Файл: Сети и системы телекоммуникаций.pdf

11.2.1
Спектральная (частотная) форма представле- ния сигнала
В ряде случаев является полезным возможность разложения про- извольной непрерывной функции в новом базисе
4
. Так, разложение та- ких функций (сигналов) в ортогональный тригонометрический базис - ряд Фурье - дает т.н. спектральное представление исходного сиг- нала - его представление в частотной области; разложение по т.н.
материнским вейвлет-функциям - вейвлет-представление и пр. Преооб- разование исходного непрерывного сигнала S(t) в спектральную форму
- S(f) называется преобразованием Фурье
5
и обозначается S(f) =
F (S(t))
; обратное преобразование - обратным преобразованием Фу- рье
- S(t) = F
−1
(S(f ))
. При этом исходный непрерывный сигнал преоб- разуется в линейную комбинацию
6
элементарных составляющих на всех частотах спектра:
S(t) = S
0
+
F
max
X
F
min a
k
· cos(f
0
t) + b k
· sin(f
0
t),
(11.1)
где S
0
- постоянная составляющая спектра сигнала, не несущая информа- ционного значения. Пример внешнего вида сигнала и его спектрального представления приведены на рис. ниже.
Рис. 11.3: Типичный сигнал и его спектр
Cпектральное представление сигнала позволяет:
• Обеспечить наглядное и эффективное представление сигнала в фор- мате существующего радиоресурса - в частотной области.
4
По сути, новой

системе координат

для исходной функции.
5
Англоязычный эквивалент - Fourier Transform.
6
Совокупность линейных операций - сложения, умножения - над составляющими.
108

• Обеспечивает представление сигнала сколь угодно сложной формы в виде совокупности элементарных сигналов различных частот - гармоник или тонов.
• Дает возможность работать непосредственно с информационной со- ставляющей сигнала, независимо от того, на какой частоте сосредо- точена его энергетическая составляющая.
11.2.2
Теорема Котельникова
Теорема 1
(Теорема Котельникова
7
). Если аналоговый сигнал u(t) име- ет ограниченный спектр (т.е. ограничен верхней частотой F
max
, что при присутствии сигнала на всех частотах соответствует ширине полосы W =
F
max
), то данный сигнал может быть восстановлен однозначно и без по- терь по дискретному сигналу, сформированному из исходного; при этом частота дискретизации должна быть более удвоенной F
max
:
f s
≥ 2 · F
max
; 4t <
1 2 · F
max
(11.2)
, при этом непрерывный сигнал возможно восстановить по отсчетам име- ющегося дискретного сигнала в виде ряда следующей формы:
X
u(k · 4t)
sin(πf s
(t − k4t))
πf s
(t − k4t)
(11.3)
Указанная теорема справедлива для идеального случая бесконечного сигнала, не имеющего во временной характеристике точек разрыва. Для реальных сигналов из теоремы Котельникова следует два следствия:
1 Любой реальный непрерывный сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой f s
> 2 · F
max
2 Если максимальная частота в сигнале превышает половину часто- ты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.
7
В англоязычной литературе - теорема Найквиста-Шеннона. Изначально теорема была сформулирована Гарри Найквистом в 1928 г. в работе

Certain topics in telegraph transmission theory

и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.
Приблизительно такие же результаты были опубликованы в том же году в Германии Карлом
Купфмюллером. В СССР и России данная теорема традиционно связывается с именем Ко- тельникова, независимо опубликовавшего аналогичные результаты в 1933 г. в своей работе

О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи

109

11.3 Модуляция
После получения сигнала в цифровом представлении следующей за- дачей является адаптация данного представления к возможностям канала связи, а также приемо-передающих устройств и тракта обработки. Про- цесс данной адаптации и называется модуляцией. Более строго:
Модуляция
- это процесс преобразования исходной информации в вид, совместимый с характеристиками системы передачи информации.
11.4 Низкочастотная модуляция
Низкочастотная модуляция
8
представляет собой процесс преобразо- вания исходного информационного сигнала к виду, пригодному для пере- носа на более высокие частоты с дальнейшей передачей по каналу связи.
Результатом применения низкочастотной модуляции является т.н. видео- сигнал
- сигнал, спектр которого начинается с нулевой частоты - именно видеосигнал анализируется в большинстве случаев в тракте обработки ин- формации.
11.4.1
Импульсно-кодовая модуляция
Импульсно-кодовая модуляция - ИКМ
9
представляет собой процесс преобразования исходного информационного сигнала в последователь- ность информационных бит:
1 Исходный сигнал U(t) квантуется в один из L уровней (L уровней могут быть описаны в рамках двоичного формата представления l = log
2
L
битами).
2 Квантованный сигнал U
q
(t)
дискретизируется с шагом τ.
3 Каждый отсчет результирующего цифрового сигнала U
q
(n · τ )
пре- образуется в последовательность из l бит.
4 Представление данной последовательности бит в виде видеосигнала с заданными характеристиками.
8
Англоязычный термин - baseband modulation.
9
PCM (англ.) - Pulse-Code Modulation.
110

