ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2023
Просмотров: 121
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
потока вероятность поступления Z вызовов за время t определяется сле- дующим образом:
P (t, Z) =
(λt)
Z
Z!
e
−λt
,
(9.1)
где λ - интенсивность потока вызовов (мат. ожидание числа вызовов за единицу времени t.)
Для пуассоновского потока вызовов выполняется условие равенства мат. ожидания µ и дисперсии σ процесса:
µ = D
µ
= λt.
(9.2)
На следующем рисунке приведены графики распределения Пуассона для трех типичных случаев:
1 λ = 20 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 4 эрл.
2 λ = 30 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 6 эрл.
3 λ = 40 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 8 эрл.
Рис. 9.4: Распределения Пуассона для различных типов траффика
Следующий вопрос, возникающий при анализе АССиПД - опреде- ление вероятностных характеристик продолжительности обслуживания вызовов. В рамках теории массового обслуживания для случая пуассонов- ского потока продолжительность обслуживания одного вызова τ (дли- тельность одного канала связи) является непрерывной случайной вели- чиной, описываемой экспоненциальным распределением:
W (τ ) =
1
T
e
−τ
T
, τ ≥ 0,
(9.3)
95
P (t, Z) =
(λt)
Z
Z!
e
−λt
,
(9.1)
где λ - интенсивность потока вызовов (мат. ожидание числа вызовов за единицу времени t.)
Для пуассоновского потока вызовов выполняется условие равенства мат. ожидания µ и дисперсии σ процесса:
µ = D
µ
= λt.
(9.2)
На следующем рисунке приведены графики распределения Пуассона для трех типичных случаев:
1 λ = 20 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 4 эрл.
2 λ = 30 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 6 эрл.
3 λ = 40 вызовов-час; T = 0, 2 ч. и λt = 8 эрл.
Рис. 9.4: Распределения Пуассона для различных типов траффика
Следующий вопрос, возникающий при анализе АССиПД - опреде- ление вероятностных характеристик продолжительности обслуживания вызовов. В рамках теории массового обслуживания для случая пуассонов- ского потока продолжительность обслуживания одного вызова τ (дли- тельность одного канала связи) является непрерывной случайной вели- чиной, описываемой экспоненциальным распределением:
W (τ ) =
1
T
e
−τ
T
, τ ≥ 0,
(9.3)
95
при этом мат. ожидание M(τ) = T, D(τ) = T
2
, т.е среднее совпадает с про- должительностью обслуживания одного вызова. На следующем рисунке приведен график экспоненциального распределения продолжительности обслуживания для T
1
= 0, 1
ч.; ;T
2
= 0, 2
ч.; ;T
3
= 0, 3
ч.
Рис. 9.5: Продолжительность обслуживания для различных типов траффика
Вероятность поступления Z вызовов P (t, z) в течение промежутка времени t достигает наибольшего значения при t =
Z
λ
, где Z = 0, 1, 2 и т.д.
Она может рассматриваться как вероятность одновременного занятия Z
коммутационных ячеек (например, каналов базовой станции), через кото- рые проходят вызовы с интенсивностью λ и средней продолжительностью каждого вызова t.
9.2.3
Потоки вызовов в системах АССиПД
Системы АССиПД являются системами с т.н. симметричным пото- ком с простым последействием. Потоком вызовов с простым после- действием называется ординарный поток, для которого в любой момент времени T отсутствует условный параметр, зависящий только от состо- яния системы обслуживания обслуживания в момент T и от характери- стик вызова. Такой поток не является стационарным. Симметричным потоком вызовов называется поток вызовов с простым последействием,
зависящий только от числа вызовов Z, обслуживаемых в данный момент.
В симметричном простейшем поток параметр λ пропорционален числу независимых и свободных на данный момент абонентов N.
Для данных допущений возможно сформировать интегральную ха- рактеристику АССиПД в рамках теории телетраффика - уровень об-
96
2
, т.е среднее совпадает с про- должительностью обслуживания одного вызова. На следующем рисунке приведен график экспоненциального распределения продолжительности обслуживания для T
1
= 0, 1
ч.; ;T
2
= 0, 2
ч.; ;T
3
= 0, 3
ч.
Рис. 9.5: Продолжительность обслуживания для различных типов траффика
Вероятность поступления Z вызовов P (t, z) в течение промежутка времени t достигает наибольшего значения при t =
Z
λ
, где Z = 0, 1, 2 и т.д.
