(1.2.4)


3. ЕҢ БОЛМАҒАНДА БIР ОҚИҒАНЫҢ ПАЙДА БОЛУЫНЫҢ

ЫҚТИМАЛДЫҒЫ ТУРАЛЫ ТЕОРЕМА
Айталық A₁, A₂, A₃, A₄,..., A_n оқиғалары жинақ бойынша тәуелсiз болсын. Осы оқиғалардың ең болмағанда бiреуiнiң (А оқиғасы) пайда болуының ықтималдығы мына формуламен анықталады.
(1.2.5)
Жеке жағдайда, егер A₁, A₂, A₃,..., A_n оқиғаларының пайда болуының ықтималдықтары бiрдей болса, яғни

,

онда

(1.2.6)
1-мысал. 36 картаның iшiнен кезкелген 2 карта алынсын. Осы екi картаның бiр түстi болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуi: Әуелi алынған екi картаның белгiлi бiр түске жататынының (айталық "қарға" болсын) ықтималдығын табалық. Белгiлеу енгiзелiк. А - бiрiншi карта "қарға" болсын, В - екiншi карта да "қарға" болсын. Бұл екi оқиға тәуелдi оқиғалар, яғни В-ның пайда болу ықтималдығы А-ның пайда болуына, не пайда болмауына байланысты өзгерiп отырады. Сондықтан

,

Осыдан



Ал ендi A₁, A₂, A₃, A₄ алынған екi карта сәйкес төрт түстiң бiрiне жататындығын көрсететiн өзара үйлесiмсiз оқиғалар болсын. Сонда алынған екi картаның бiрдей түстi (оқиға С) болуы A₁, A₂, A₃, A₄ оқиғаларының кез-келгенi орындалса пайда болады, яғни

C= A₁ + A₂ +A₃ +A₄ ;

Олай болса

2-мысал. Екi мерген атыс алаңында атыс жүргiзуде. Бiрiншi мергеннiң нысанаға тигiзу ықтималдығы - 0,7, екiншiсiнiкi - 0,8 тең. Егер екеуi де бiр-бiрден атыс жасаса, ең болмағанда бiреуiнiң нысанаға дәл тигiзетiндiгiнiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А - бiрiншi мерген нысанаға дәл тигiздi. В - екiншi мерген нысанаға дәл тигiздi. Бұл екi оқиға үйлесiмдi, себебi екi мерген де нысанаға дәл тигiзуi мүмкiн ғой. Сондықтан үйлесiмдi оқиғалардың қосындыларының ықтималдығы туралы теореманы (1.2.4) пайдаланып:

---

екенiн табамыз.

Осы мысалды ең болмағанда бiр оқиғаның пайда болуы (оқиға D) туралы теореманы пайдаланып та шығаруға болатынын көрсетелiк. Шынында да D - оқиғасы ең болмаса бiреуiнiң нысанаға тигiзуi болсын. Сонда


Бұл жерде



3-мысал. Екi жәшiкке детальдар салынған. Бiрiншi жәшiкте 10 деталь, оның үшеуi стандартты, екiншiсiнде - 15 деталь, онда 6 стандартты бар. Әрбiр жәшiктен бiр-бiрден кез-келген деталь алынды. Алынған екi детальдiң де стандартты екенiнiң ықтималдығын тап.

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А - бiрiншi жәшiктен алынған деталь стандартты, В - екiншi жәшiктен алынған деталь стандартты. Сондықтан . Алынған екi детальде стандартты болуы үшiн АВ оқиғасы пайда болуы керек. Бұл екi оқиғада үйлесiмдi, себебi екеуi бiрдей пайда бола алады, сондай-ақ бұл оқиғалар тәуелсiз, себебi олардың пайда болуы бiр-бiрiне байланыссыз. Сондықтан /1.2.2./ формуланы пайдалануға болады:


4-мысал. Деталь дайындау процессi үш операциядан тұрады. Бiрiншi операция кезiнде сапасыз деталь дайындалудың ықтималдығы - 0,02, ал екiншi операция кезiнде - 0,03 және үшiншi операция кезiнде - 0,07. Сапасыз детальдердiң пайда болуын тәуелсiз оқиғалар деп қарастырып, осы үш операциядан кейiн сапалы деталь дайындауының ықтималдығын табу керек.

