауы; С - үш елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы; D - үш сан жазылған жақтардың пайда болуы.
2. Мына оқиғаның ақиқат оқиға екенiн дәлелде:
3. Өрнектi ықшамда:
a)
б)
4. Төмендегi оқиғалар жиыны толық топтар бола ма?
а) Бір тиын лақтырылсын. А1 - тиынның сан жазылған жағы,
А2 - тиынның елтаңба жазылған жағы
б) Екi тиын лақтырылған.
В1={eкi елтаңба пайда болды}, B2= {екi сан пайда болды}.
в) Екi ойын кубы лақтырылған
C1={екi кубтада 6 цифры пайда болды},
C2={екi кубтада 6 цифры пайда болмады},
C3={бiр кубта 6 цифры болды, екiншi кубта 6 цифры болмады}
5. Бiр мезгiлде 5 ойын кубы лақтырылсын. Сонда бiр мезгiлде 2 алты, 2 бес және цифрлары жазылған жақтардың пайда болу ықтималдығы қандай?
Нұсқау:(1.1.11) формуланы пайдаланыңыз.
6. 32 картадан 10 карта алынды. Осы 10 картаның iшiнде 8 картаның бiр түстi болуының ықтималдығы қандай?
7. n бiрдей шар салынған урнадан бiр шар алынып қайта салынады. Тәжiрибе n рет қайталанғанда барлық шарлар түгел алынып шығуының ықтималдығы қандай?
Нұсқау:(1.1.10)формуланы пайдаланыңыз. 8.Жетi картаға 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 цифрлар жазылған. Карталар әбден араластырылғаннан кейiн кезкелген 4 карта алынады да олар солдан оңға қарай қойылды. Сонда 5463 саны шығатындығының ықтималдығы қандай?
9. 36 картаның кезкелген 3 картасы алынады. Сонда тұз, король, дама шығуларының ықтималдығы қандай?
10.Топтағы 15 студентке, оның сегiзi қыздар, театрға 8 билет берiлдi. Сонда театрға билет алған 8 студенттiң екеуi қыздар болуының ықтималдығы қандай?
11.Ойын сұйегiн лақтырғанда жұп сан шығуының ықтималдығы қандай?
12.Экспедициядағы 20 машинаның кезкелген 5 машинасы тексеруге алынды. Экспедицияда 2 машина iстен шыққан болатын.
1. Алынған 5 машинаның барлығы да жарамды болуының
ықтималдығы қандай?
2.Алынған 5 машинаның бiреуi iстен шыққан, ал төртеуiнiң
жарамды болуының ықтималдығы қандай?
15.Бiрiншi жәшiкте нөмiрлерi 1- ден 5 - ке дейiн, ал екiншiсiнде 6-дан 10-ға дейiн шарлар бар. Әрбiр жәшiктен бiр-бiрден шар алынды. Алынған екi шардың нөмiрлерiнiң қосындысы 11 болуының ықтималдығы қандай?
16.Студент 60 сұрақтың 50-iн бiледi. Әрбiр билет екi сұрақтан тұрады. Алған билеттегi екi сұрақты да бiлетiндiгiнiң ықтималдығы қандай?
17.Топтағы 30 оқушының бақылау жұмысында 6-ы "5", 10-ы, "4", ал 9-ы "3" деген бағалар алды. Тақтаға үш оқушы шақырылды. Шақырылған үш оқушының да "2" баға алғандығының ықтималдығы қандай?
Ендi алмастырулардың, орналастырулардың және терулердiң сандарын есептеудiң формулаларының арасында мынадай
байланыс бар екенiн көрсетелiк.
Расында,
Комбинаторикалық есептердi шығарғанда мына екi ереже жиi қолданылады:
Қосу ережесi.
Егер а және b элементтерiн сәйкес m және n жолдармен алуға болатын болса, онда олардың кез келген бiреуiн m+n жолмен алуға болады.