Она может рассматриваться как вероятность одновременного занятия Z
коммутационных ячеек (например, каналов базовой станции), через кото- рые проходят вызовы с интенсивностью λ и средней продолжительностью каждого вызова t.
9.2.3
Потоки вызовов в системах АССиПД
Системы АССиПД являются системами с т.н. симметричным пото- ком с простым последействием. Потоком вызовов с простым после- действием называется ординарный поток, для которого в любой момент времени T отсутствует условный параметр, зависящий только от состо- яния системы обслуживания обслуживания в момент T и от характери- стик вызова. Такой поток не является стационарным. Симметричным потоком вызовов называется поток вызовов с простым последействием,
зависящий только от числа вызовов Z, обслуживаемых в данный момент.
В симметричном простейшем поток параметр λ пропорционален числу независимых и свободных на данный момент абонентов N.
Для данных допущений возможно сформировать интегральную ха- рактеристику АССиПД в рамках теории телетраффика - уровень об-
96
служивания
, смысл которой и способы определения рассматриваются в следующей лекции.
97
, смысл которой и способы определения рассматриваются в следующей лекции.
97
Лекция 10
Уровень обслуживания. Модели
Эрланга
10.1 Интегральная оценка АССиПД
Адекватная интегральная оценка АССиПД при заданных парамет- рах качества обслуживания и при известных технических и статистиче- ских характеристиках системы связи является необходимой при проекти- ровании системы связи. Представим методы расчета данной оценки исхо- дя из рассмотренных основ теории телетраффика.
10.1.1
Уровень обслуживания в системах АССиПД
Для общей характеристики системы связи в рамках теории те- летраффика вводится понятие уровень обслуживания (GOS
1
. GOS - это мера доступа к каналу в систем с концентрацией нагрузки в часы наибольшей нагрузки
2
. Уровень обслуживания представляет собой качественную меру, используемую для определения вероятности получе- ния доступа к каналу при известном количестве каналов в сотовой си- стеме. Данный параметр является одним из основных параметров и кри- териев оценки при разработке АССиПД и проведении их ЧТП. Обычно
GOS выражается в виде блокировки (отказа), т.е. вероятности того, что желающий установить соединение пользователь столкнется с отсутствием свободного канала, или что время ожидания свободного канала превысит установленный предел. В общем виде функция Эрланга (функция опре-
1
GOS - англ. Grade of Service - уровень обслуживания.
2
С максимальной загрузкой по траффику и-или количеству абонентов, смотря что явля- ется более критичным для функционирования рассматриваемой АССиПД.
98
деления GOS) выглядит следующим образом:
GOS = P (N ) =
(λt)
N
N !
P
0
,
(10.1)
где P (N) - вероятность отказа из-за того, что все каналы заняты; P
0
- вероятность того, что все каналы свободны.
10.1.2
Модели обслуживания для систем АССиПД
Для АССиПД традиционно применяются три модели систем сотовой связи - модели Эрланга A,B и С
3
. Во всех указанных моделях поток вызо- вов подчиняется распределению Пуассона, а продолжительность вызова - экспоненциальному распределению. Указанные модели отличаются типом обработки вызовов, поступивших в моменты времени, когда все каналы заняты.
1 Модель Эрланга А - система с ограничением времени ожидания и времени обслуживания - система с очередностью обслуживания.
Вызовы при занятых каналах становятся в очередь и ждут освобож- дения канала ограниченное время. Данная модель используется при проектировании сотовых сетей связи.
2 Модель Эрланга B - система с отказами; вызовы при занятых каналах связи аннулируются. Данная модель используется при про- ектировании сотовых сетей связи.
3 Модель Эрланга C - система с ожиданиями; вызовы при за- нятых каналах становятся в очередь и ждут освобождения канала неопределенно долгое время. Данная модель используется при про- ектировании транкинговых сетей связи.
Все указанные модели починяются следующим дополнительным услови- ям:
• Количество (размер множества) абонентов бесконечно велико.
• Интервалы между вызовами случайны.
• Длительность вызовов случайна.
3
В практике проектирования АССиПД наиболее часто применяются модели B и С.
99
GOS = P (N ) =
(λt)
N
N !
P
0
,
(10.1)
где P (N) - вероятность отказа из-за того, что все каналы заняты; P
0
- вероятность того, что все каналы свободны.
10.1.2
Модели обслуживания для систем АССиПД
Для АССиПД традиционно применяются три модели систем сотовой связи - модели Эрланга A,B и С
3
. Во всех указанных моделях поток вызо- вов подчиняется распределению Пуассона, а продолжительность вызова - экспоненциальному распределению. Указанные модели отличаются типом обработки вызовов, поступивших в моменты времени, когда все каналы заняты.
