18.Берiлген кубтың барлық жақтары боялған. Куб бiрдей 1000 бөлiкке бөлiнген. Пайда болған бөлiктер, оларда кубтар, мұқият арастырылған, содан кейiн бiр кiшкене куб алынған.

Алынған кiшкене кубтың: а) бiр жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? б) екi жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? в) үш жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?

19.Белгiлi бiр 6 дүкендi 3 ревизор тексеруi керек едi. Әр ревизор 2 магазиндi тексеруi керек. Дүкендерге ревизорлар қалай болса солай бөлiнедi. Сонда бiрiншi ревизордың кез келген екi дүкенге жiберiлуiнiң ықтималдығы қандай?

20. 36 картаның кез-келген үшеуi алынды. Алынған үш картаның екеуi тұз болуының ықтималдығы қандай?

21.Қорапта нөмiрленген бiрдей 6 куб бар. Қораптан кез келген ретпен барлық кубтар алынды. Алынған кубтар нөмiрлерiнiң өсу ретiмен шығуының ықтималдығын табу керек.

22.Партияда 10 детальдiң 7-i сапалы. Алынған кез-келген 6 детальдiң 4-i сапалы болуының ықтималдығын табу керек.

23.Екi ойын сүйегi лақтырылған. Екi сүйекте пайда болған сандардың айырмасының абсолют шамасы 2-ге тең болғандығының ықтималдығын табу керек.

24.Қораптағы бiрдей 6 шар нөмiрленген. Кез-келген ретпен бiр-бiрлеп шарлар алынып бiр қатарға солдан оңға қарай қойылған. Сонда алдын-ала ойланған бiр сан шығатындығының ықтималдығын табу керек.

25.Орыс алфавитiнiң 32 әрпi әртүрлi карталарға жазылған. Содан кез-келген 5 карта алынып бiрiнен соң бiрi бiр қатарға қойылған. Сонда "сурет" сөзiнiң пайда болуының ықтималдығын табу керек.

26.Урнада 5 ақ 3 қара шарлар бар. Кез келген екi шар алынды. Сонда алынған шарлар әр түстi болуының ықтималдығы қандай?

27.Винтовкадан 120 атыс жүргiзiлдi. Сонда нысанаға тиудің салыстырмалы жиiлiгi 0,85 - ке тең болды. Оқ қанша рет нысанаға дәл тидi?

28.Партиядағы 200 бұйымның бақылау кезiнде 8 данасы сапасыз болды. Сапасыз бұйымдардың пайда болуының салыстырмалы жиiлiгi қандай?

29.Ойын сүйегi лақтырылғанда 3 - ке еселi болатын сан шығуының ықтималдығы қандай?

---

§2. ЫҚТИМАЛДАҚТАРДЫ ҚОСУ ЖӘНЕ КӨБЕЙТУ

ТЕОРЕМАЛАРЫ.

ЕҢ БОЛМАҒАНДА БIР ОҚИҒАНЫҢ ПАЙДА БОЛУЫНЫҢ

ЫҚТИМАЛДЫҒЫ


Оқиғаның ықтималдығын классикалық немесе статистикалық анықтамалары бойынша есептеу көпшілік жағдайда едәуір қиындықтар туғызады. Сондықтан кейбір оқиғалардың ықтималдықтары белгілі болған жағдайда басқа оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуге болатын әдістердің қажеттігі айқын. Мұндай әдістер ықтималдықтар теориясының негізгі теоремалары – ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларында қарастырылады. Сондай-ақ, ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын қолданғанда шартты ықтималдық түсінігінің маңызы ерекше. Айталық А және В оқиғалары өзара тәуелді болсын. Демек А-ның пайда болуы В-дан тәуелді және керісінше В-ның пайда болуы А-дан тәуелді. В оқиғасының А оқиғасы пайда болғаннан кейін есептелінген ықтималдығын В-ның шартты ықтималдығы деп атайды. Осы сияқты А-ның шартты ықтималдығы да есептелінеді.
1. ЫҚТИМАЛДАҚТАРДЫ КӨБЕЙТУ ТЕОРЕМАСЫ


Егер екi оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болуының ықтималдығын өзгертпесе, онда мұндай оқиғалар тәуелсiз оқиғалар деп аталады.

1-мысал. Урнада 5 ақ және 7 көк бiрдей шарлар бар. Урнадан кез келген бiр шар алынып, сонан кейін урнаға қайта салынады. Сөйтiп сынақ қайталанады. Айталық, А-урнадан бiрiншi алғанда ақ шардың пайда болуы, В-екiншi алғанда ақ шардың пайда болуы болсын. Бұл екi оқиға тәуелсiз оқиғалар болады. Себебi А-ның пайда болуы В-ның ықтималдығын өзгертпейдi. Расында,

2-мысал. Дайын бұйымдар қоймасына 120 деталь әкелiндi, оның 5-уi стандартқа жатпайтыны белгiлi болды. Кез келген бiр деталь алынды, оны қайтармай тағы бiр деталь алынды. А-бiрiншi алғанда стандартты деталь алынуы, В-екiншi рет алғанда стандартты деталь алынуы болсын.

Ендi осы оқиғалардың ықтималдықтарын табалық. , ал В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының пайда болуына байланысты. Егер бiрiншi рет деталь алғанда стандартты деталь алынса (А оқиғасы пайда болса), онда

---

, ал егер бiрiншi рет алғанда стандартты деталь алынбаса, онда . Демек, В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының пайда болу немесе пайда болмауына байланысты.