Көбейту ережесi.
Егер бiрiншi топта m әртүрлi элемент, ал екiншi топта n элемент бар болса, онда осы екi топтан алынып құрылған қосақтар саны m*n арқылы анықталады.
Расында бiрiншi топтың бiр элементi екiншi топтың әрбiр элементiмен қосақталынады және керiсiнше, сондықтан қосақтардың жалпы саны mn көбейтiндiсiмен анықталады.
10-мысал. Волейболдан жаттығуға 5 қыз және 7 бала қатысты. Құрамында 3 қыз, 3 бала болатын аралас команданы неше жолмен құруға болады?
Шешуi: Жаттығуға қатысқан 5 қыздан 3 қыз
жолмен, ал 7 баладан 3 бала жолмен алынады. Ендi 3 қыз, 3 баладан тұратын құрама команданы құрастыру саны көбейту ережесi бойынша табылады яғни, құрама команданы 350 жолмен құруға болады екен.
Бұл жерде n! (n факториaл) мына түрде есептелiнедi n!=123...(n-1)n және 0!=1 деп қабылданады.
11-мысал . а) Әрбiр Ө, Н, Ж, Е, Д, У әрiптерi бөлек қарталарға жазылған. Содан кейiн карталар араластырылып кез-келген ретпен бiр қатарға орналастырылған. Сонда "ЖӨНДЕУ" сөзiнiң пайда болуының ықтималдығы қандай?
б) Әрқайсысында бiр әрiп жазылған карталардан "БАРЛЫҚ" сөзi құрылған. Карталарды араластырып, содан кейiн бiр-бiрлеп алған ретiмен сөз құрастырылады. Сонда "ЛАҚ" сөзiнiң пайда болуының ықтималдығы қандай?
Шешуi: а) Берiлген алты карталардың бiр қатарға әртүрлi орналасуларының бiр-бiрiнен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады. Сондықтан ондай
алмастырулардың жалпы саны (1.1.8) формуламен анықталады, яғни
n =P6=6!=720
Берiлген алты картаның әрбiр орналасу комбинацияларын оқиға ретiнде қарастырсақ, онда олар теңмүмкiндiкті, үйлесiмсiз оқиғалар болады, яғни осы сынақтың элементарлық оқиғалары болып табылады. Ал "ЖӨНДЕУ" сөзіне қолайлы элементарлық оқиғалар саны m=1.
Себебi карталар әртүрлi комбинациямен орналасқанда "ЖӨНДЕУ" сөзi бiр-ақ рет кезiгедi. Сонда P=1/ P6 =1/720.
б) Берiлген алты карталардан үш карта бойынша орналастырулар саны n=
. Ал үш әрiптен тұратын комбинациялардың бiзге керегi бiреу-ақ, яғни "ЛАҚ", олай болса m=1. Сөйтiп Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелi оқиғаны белгiлi бiр әрiп арқылы белгiлеп алу қажет. Содан кейiн теңмүмкiндiкті, үйлесiмсiз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.
12-мысал. Кiтап сөресiнде кездейсоқ ретпен 5 томнан тұратын анықтама қойылған:
а) Кiтаптар бiрiншi томнан бесiншi томға дейiн дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек.
в) Ең болмағанда бiр томның реттi орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.
Шешуi: Сынақ ретiнде кiтап сөресiнде кiтаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кiтаптардың бұлай орналасуларының жалпы саны
n=P5=5!=120
1. А әрiпi арқылы кiтап сөресiнде кiтаптардың том нөмiрлерiнiң өсу ретiмен орналасуын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға бiреу-ақ. Сондықтан
P(A)=1/20;
2. В әрiпi арқылы, ең болмағанда бiр том реттi орнында болмауын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Мұндай оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебi кiтаптардың том нөмiрлерi бойынша дұрыс орналасу саны бiрге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен P(B)=119/120;
Осы жерде А және В оқиғаларының қарама-қарсы екенiн ескерсек, онда
екенiн пайдаланып табамыз, яғни бұрынғы жауапты алдық.13-мысал . Қорапта бiрдей 5 бұйым бар. Оның үшеуi боялған. Қораптан кезкелген екi бұйым алынды.
