Файл: Методические указания по дисциплине Идентификация и диагностика систем к контрольной работе идентификация динамических систем по методу мнк.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 246
Скачиваний: 2
Рис. 1 Структурная схема задачи прямого моделированияОбратная задача моделирования (идентификация): известно значение сигнала управления на интервале времени и известна реакция системы на это управление – т.е. измеренный сигнал переходного процесса на выходе . Необходимо определить вид функции F (идентификация в большом) или параметры модели с (идентификация в малом). Для идентификации в малом необходимо построить алгоритм оценивания параметров модели на основе данных измерений входного и выходного сигналов модели. Рис. 2 Структурная схема идентификацииОдним из распространенных методов идентификации динамических систем является метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим динамическую систему, заданную дифференциальным уравнением (иначе - в виде передаточной функции): (1)( , - коэффициенты, , ) или в виде:где - оператор производной, Перепишем это уравнение, оставляя в левой части выходной сигнал :иначе:
(2)
где введены следующие обозначения: 
,
- вектор параметров, 
- вектор регрессионных переменных
По-сути мы получили модель в виде 
, при этом параметры описываются вектором 
, а функция 
описывает линейную зависимость между параметрами и производными входного и выходного сигналов. Запись модели в виде (2) называется записью в линейно-регрессионном виде.
При решении задачи идентификации, параметры модели (1) (и соответственно (2)) являются неизвестными и подлежащими определению. Пусть сигнал 
и регрессионные переменные 
- доступны к измерению (известны) на периоде 
. Будем искать оценку параметров 
. Для этого построим оценку выхода модели (2) с использованием оценки параметров 
и измеряемых регрессоров 
: 
. Запишем квадратичное уравнение невязки и будем искать его минимум:
Данная запись означает, что минимальное отклонение (по квадратичному критерию) измеряемого выхода от его оценки 
для всех значений времени 
достигается при точных оценках параметров 
.
Для поиска минимума критерия находим его производную по вектору 
и приравниваем его к нулю:
по правилу: 
()
отсюда по правилу дифференцирования сложных функций 
:
по правилу: 
и окончательно:
или в матричном виде (т.е. в виде системы линейных алгебраических уравнений):
(3)
где
(
означает запись симметричного относительно диагонали элемента).
.
Тем самым решение задачи идентификации по схеме МНК будет получаться на основе решения системы уравнений (3), которое дает искомые оценки вектора параметров 
в виде: 
, (4)
где 
- обратная матрица к 
.
Пример № 1. Пусть динамическая система задана уравнением второго порядка:
или в операторном виде:Оставляя в левой части переменную , запишем:или в линейно-регрессионном виде (2): ,Переходя к дискретному времени, получим: , Решающее уравнение схемы МНК запишется в виде , 2. Приведение модели системы к линейно-регрессионному видуДля использования схемы МНК необходимо уравнение модели привести к линейно-регрессионному виду (2): Необходимо отметить, что такое приведение всегда неоднозначно (может быть получено множеством способов).Отметим некоторые особенности построения схемы МНК:1) Приведение модели к линейно-регрессионному виду всегда начинается с составления уравнения модели, включающего только измеряемые переменные. В данном уравнении производится группировка относительно переменных, после чего выбирается выходная переменная , и формируется вектор регрессоров в правой части.Пример: в уравнении После группировки получаем ; Выбираем в качестве выходной переменную : ; Заметим, что в этом уравнении можно сгруппировать два последних слагаемых относительно общего параметра