Анықтама. В оқиғасының, А оқиғасы пайда болғаннан кейiн, есептелiнген ықтималдығы В оқиғасының шартты ықтималдығы деп аталады.

Шартты ықтималдық арқылы белгiленедi. Қарастырылған мысалда . Әдетте ықтималдығы шартсызықтималдық деп аталады.

Егер және , яғни шартты ықтималдық шартсыз ықтималдыққа тең болса, онда А және В оқиғалары тәуелсiз оқиғалар деп аталады.

Шартты ықтималдық -ны есептеу формуласын қорытып шығаралық. Айталық қарастырып отырған сынақтар сериясында элементарлық оқиғалар саны болсын. А оқиғасының пайда болуына қолайлы элементарлық оқиғалар саны болсын, ал В оқиғасына элементарлық оқиғалар қолайлы болсын. Сонда В оқиғасы А-дан тәуелдi болғандықтан оқиғасына да қолайлы элементарлық оқиғалар саны -ге тең болады. Осыдан аламыз. Сондай-ақ, болғандықтан

---

аламыз. Сонымен төмендегi теорема дәлелдендi.

Теорема. Екi оқиғаның көбейтiндiсiнiң ықтималдығы олардың бiреуiнiң ықтималдығы мен екiншiсiнiң шартты ықтималдығының көбейтiндiсiне тең. Осыдан

(1.1.1)

(1) формуланы оқиғасына қолдансақ

аламыз.

Ендi екенiн ескерсек

(*)

орындалады.

Салдар. Егер В оқиғасы А оқиғасынан тәуелсiз болса, онда А оқиғасы да В оқиғасынан тәуелсiз болады. Расында, егер В оқиғасы А-дан тәуелсiз болса, онда орындалады. Осы теңдiктi пайдаланып (*) формуланы қайта жазсақ

Осыдан аламыз, яғни А оқиғасы В-дан тәуелсiз.

(1) формуладан тәуелсiз оқиғалардың көбейтiндiсi туралы теореманы аламыз.

Теорема. Тәуелсiз екi оқиғаның көбейтiндiсiнiң ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтiндiсiне тең:

(1.1.2)

Әдетте, оқиғалардың тәуелсiздiгi есептiң мазмұнына, жүргiзiлiп отырған сынақтың мағынасына сүйенiп анықталады. Мысалы, егер цехта iстеп тұрған екi автоматикалық желi өндiрiс шарттары бойынша бiр-бiрiнен тәуелсiз iстеп тұрса, онда бұл автоматикалық желiлердiң iстен шығуы - тәуелсiз оқиғалар.

Бiрнеше оқиғалардың әрқайсысы бiр-бiрiнен және өздерiнiң кез келген комбинацияларынан (топтарынан) тәуелсiз болса, онда бұл оқиғалар жинақ бойынша тәуелсiз деп аталады.

Мысалы, және оқиғалары сәйкес мергеннiң бiрiншi, екiншi және үшiншi атыстарда нысанаға тигiзуiн бiлдiретiн оқиғалар болсын. Бұл оқиғалар тәуелсiз оқиғалар. Сондай-ақ, олар жинақ бойынша да тәуелсiз. Себебi,

---

және ; және ; және ; және оқиғалары өзара тәуелсiз оқиғалар болып табылады.

Жинақ бойынша тәуелсiз оқиғалардың көбейтiндiсiнiң ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтiндiсiне тең, яғни:



3-мысал. Екi атқыш бiр-бiрден атыс жасады. Бiрiншi атқыштың нысанаға тигiзуiнiң ықтималдығы 0,9, екiншiсiнiкi- 0,75. Нысанаға екi оқ тиуiнiң ықтималдығын тап.

Шешуi. Белгiлеу енгiзелiк. А-бiрiншi атқыштың нысанаға тигiзуi, В-екiншi атқыштың нысанаға тигiзуi. А және В оқиғалары тәуелсiз оқиғалар, себебi бiреуiнiң нысанаға тигiзуi екiншiсiнiң тигiзуi немесе тигiзбеуiне байланысты емес. Сондықтан, нысанаға екi рет оқ тиуiн бiлдiретiн АВ оқиғасының ықтималдығы

.

4-мысал. 50 лотерея билетiнiң iшiнде 3-уiне ұтыс шығатыны белгiлi болды. Кез келген екi билет алынды. Алынған екi билетке де ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?

Шешуi. Айталық, А-бiрiншi алынған билетке ұтыс шықты, В-екiншi алынған билеткке ұтыс шықты. В оқиғасы А-дан тәуелдi. Сондықтан АВ-екi билетке де ұтыс шықты оқиғасының ықтималдығын (1) формула бойынша есептеймiз:




2. ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ҚОСУ ТЕОРЕМАСЫ
Егер А және В үйлесiмсiз оқиғалар болса, онда қосындының ықтималдығы қосылғыш оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең
(1.2.3)

Егер А және В үйлесiмдi оқиғалар болса, онда қосындының ықтималдығы қосылғыш оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан олардың көбейтіндісінің ықтималдығын алып тастағанға тең

---

Смотрите также файлы

• Программа среднего профессионального образования 40. 02. 01 Право и организация социального обеспечения Дисциплина Физическая культура (2 семестр) Практическое задание 7.doc

• Родной язык Вопросы к промежуточной аттестации.docx

• Все чаще в современном обществе на различных уровнях затрагивается проблема ухудшения состояния здоровья нации.docx

• Влияние вредных привычек на организм человека.odt

• Существуют философские, социологические и психологические представления о проблеме ценностеи и ценностных ориентации.docx