11.4.2
Сигналы ИКМ
Результатом применения ИКМ к информационному сигналу явля- ется последовательность бит, которую требуется привести к виду видео- сигнала (в виде электрических импульсов, например логическая единица- наличие импульса; ноль - отсутствие), необходимому для физической пе- редачи данных. В пределе (при максимально возможной ширине импуль- са) последовательность указанных импульсов представляет собой непре- рывный сигнал (при этом часто используют биполярные сигналы - отцен- трированные по уровню относительно нулевого значения напряжения).
Примеры представления ИКМ-последовательности в виде электрических сигналов приведены на рис. ниже.
Рис. 11.4: Представление ИКМ-последовательности в виде видеосигнала
11.4.3
M-арные импульсно-модулированные сигналы
Существует возможность кодирования в виде электрических сигна- лов не отдельные биты, а их совокупности по m бит, соответствующие
M = 2
m возможным состояниям итогового сигнала. Для представления различных состояний итогового электрического сигнала такого вида воз-
111

можно варьировать амплитуду, положение, либо длительность импульсов,
что и дало название соответствующим видам модуляции:
1 Варьирование (модуляция) амплитуды импульсов - амплитудно- импульсная модуляция - АИМ
10 2 Модуляция длительности импульсов - широтно-импульсная модуля- ция ШИМ
11 3 Модуляция положения импульсов - фазово-импульсная модуляция
ФИМ
12
Указанные виды модуляции (сверху вниз) приведены на следующем ри- сунке.
Рис. 11.5: АИМ, ШИМ и ФИМ-модуляция.
При этом, если исходный информационный сигнал квантуется, как было указано в разделе выше, данные типы модуляции называются циф- ровой манипуляцией
13
, а если ФИМ, ШИМ или АИМ производится с отсчетами неквантованного сигнала - аналоговой модуляцией
14
. Рассмот-
10
PAM (англ.) - Pulse-Amplitude Modulation.
11
PWM (pulse-width modulation) или PDM (pulse-duration modulation).
12
PPM (англ.) - Pulse-Position Modulation.
13
Англ. - digital manipulation.
14
Аналогичные обозначения справедливы и для высокочастотных видов модуляции - все виды модуляции, имеющие дело с цифровыми сигналами обозначаются как манипуляция.
112

ренные выше сигналы ИКМ представляют собой частный случай АИМ с
M = 2
Все виды низкочастотной модуляции достаточно просто реализуемы
- так, -арная ФИМ осуществляется путем внесения задержки появления импульса на время, соотв. кодируемой информационной последователь- ности; ШИМ - посредством изменения ширины импульса на величину,
соответствующую кодируемому значению; АИМ - выбору различных зна- чений амплитуды импульса.
11.4.4
Относительная модуляция
Кроме обыкновенной модуляции исходного информационного сигна- ла используется также т.н. относительная модуляция. Если в обычных методах модуляции сигнал модулируется непосредственно последователь- ностью бит, то в относительных - изменением состояния i-й последова- тельности бит по отношению к i − 1-й. Относительные методы модуляции в некоторых случаях позволяют уменьшить избыточность исходного сиг- нала и обеспечить дополнительное сжатие используемой полосы частот.
113

Лекция 12
Полосовая модуляция. Визуальные формы представления
12.1 Высокочастотная (полосовая)
модуляция
Модуляция
- это процесс преобразования исходной информации в вид, совместимый с характеристиками канала передачи данных.
Если низкочастотная модуляция представляет собой процесс пре- образования исходной информации в последовательность импульсов, то полосовая модуляция
1
представляет собой изменение высокочастотной несущей волны
2
под действием указанных импульсов. В общем случае определение полосовой модуляции (одно из самых важных определений в радиотехнике и телекоммуникациях) возможно записать в следующем виде:
Полосовая модуляция
- это процесс изменения несущего сигнала
C(t)
по закону информационной составляющей (модулирующего сигнала)
U (t)
. Результатом полосовой модуляции является модулированный сигнал
S(t)
12.1.1
Модуляция по синусоидальной несущей
В большинстве случаев телекоммуникациях рассматривается модуля- ция по синусоидальному (косинусоидальному) сигналу - в данном случае в качестве переносчика информации используется гармоническое колеба- ние. В этом случае, аналогично низкочастотной импульсной модуляции,
1
Англ. - passband modulation.
2
Далее - просто несущей - carrier (англ.).
114