1.Алынған екi бұйымның бiреуi боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
2.Алынған бұйымның екеуi де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуi: 1. Қорапта 5 бұйымның екеуiн барлығы
тәсiлмен алуға болады, ал алынған екi бұйымның бiреуi боялған болса, сол бiр боялған, бiр боялмаған бұйымдарды сәйкес тәсiлмен алуға болады. Сонда екi бұйымның бiрi боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны , 2.Енді алдыңғы пункттегi шығару жолын пайдаланып:
Сонда
аламыз.Ықтималдықтарды есептегенде сондай-ақ, қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулер де пайдаланылады.
Анықтама. Берiлген әртүрлi n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы орналастырулар деп белгiлi бiр ретпен жазылған m элементтен тұратын комбинацияларды айтады. Мұнда әрбiр элемент комбинацияға бiрнеше рет кiруi мүмкiн.
Қайталанбалы орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады
. (1.1.10)14-мысал . 4 және 5 цифрларының көмегiмен әртүрлi үш таңбалы қанша сан жазуға болады?
Шешуi: Барлығы екi 4 және 5 цифрлары берiлгендiктен iздеп отырған комбинацияларды бiрден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты (1.1.10) формуласын пайдаланып та алуға болады.
Демек, барлығы 8 үш таңбалы сан жазуға болады.
Aйталық n элементтер берiлсiн. Осы элементтердi к топтарға бөлейiк. Әрбiр топтағы элементтер өзара бiрдей, ал әртүрлi топтардағы элементтер бiр-бiрiнен бөлек. Ендi әрбiр топтағы элементтер санын сәйкес m1, m2, ..., mк арқылы белгiлейiк, сонда m1+m2+...+mк=n орындалады.
Анықтама.
n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы алмастырулар деп n элементтен тұратын комбинацияларды айтады. Мұнда екi жағдай болуы мүмкiн:
1.Егер к=n болса, яғни барлық элементтер әртүрлi болса, онда (1.1.8) формуласы бойынша
Pn=n!
2.Егер к
(1.1.11)15-мысал . Мына 5; 3; 1; 5; 5; 1 цифрлардың көмегiмен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.
Шешуi: Берiлген алты цифрды үш топқа бөлемiз: 1;1, 3;5, 5;5.
Есептiң шарты бойынша (1.1.11) формуланы пайдалануға болады. Сонда
Осыдан барлығы 60 алты таңбалы сан жазуға болатынын көреміз.
Анықтама: Берiлген n элементтен m элемент бойынша қайталанбалы терулер деп бiр-бiрiнен құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады. Mұнда бiр элемент комбинацияға бiрнеше рет кiруi мүмкiн.
Қайталанбалы терулер саны мына формуламен анықталады:
(1.1.12)16-мысал . Гүл дүкенiнде 3 түрлi гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдiспен букет жасауға болады?
Шешуi: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түстi гүлдердiң әрбiр түсiнен бiрнеше гүл кiруi мүмкiн. Олай болса (1.1.12) формуланы пайдаланып
Сонымен, 7 гүлден тұратын 36 букет жасауға болады.
Есептер
1. Үш тиын лақтырылып тәжiрибе жүргiзiлсiн. Сонда С1, С2 және С3 бiрiншi, екiншi және үшiншi тиындардың сәйкес сан жазылған жақтарының пайда болуын бiлдiретiн оқиғалар болсын. Ендi Сi(i=
) арқылы мына оқиғаларды өрнекте: А - бiр сан жазылған жақтың, екi елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы; В - бiр реттен артық елтаңба жазылған жақтардың пайда болмауы; С - үш елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы; D - үш сан жазылған жақтардың пайда болуы.2. Мына оқиғаның ақиқат оқиға екенiн дәлелде:
3. Өрнектi ықшамда:
a)
б)
4. Төмендегi оқиғалар жиыны толық топтар бола ма?
