Файл: Механика поступательного движения.pdf

момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод оборотного маятника, который позволяет исключить момент инерции из расчетной формулы для g.
Метод оборотного маятника основан на том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за одну или другую, период колебаний его остается одним и тем же.
Расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину данного маятника.
Оборотный маятник (рис.1) состоит обычно из металлического стержня А, по которому могут передвигаться и закрепляться в том или ином положении грузы В
1
и В
2
и опорные призмы С
1
и С
2
. Центр масс маятника - точка О. Период колебаний маятника можно менять, перемещая грузы или опорные призмы. Маятник подвешивают вначале на призме С
1
и измеряют период его колебаний Т
1
. Затем маятник подвешивают на призме С
2
и измеряют период колебаний Т
2
Допустим, что нам удалось найти такое положение грузов,
при котором периоды колебаний маятников Т
1
и Т
2
на призме С
1
и С
2
совпадают, т.е.
T
T
T
J
mgl
1 2
1 1
2

 


2 2
2
mgl
J

(4)
Отсюда следует, что
2 2
1 1
4

T
mgl
J

,
2 2
2 2
4

T
mgl
J

(5)
По теореме Штейнера
;
2 1
0 1
ml
J
J


,
2 2
0 2
ml
J
J


(6)
где J
0
- момент инерции маятника относительно оси,
проходящей через его центр масс и параллельной оси качаний.
С учетом формул (5) и (6) можно записать


С
1
В
1
А
С
2
О
В
2
L

1

2
Рис.1 40
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Т=Т
1
=Т
2
Т
T
’
2
Т”
2
Т
min


2 2 
2
min

1

Рис.2


2 1
J
J


2 2
2 1
2 2
2 2
1 2
4 4
l
l
m
mgl
T
mgl
T





Следовательно
2 1
l
l
 =
2 2
4

g
T
Период колебаний физического маятника



g
l
l
T
2 1
2

g
L

2
(7)
Ускорение свободного падения
2 2
/
4
T
L
g


(8)
Формула (7) аналогична формуле (1) для математического маятника. Следовательно, L = l
1
+ l
2
- приведенная длина физического маятника, которая, как видно из рис.1, равна расстоянию между призмами С
1
и С
2
, в момент измерений когда
Т
1
= Т
2
. Это расстояние легко может быть измерено с большой точностью.
Чтобы пояснить процедуру достижения равенства периодов
Т
1
и Т
2
, исследуем, как зависит период колебаний от расстояния l
между центром масс и осью качаний маятника. Согласно формулам
(3) и (6), имеем
2 2
2 0
mgl
ml
J
mgl
J
T





(9)
Для определения минимума функции Т = f(l) (формула 9)
необходимо приравнять нулю её первую производную. Период колебаний будет минимален т. е.
Т = Т
min при l
min
=
m
J /
0
(рис.2).
При Т
 Т
min одно и то же значение Т достигается при двух разных значениях l; одно из них больше, а другое меньше l
min
. Эти значения l
1
и l
2
и входят в формулу для приведенной длины маятника L.
41
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Вначале измеряется период колебаний маятника Т
1
относительно призмы С
1
. Затем маятник переворачивается и измеряется период колебаний Т
2
относительно призмы С
2
. Если при этом получится
 
T
T
2 1
, то этому будет соответствовать
l
l
2 1
2

. И
для того, чтобы приблизить

T
2
и Т
1
, надо увеличить
l
2 1
. Для этого надо призму С
2
передвинуть от середины стержня к краю. Если получится

T
2
< Т
1
, то призму С
2
надо будет передвинуть к середине стержня.
Анализ точности измерения g методом оборотного маятника показывает, что погрешность измерения слабо зависит от точности,
с которой выполняется равенство Т
1
= Т
2
. Достаточно добиться того,
чтобы периоды оказались равны друг другу с точностью 0,5 %.
Кроме того, для получения достаточной точности измерения отношение l
1
/l
2
не должно быть слишком малым или слишком большим. Достаточно выполнить изменения в пределах 1,5 < l
1
/
l
2
< 3.
Описание установки
В основании 1 универсального маятника закреплена колонка 7,
на которой зафиксирован верхний кронштейн 4
и нижний кронштейн 9
с фотоэлектрическим датчиком 10 (рис.3). Отвинчивая винт 5, верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. С одной стороны кронштейна 4
находится математический маятник 2, с другой - на вмонтированных вкладышах оборотный маятник 8.
Длину математического маятника можно регулировать при помощи винта 3 и определять при помощи шкалы на колонке.