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А оқиғасы деп бiрiншi операциядан кейiн сапасыз детальдiң пайда болуы; В - екiншi операциядан кейiн сапасыз деталь пайда болуы; С - үшiншi операциядан кейiн сапасыз деталь пайда болуы. Есептiң шарты бойынша А,В,С тәуелсiз оқиғалар. Олай болса оқиғалары да тәуелсiз оқиғалар. Сондықтан D=

---

оқиғасы - үш операциядан кейiн сапалы деталь дайындалуын анықтайды. Ендi тәуелсiз оқиғалардың көбейтiндiсiнiң ықтималдығының формуласын пайдаланып


табамыз.

5-мысал. Сүңгуiр қайықты iздеп табудың ықтималдығы 0,8, ал оған атылған ракетаның тиуінің ықтималдығы 0,6 - ға тең. Iздеп табылған сүңгуiр қайықты жойып жiберудiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: А - оқиғасы сүңгуiр қайықты iздеп тауып алуды бiлдiредi. В - сүңгуiр қайықты жойып жiберудi бiлдiредi және С- атылған ракетаның қайыққа тиуін білдіреді. Сонда С=АВ және Р(А)=0,8; P(С)=0,6. Есептiң шарты бойынша iздеп табылған қайықты жойып жiберудiң ықтималдығын табу керек, яғни Р_A(B) ықтималдығын табу керек.

P(С)=P(A) P_A(B)

Сонда

P_A(B) = P(С)/ P(A) = 0,6/0,8=0,75.

6-мысал. Үш баскетболшы корзинаға бiр-бiрден доп лақтырды. Бiрiншi баскетболшының корзинаға доп түсiруiнiң ықтималдығы 0,9, екiншiсiнiкi - 0,8, үшiншiсiнiкi - 0,7. Тек бiр баскетболшының корзинаға доп түсiруiнiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: А - бiрiншi баскетболшының корзинаға доп түсiруi, В,С - екiншi, үшiншi баскетболшының корзинаға доп түсiруi. Бұл оқиғалар тәуелсiз. Ендi мына оқиғаларды қарастырайық: -тек А оқиғасының пайда болуы, - тек В оқиғасының пайда болуы, - тек С оқиғасының пайда болуы.

Бұл соңғы үш оқиғалар үйлесiмсiз сондықтан


оқиғасы А,В,С оқиғаларының тек бiреуiнiң пайда болуын бiлдiредi. Сөйтiп



7-мысал . Үш аңшы үшып бара жатқан үйректi сәйкес 2/3, 3/4, 1/4 ықтималдықтарымен атып түсiре алады. Ұшып бара жатқан үйректi үшеуi де бiр мезгiлде атты. Үйректi атып түсiргендiктiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: Үйрек атып түсiру үшiн ең болмағанда бiр аңшының оғы дәл тиуi керек. Сондықтан (1.2.5) формуланы пайдаланып

---

табамыз.

Мұндағы А – үйрек атып түсiрiлдi, А₁- үйректi бiрiншi аңшы атып түсiрдi; А₂- үйректi екiншi аңшы атып түсiрдi; А₃- үйректi үшiншi аңшы атып түсiрдi;

8-мысал. Екi жәшiкке ақ және қара түстi бiрдей шарлар салынған. Айталық бiрiншi жәшiкте m₁ ақ, n₁ қара, ал екiншiсiнде - m₂ ақ, n₂ қара шарлар бар болсын. Екi жәшiктен бiр мезгiлде, бiр-бiрден кез-келген шарлар алынған. Алынған екi шардың ең болмағанда бiреуi ақ шар болғандығының ықтималдығын табыңыз.

Шешуi: А - оқиғасы бiрiншi жәшiктен ақ шар алынғандығын бiлдiрсiн, В - екiншi жәшiктен ақ шар алынғандығын бiлдiрсiн. Сонда А+В оқиғасы алынған екi шардың ең болмағанда бiреуi ақ шар болғандығын бiлдiредi. Бұл екi оқиға үйлесiмдi. Сондықтан (1.2.4) формуланы пайдаланамыз.

Бұл жерде , ;

және А және В оқиғаларының үйлесiмдiлігін ескерiп


табамыз.

9-мысал. Жәшiкте 15 бiрдей бұйым бар. Жәшiктен екi сапалы бұйым алудың ықтималдығы 4/15 тең. Жәшiкте қанша сапалы бұйым бар едi?

Шешуi: Белгiлеу енгiзейiк. А - жәшiктен бiрiншi рет алғанда сапалы бұйым алынды, В - жәшiктен екiншi рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екi оқиғалар тәуелдi. Сондықтан, егер к - сапалы бұйымдар саны десек,онда

,

Есептiң шарты бойынша

Осыдан к²- к - 56=0, к=8.