а) Бір тиын лақтырылсын. А1 - тиынның сан жазылған жағы,
А2 - тиынның елтаңба жазылған жағы
б) Екi тиын лақтырылған.
В1={eкi елтаңба пайда болды}, B2= {екi сан пайда болды}.
в) Екi ойын кубы лақтырылған
C1={екi кубтада 6 цифры пайда болды},
C2={екi кубтада 6 цифры пайда болмады},
C3={бiр кубта 6 цифры болды, екiншi кубта 6 цифры болмады}
5. Бiр мезгiлде 5 ойын кубы лақтырылсын. Сонда бiр мезгiлде 2 алты, 2 бес және цифрлары жазылған жақтардың пайда болу ықтималдығы қандай?
Нұсқау:(1.1.11) формуланы пайдаланыңыз.
6. 32 картадан 10 карта алынды. Осы 10 картаның iшiнде 8 картаның бiр түстi болуының ықтималдығы қандай?
7. n бiрдей шар салынған урнадан бiр шар алынып қайта салынады. Тәжiрибе n рет қайталанғанда барлық шарлар түгел алынып шығуының ықтималдығы қандай?
Нұсқау:(1.1.10)формуланы пайдаланыңыз. 8.Жетi картаға 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 цифрлар жазылған. Карталар әбден араластырылғаннан кейiн кезкелген 4 карта алынады да олар солдан оңға қарай қойылды. Сонда 5463 саны шығатындығының ықтималдығы қандай?
9. 36 картаның кезкелген 3 картасы алынады. Сонда тұз, король, дама шығуларының ықтималдығы қандай?
10.Топтағы 15 студентке, оның сегiзi қыздар, театрға 8 билет берiлдi. Сонда театрға билет алған 8 студенттiң екеуi қыздар болуының ықтималдығы қандай?
11.Ойын сұйегiн лақтырғанда жұп сан шығуының ықтималдығы қандай?
12.Экспедициядағы 20 машинаның кезкелген 5 машинасы тексеруге алынды. Экспедицияда 2 машина iстен шыққан болатын.
1. Алынған 5 машинаның барлығы да жарамды болуының
ықтималдығы қандай?
2.Алынған 5 машинаның бiреуi iстен шыққан, ал төртеуiнiң
жарамды болуының ықтималдығы қандай?
-
.Әрбiр 100 картаға 1-ден 100 дейiн сан жазылған. Алынған кез-келген бiр картада 5 цифрiне еселi болатын сан шығуының ықтималдығы қандай?
-
.Жәшiктегi 15 детальдiң 10-ны боялған. Жинаушы кез келген 3 деталь алды. Алынған 3 деталь де боялғандығының ықтималдығы қандай?
15.Бiрiншi жәшiкте нөмiрлерi 1- ден 5 - ке дейiн, ал екiншiсiнде 6-дан 10-ға дейiн шарлар бар. Әрбiр жәшiктен бiр-бiрден шар алынды. Алынған екi шардың нөмiрлерiнiң қосындысы 11 болуының ықтималдығы қандай?
16.Студент 60 сұрақтың 50-iн бiледi. Әрбiр билет екi сұрақтан тұрады. Алған билеттегi екi сұрақты да бiлетiндiгiнiң ықтималдығы қандай?
17.Топтағы 30 оқушының бақылау жұмысында 6-ы "5", 10-ы, "4", ал 9-ы "3" деген бағалар алды. Тақтаға үш оқушы шақырылды. Шақырылған үш оқушының да "2" баға алғандығының ықтималдығы қандай?