1 Модель Эрланга А - система с ограничением времени ожидания и времени обслуживания - система с очередностью обслуживания.
Вызовы при занятых каналах становятся в очередь и ждут освобож- дения канала ограниченное время. Данная модель используется при проектировании сотовых сетей связи.
2 Модель Эрланга B - система с отказами; вызовы при занятых каналах связи аннулируются. Данная модель используется при про- ектировании сотовых сетей связи.
3 Модель Эрланга C - система с ожиданиями; вызовы при за- нятых каналах становятся в очередь и ждут освобождения канала неопределенно долгое время. Данная модель используется при про- ектировании транкинговых сетей связи.
Все указанные модели починяются следующим дополнительным услови- ям:
• Количество (размер множества) абонентов бесконечно велико.
• Интервалы между вызовами случайны.
• Длительность вызовов случайна.
3
В практике проектирования АССиПД наиболее часто применяются модели B и С.
99
• Время установления соединения ничтожно мало.
• Вызов, поступивший первым в очередь, первым же ее и покидает.
• Ресурсы предоставляются в соответствии с порядком поступления запроса.
10.1.3
Модель Эрланга A - система с очередностью обслуживания
В системе, описываемой моделью Эрланга А вызов, поступивший в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но при этом время ожидания не превышает среднего времени обслуживания. Если в течении этого времени хотя бы один канал АССиПД освобождается, находящийся первым в очереди вызов его занимает. С учетом указанной детализации,
вероятность отказа в данной системе согласно общей формуле Эрланга:
GOS
A
= P
A
(Z, N, T ) =
∞
X
Z=N
A
Z!
e
−A
,
(10.2)
где A = λT - средний траффик системы (эрл).
10.1.4
Модель Эрланга B - система с отказами
Система с отказами является наиболее распространенным типом АС-
СиПД. Для систем такого рода формула Эрланга для определения веро- ятности отказа в обслуживании выглядит следующим образом:
GOS
B
= P
B
=
A
N
N ! ·
P
N
Z=0
A
Z
Z!
=
(λT )
N
N !
P
N
Z=0
(λT )
Z
Z!
(10.3)
Данное выражение показывает, что отказы появляются, когда число од- новременно поступающих вызовов Z превосходит количество каналов N.
Из формулы 10.3 возможно вывести несколько следствий:
1 Вероятность того, что вызов будет блокирован:
P
B
=
A
N
N !
P
N
Z=0
A
Z
Z!
(10.4)
100
2 Вероятность того, что все каналы будут свободны:
GOS
B
0
= P
B
0
=
1
P
N
Z=0
A
Z
Z!
=
1
P
N
Z=0
(λT )
Z
Z!
(10.5)
3 Вероятность того, что заняты будут K каналов:
GOS
B
K
= P
B
K
=
P
B
0
A
K
K!
=
P
B
0
(λT )
K
K!
(10.6)
4 Среднее число занятых каналов:
µ
B
= P
B
0
N
X
Z=1
A
Z
(Z − 1)!
= P
B
0
N
X
Z=1
(λT )
Z
(Z − 1)!
(10.7)
10.1.5
Модель Эрланга C - система с ожиданиями
Наконец, для системы с ожиданиями, формула Эрланга определяет вероятность задержки обслуживания (т.е. вероятность постановки в оче- редь:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
GOS
C
= P
C
(Z, N, T ) =
A
N
N !·(N −A)
P
N −1
Z=0
A
Z
Z!
+
A
N
N !(N −A)
(10.8)
Аналогично модели B выведем основные следствия данной формулы:
1 Вероятность того, что вызов будет удержан (поставлен в очередь):
P
q
=
A
N
A
N
+ C! 1 −
A
C
P
N −1
Z=0
A
Z
Z!
(10.9)
2 Вероятность того, что все каналы будут свободны:
GOS
0
= P
0
Z, N, T =
1
P
N −1
Z=0
A
Z
Z!
+
A
N
N !(N −A)
(10.10)
3 Вероятность того, что заняты будут K каналов:
GOS
K
= P
K
(Z, N, T ) =
P
C0
A
K
K!
(10.11)
101
4 Среднее число занятых каналов:
µ
C
= P
C0
N
X
Z=1
A
Z
(Z − 1)!