возможно рассматривать изменение трех возможных параметров данного сигнала по закону информационной составляющей - амплитуды, частоты и фазы:
S(t) = A(t)cos((ω
0
+ ω(t))t + φ(t)).
(12.1)
В данном выражении встречаются новые обозначения - круговая частота
ω
, равная частоте сигнала, умноженной на 2π: ω(t) = 2πf(t) и централь- ная частота - ω
0
= 2πf
0
, определяющая центральную частоту сигнала после проведения операции модуляции.
При рассмотренни данного выражения тип модуляции с изменением амплитуды синусоиды A(t) называется амплитудной модуляцией - АМ
3
;
изменением частоты ω(t) - ЧМ
4
; изменением фазы φ(t) - ФМ
5 12.2 Визуальные форматы представления модулированного сигнала
12.2.1
Сигнальное созвездие
При использовании АМ, ФМ и совмещенных (АФМ) методов модуля- ции в телекоммуникациях широко используется концепция

сигнального созвездия

, позволяющего более наглядно отображать состояния сигнала и общую помехоустойчивость системы. Суть данного понятия заключает- ся в следующем:
для АФМ при модулирующем сигнале U(t) результирующее колеба- ние S(t) возможно записать в следующем виде:
S(U (t)) = A(U (t))cos(2πf
0
t + φ(U (t))).
(12.2)
Поставим в соответствие реальному синусоидальному сигналу некоторую абстракцию - так называемый комплексный сигнал следующего вида:
S(U (t)) = A(U (t))cos(2πf
0
t + φ(U (t)) + i · A(U (t))sin(2πf
0
t + φ(U (t))),
(12.3)
где i - мнимая единица.
Как известно, у комплексных чисел существует три формы записи:
алгебраическая (z = a + b · i), тригонометрическая (z = cos φ + i · sin φ)
3
Англ. - также AM - amplitude modulation.
4
Англ. - FM - frequency modulation.
5
Англ. - PM - phase modulation.
115

и показательная (экспоненциальная) - (z = r · e iφ
). Далее, как опять же известно из высшей математики, эспоненциальная форма записи может быть отражена на декартову плоскость (или, если быть более точным, на комплексную плоскость) как радиус-вектор
6
. Данный радиус-вектор со- ставляет угол
7
φ
по отношению к оси абсцисс (реальной оси комплексной плоскости) и имеет длину (модуль) r. Данный формат представления так- же называется векторным (геометрическим) представлением комплексно- го числа.
Рис. 12.1: Геометрическое представление комплексного числа.
В свою очередь, в показательной форме комплексный сигнал S(U(t))
может быть записан следующим образом:

Рис. 12.2: Пример сигнального созвездия АФМ-16
Плюсы изображения вариантов сигнала в виде сигнального созвездия достаточно ощутимы. Действительно, переход от состояния к состоянию сигнала - это переход от точки к точке на сигнальном созвездии. Графиче- ские изображения траекторий перемещений от точки к точке в сигналь- ном созвездии представляют собой диаграммы фазовых переходов. Чем больше расстояния между этими точками - тем существеннее переход. Од- новременно с этим, на сигнальном созвездии очень легко пронаблюдать влияние помех на сигнал: при воздействии помех точка, соответствую- щая данному состоянию просто размывается до облака точек. Наконец,
чем больше точек в сигнальном созвездии, тем больше информации пе- редается модулирующим сигналом. Действительно, выбор одного из M
логических состояний
8
, соответствует количеству информации в log
2
K
бит. Таким образом, сигнальное созвездие показывает:
1 Количество информационных бит, передающихся при выбранном методе модуляции в одном канальном символе.
2 Помехоустойчивость метода модуляции при заданном комплексе по- мех - не пересекаются ли области

размытия

точек на комплексной плоскости.
3 Сложность перехода от одного состояния к другому. Как правило,
чем существеннее переход, тем резче меняется форма сигнала и вы- ше вероятность каких-либо побочных искажений.
9
К сожалению, сигнальное созвездие адекватно характеризует лишь АМ,
ФМ и АФМ-модуляцию. Действительно, при изменении частоты синусои- ды f(U(t)) по закону модулирующего сигнала U(t) получаем, что вектор
8
Сигнал, соответствующий каждому из m = 1 . . . M , называется канальным символом.
9
Пример подобных искажений - паразитная АМ, происходящая при ФМ с дискретным сдвигом.
117