Файл: Механика поступательного движения.pdf

Для нахождения доверительного интервала и доверительной вероятности необходимо установить закон, которому подчиняются случайные отклонения измеряемой величины от ее среднего арифметического значения. Этот закон – функция распределения,
или плотность вероятности величины х.
 
dx
dP
x
f

Зная
 
x
f
, можно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина будет иметь значение в интервале от
dx
x

до
dx
x

 
dx
x
f
dP

Кривая нормального распределения и ее физический
смысл
В лабораторном эксперименте проведено n измерений одной и той же физической величины и получены ее значения х
1
, х
2
, х
3
,...х
n
Отложив эти значения в виде точек на оси абсцисс (рис.1), получим на этой оси множество точек (если число измерений достаточно велико), причем их плотность в одних местах будет больше, в других меньше. Выделим на оси абсцисс равные интервалы Δx =
,
и сосчитаем, сколько точек попало в каждый интервал. Построив над каждым интервалом прямоугольник с высотой, равной
12
k
i
k
x
1
x
2
x
i
x
i
+
x
x
2 1
Рис. 1 Нормированная гистограмма
f(x
)
x-
 x x
i
x
i
+
x x
x-

Рис. 2 Кривая нормального распределения vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

количеству точек в данном интервале, получим ступенчатую кривую
(гистограмму).
Например, в выделенный интервал, заключенный между значениями х
i и х
i
+
, попало k
i точек и высота прямоугольника 1
равна k
i
Отношение площади выделенного прямоугольника к площади всех прямоугольников, т.е. k
i
/[(k
1
+ k
2
+ ... + k
n
)
] = k
i
/
n
 = k
i
/n, определяет вероятность того, что при проведении единичного измерения его результат окажется в интервале между х
i
и x
i
+
.
Гистограмму строят так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице (такая процедура называется нормировкой). Тогда вероятность попадания результата измерения в интервале от х
1
до х
2
равна суммарной площади прямоугольников,
заключенных между х
1
и х
2
Если неограниченно увеличивать число измерений n, а интервал
 устремить к нулю, то в пределе нормированная гистограмма перейдет в непрерывную кривую (рис.2), которую называют кривой нормального распределения. Функция распределения определяется формулой Гаусса
 


f x
x x


1 2
2 2
2



е
- ист
Физический смысл остается тем же: площадь под любым участком кривой нормального распределения равна вероятности
«попадания» результата измерения в интервал х, ограниченный этим участком.
Входящую в формулу Гаусса величину
 называют стандартным отклонением, а

2
- дисперсией измерения.
При достаточно большом числе измерений стандартное отклонение (или средняя квадратичная ошибка) определяется по формуле
1
)
(
1 2





n
x
x
n
i
i

13
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Средняя квадратичная ошибка
 используется, когда необходимо знать надежность полученных результатов.
В случае выполнения серии измерений, необходимо рассчитать средние арифметические
x
каждого отдельного измерения и их средние квадратичные погрешности
, а затем определить среднюю квадратичную погрешность серии независимых прямых измерений одной и той же величины
x
 по формуле
n
n
n
n
x










2 2
2 2
2 2
или средняя квадратичная ошибка среднего значения


 
1 1
2





n
n
x
x
n
i
i
x

где:
 - средняя квадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.
При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).
Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки.

превышает величины стандартного отклонения
(среднеквадратичной погрешности).
Доверительному интервалу от
x
 2
до

2

x
соответствует доверительная вероятность 95 %, а доверительному интервалу от

3

x
до
x
 3
- доверительная вероятность
99,7 %.
Если ограничится доверительной вероятностью 68 %, то величину стандартного отклонения
 используют для оценки случайной погрешности. При этом результат измерений величины х
должен быть представлен в виде x  .
Эта запись означает, что с вероятностью 68 % результат единичного измерения величины х окажется в интервале значений от (
x
 
) до (


x
).
Учет систематических ошибок
Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.
Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. У неэлектрических приборов, имеющих шкалу с делениями, принимают в качестве систематической ошибки половину цены деления прибора. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм. Приборы,
имеющие дополнительную шкалу (нониус) имеют точность измерений соответствующую дополнительной шкале. Например, для измерений штангенциркулем
–
0,1 – 0,05 мм;
микрометром – 0,01 мм.
На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Согласно ГОСТу, электроизмерительные приборы делятся по степени точности на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5;
4. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆х по формуле
100