Сонымен жәшiкте 8 сапалы бұйым болды.
Жаттығу есептері
30. Тоқ кернеуi ұлғайтылғанда бiр-бiрiмен тiзбектес жалғанған үш элементтiң бiрiнiң iстен шығуына байланысты, электр жүйесiнде үзiлiс пайда болуы мүмкiн. Элементтердiң iстен шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,2; 0,3; 0,4. Электр жүйесiнде үзiлiс болмауының ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Электр жүйесiнде үзiлiс болмау үшiн ешбiр элемент iстен шықпауы керек.

31. Бiр партияда 50 зат бар, оның 5-уi сапасыз. Осы партиядан алынған кез-келген 30 заттың iшiнде сапасыз зат бiреуден артық болмауының ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Белгiлеу енгiзейiк. А - барлық 30 зат сапалы. В - 30 заттың бiреуi сапасыз. Сонда А,В оқиғалары үйлесiмсiз. Олай болса С=А+В - алынған 30 заттың iшiнде сапасыз зат бiреуден артық еместiгiн бiлдiретiн оқиға.

---

32. Жәшiктегi 10 детальдiң 4-i боялған. Деталь жинаушы 3 деталь алды. Алынған үш детальдiң ең болмағанда бiреуi боялғандығының ықтималдығын табу керек.

33. Ақшалай-заттай лотереяда әрбiр 10000 билетке 150 заттай және 50 ақшалай ұтыс шығады. Бiр билетi бар адамға не заттай, не ақшалай ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?

34. Урнада 10 қызыл, 5 көк және 15 ақ шарлар бар. Урнадан не қызыл, не көк түстi шардың алынуының ықтималдығы қандай?

35. Лотереяда 1000 билет бар. Оның әрбiр екi билетiнiң бiрiне ұтыс шығады. Екi билет сатып алынған. Осы екi билетке де ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?

36. Екi ойын сүйегi лақтырылған. Сонда пайда болған сандардың қосындысы 5-тен артық болмауының ықтималдығын тап.

37. Үш ойын сүйегi лақтырылған. Сонда үш сүйекте де бiрдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?

38. Екi күмiс теңгенi бiр рет лақтырғанда ең болмағанда бiр рет "цифр" пайда болуының ықтималдығы қандай?

39. Урнада 9 қызыл, 6 көк шарлар бар. Кез-келген екi шар алынды. Алынған екi шардың да қызыл болуының ықтималдығын тап.

40. Жұмысшы үш станоктiң iстен шықпауын қамтамасыз етедi. Бiр сағат iшiнде жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс iстеу ықтималдығы бiрiншi станок үшiн 0,3- ке тең, екiншiсi үшiн - 0,5 және үшiншiсi үшiн - 0,6. Мына оқиғалардың ықтималдығын тап:

а) Бiр сағат бойына ең болмағанда бiр станок жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс iстейдi;

б) Екi сағат бойы үш станок те жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс iстейдi.

41. Семьяда 4 бала бар. Ер бала мен қыз баланың дүниеге келуiнiң ықтималдықтары бiрдей деп алып, мына оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек:

а) Барлығы да ұлдар.

б) Барлығы не ұлдар, не қыздар.

в) Ең болмағанда бiреуi қыз бала.

42. Екi мерген нысанаға атыс жүргiзуде. Бiрiншi мергеннiң (А оқиғасы) нысанаға тигiзу ықтималдығы - 0,5, ал екiншiсiнiкi (В оқиғасы) - 0,4. Егер әрбiр мерген 3 рет атыс жасаған болса, ең болмағанда нысанаға бiр рет тигiзудiң ықтималдығын табу керек.

Нұсқау: Әуелi бiр атыста екi мергеннiң ең болмағанда бiр рет тигiзуiнiң ықтималдығын тауып алу керек.

43. Урнада 10 шар бар. Урнадан екi ақ шар алудың ықтималдығы 2/15 - ке тең. Урнада қанша ақ шар бар едi?

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01 Право и организация социального обеспечения Дисциплина Физическая культура (2 семестр) Практическое задание 7.doc

• Родной язык Вопросы к промежуточной аттестации.docx

• Все чаще в современном обществе на различных уровнях затрагивается проблема ухудшения состояния здоровья нации.docx

• Влияние вредных привычек на организм человека.odt

• Существуют философские, социологические и психологические представления о проблеме ценностеи и ценностных ориентации.docx