(10.12)
5 Вероятность того, что удержанный вызов будет находиться в очере- ди более, чем время T, составляет:
P
d t>T
= e
−(N −A)·
t tav
,
(10.13)
где t av
- среднее время удержания канала в пересчете на одного абонента (в час наибольшей нагрузки).
6 В свою очередь, вероятность того, что любой вызов будетнаходиться в очереди более, чем время T, составляет:
P
any t>T
= P
d t>T
· e
−(N −A)·
t tav
,
(10.14)
Данную величину также часто принимают за количественную характеристику качества обслуживания
Рассмотренные аналитические выражения являются неудобными, поэто- му на практике используют табулированные значения данных формул.
Пример таблицы значений формул Эрланга для распространенных си- стемных параметров приведен далее.
Рис. 10.1: Табулированные значения для моделей Эрланг B, C
102
Рассмотренных в данной и предыдущей теме сведений достаточно для проведения упрощенного проектирования АССиПД для заданных эксплуатационных параметров.
103
Тема IV
Основы приема и передачи данных по каналам связи
104
Лекция 11
Дискретизация, квантование,
низкочастотная модуляция
Абсолютное большинство существующих телекоммуникационных си- стем работает с данными в т.н. цифровой форме - их представлением в виде последовательности бит. В свою очередь, все существующие физи- ческие процессы (речь, изображение и пр. типы данных) являются непре- рывными, аналоговыми. Таким образом, первоначальным
1
является во- прос о адекватном преобразовании физических, аналоговых процессов в цифровую форму.
11.1 Преобразование аналоговых процессов в цифровую форму
Первоначально введем определение сигнала, являющееся одним из основных для всех отраслей науки и техники, связанной с хранением,
передачей и преобразованием информации.
11.1.1
Классификация типов сигналов
Сигналом называется функция времени, значениями которой представляют собой состояние некоторого физического процесса в дан- ный момент времени.
. Рассмотрим базовую классификацию типов сиг- налов:
1 Аналоговым (непрерывным) сигналом называется сигнал,
непрерывный в своей области определения.
1
И одним из самых важных!
105
2 Дискретным сигналом называется сигнал, область определе- ния которого представляет собой конечное множество точек - дискретных значений времени.
3 Квантованным сигналом называется сигнал,
об- ласть возможных значений которого представляет собой конечное множество точек - квантованных возможных значений сигнала.
4 Цифровым сигналом называется сигнал, дискретизированный по времени и квантованный по значениям.
11.1.2
Дискретизация непрерывного сигнала
Процессом дискретизации называется процесс отображения непре- рывного сигнала в соответствующий ему дискретный, т.е. представленный в виде конечного множества отдельных отсчетов
2
для некоторых момен- тов времени.
Равномерной дискретизацией называется дискретизация с фик- сированным временным шагом τ
sample между отсчетами.
3
В противном случае дискретизация является неравномерной. Процесс дискретиза- ции непрерывного сигнала отображен на рис. ниже.
Рис. 11.1: Процесс дискретизации непрерывного сигнала
2
Мгновенных значений исходнго сигнала; англ. эквивалент - sample.
3
Детально процессы преобразования из непрерывного сигнала в цифровую форму рас- сматриваются в курсе
Теория информации и кодирования.
106
11.1.3
Квантование сигнала
Кроме операции дискретизации для представления исходного непре- рывного сигнала в виде дискретного сообщения производится также опе- рация квантования:
Квантование
- операция разбиения диапазона значений непрерыв- ного или дискретного сигнала на конечное число интервалов.
Простейшим видом квантования является равномерное квантова- ние, когда область значения исходной функции разбивается на конеч- ное множество равных интервалов, величина которых называется шагом квантования и для каждого входного значения выбирается ближайшее квантованное. Результат совместного использования операций дискрети- зации и квантования и позволяет получить цифровое представление ис- ходного аналогового сигнала.
Рис. 11.2: Представление аналогового сигнала в цифровой форме
11.2 Правомерность представления аналогового сигнала в цифровой форме
Исходный, аналоговый сигнал, представляет собой бесконечно боль- шое множество значений, определенных на бесконечном количестве то- чек временной оси. Существует ли способ адекватного и правомерного представления аналогового сигнала в цифровой форме? Да, существует;
при этом критерий правомерности представления, а также один из спосо- бов обратного преобразования (из дискретного сигнала в исходный ана- логовый) представлен в одной из основных теорем теории связи - Теоре- ме Котельникова
. Для дальнейшей формализации указанной теоремы определим такой термин, как спектр сигнала.
107