ïð
x
x
15
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где К – класс точности прибора в процентах, x пр
– предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.
Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более
À
I
I
ïð
2 10 5
,
2 100 5
,
0 5
100









Среднее значение полной погрешности складывается из
случайной и систематической погрешности
2 2





ñèñò
ïîëí
Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде
ïîëí
x
x



Погрешность косвенного измерения
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются
косвенными.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть физическая величина
(x, y, z, ...) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, ..., каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины x y z
, , , ... и оцениваются их средние абсолютные погрешности
z
y
x



,
,
или средние квадратичные погрешности
,
,
,
z
y
x



Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины
 вычисляется по формуле
16
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943


















z
z
y
y
x
x




где
z
y
x









,
,
- частные производные от φ по x, y, z,
вычисленные для средних значений соответствующих аргументов.
Так как в формуле использованы абсолютные величины всех членов суммы, то выражение для


оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.
Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины

2 2
2 2
2 2































z
y
x
z
y
x








Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины

,
z
y
x
z
y
x



















где
x
x
x
x












и т. д.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность косвенных измерений

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность





Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
17
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

5. Формально заменить значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности
.
Затем, зная
, можно вычислить абсолютную погрешность
 по формуле
 = 
Пример 1. Вывод формулы для вычисления максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра.
Выражение для косвенного измерения физической величины
(исходная формула)
h
D
V




4 2
Величина диаметра D и высоты цилиндра h измеряются непосредственно приборами с погрешностями прямых измерений соответственно
 D и h.
Прологарифмируем исходную формулу и получим
4
n nh nD
2
n nV










Продифференцируем полученное уравнение
0 2
0




h
dh
D
dD
V
dV
Заменив значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности
, окончательно получим формулу для расчёта максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра
h
h
D
D
V
V





2
4. Правила представления результатов измерения

Результаты измерения принято представлять в виде






или







Погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
18
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

правильно –
 = 0,04,
неправильно –
 = 0,0382.
 Последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность: правильно –
 = 9,830,03,
неправильно –
 = 9,8260,03.
 Если результат имеет очень большую или очень малую величину,
необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата: правильно –
 = (5,270,03)10
-5
,
неправильно –
 = 0,00005270,0000003.
 Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g = (9,82
0,02) м/c
2
, неправильно – g = (9,82
0,02).
5. Правила построения графиков
1. Графики строятся с использованием компьютера.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией.
Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х), значения функции - на оси ординат (ось у).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. На осях координат указать масштаб (при очень больших или очень малых величинах, показательную часть в записи величины указать рядом с единицами измерений на оси).
6. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их
(крестиком, кружочком, жирной точкой).
7. Провести через экспериментальные точки плавную линию, в соответствии с выбранным законом аппроксимации экспериментальных данных, по методу наименьших квадратов.
19
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

6. Содержание отчета
Отчёт оформляется в печатном виде на листах формата А4 в соответствии с требованиями, предъявляемыми кафедрой ОТФ, в котором помимо стандартного титульного листа должны быть раскрыты следующие пункты:
I. Цель работы.
II. Краткое теоретическое содержание:
1. Явление, изучаемое в работе.
2. Определение основных физических понятий, объектов,
процессов и величин.
3. Законы и соотношения, описывающие изучаемые процессы, на основании которых получены расчётные формулы.
4. Пояснения к физическим величинам и их единицы измерений.
III. Схема установки.
IV. Расчётные формулы.
V. Формулы погрешностей косвенных измерений.
VI. Таблицы с результатами измерений и вычислений.
(Таблицы должны иметь номер и название. Единицы измерения физических величин должны быть указаны в отдельной строке.)
VII.Пример вычисления (для одного опыта):
1. Исходные данные.
2. Вычисления.
3. Окончательный результат.
VIII. Графический материал:
1. Аналитическое выражение функциональной зависимости,
которую необходимо построить.
2. На осях координат указать масштаб, физические величины и единицы измерения.
3. На координатной плоскости должны быть нанесены экспериментальные точки.
4. По результатам эксперимента, представленным на координатной плоскости, провести плавную линию,
20
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943