10 11 2
1 8
3 4
5 7
9 6
С
1
С
2
Рис.3 42
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором крепятся две призмы (ножа) С
1
и С
2
и два диска 6. На стержень через
10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояние между призмами). Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки. Фотоэлектрический датчик соединен с встроенным в основание универсальным электронным секундомером 11, который измеряет число колебаний
n и общее время этих колебаний t. Период колебаний T = t/n.
Порядок выполнения работы
I. Математический маятник.
1. Поместить математический маятник (2) между нижним кронштейном (9) и датчиком (10), повернув соответствующим образом верхний кронштейн. При этом черта на шарике маятника визуально должна быть продолжением черты на фотодатчике
(оптическая ось датчика проходит через шарик).
2. Отклонить маятник на угол 5
 (примерно) и придержать шарик рукой.
3. Привести маятник в движение, отпустив шарик.
4. Измерить время 10 колебаний (n=10).
5. Повторить пп.1-4 еще десять раз.
6. По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину маятника.
7. Результаты опыта записать в таблицу 1.
Таблица 1
Физ. величина
t
T
i
g
i
Ед. измерения
Номер опыта
1 2
…
n
II. Оборотный маятник
Измерение ускорения свободного падения g с помощью оборотного маятника сводится к измерению периодов колебаний
Т
1
и Т
2
соответственно на призмах С
1
и С
2
(рис. 3), их сравнительной
43
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

оценке, последующего подбора такого положения призм, при котором достигается равенство периодов, измерению расстояния L =
l
1
+ l
2
между призмами (рис. 1) и вычислению ускорения свободного падения.
1. Поместить оборотный маятник (8) между нижним кронштейном
(9) и датчиком (10), повернув верхний кронштейн на 180
.
2. Зафиксировать диски на стержне так, чтобы один из них находился вблизи конца стержня, а другой вблизи его середины.
3. Закрепить маятник на верхнем кронштейне на призме,
находящейся вблизи конца стержня (рис. 3), так чтобы другой конец стержня проходил через оптическую ось счётного устройства.
4. Отклонить маятник примерно на 5
 от положения равновесия и придержать его рукой.
5. Привести маятник в движение, отпустив его.
6. Измерить время t десяти колебаний маятника.
7. Определить период колебаний оборотного маятника T
1
по формуле: T
1
= t/n.
8. Снять маятник и закрепить его на второй призме.
9. Измерить период Т
2
, повторив пп.4-7.
10. Сравнить периоды Т
2
и T
1
(вместо периодов можно сравнивать времена). Если Т
2
> T
1
, вторую призму переместить в направлении диска, находящегося в конце стержня. Если Т
2
< T
1
, переместить призму в направлении середины стержня (положение дисков и первой призмы при этом не менять).
11. Измерить снова период Т
2 12. Сравнить периоды T
1
и Т
2 13. Положение второй призмы изменять до тех пор, пока значение периода Т
2
не станет равным значению периода T
1
с точностью до
0,5 %.
14. Измерить расстояние между призмами по числу нарезок,
которые нанесены через каждые 10 мм.
Обработка результатов измерений
1. Определить период колебаний математического маятника по формуле T = t/n.
44
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

2. Вычислить ускорение свободного падения для каждого измерения по формуле (2).
3. Вычислить среднее значение g ускорения свободного падения.
4. Определить период колебаний оборотного маятника по формуле
T = t/n.
5. Определить приведенную длину оборотного маятника L по измеренному расстоянию между призмами.
6. Вычислить ускорение свободного падения по формуле (8).
7. Вывести формулы максимальной абсолютной или среднеквадратической погрешности косвенных измерений (по указанию преподавателя), используя соответствующие зависимости для математического и оборотного маятника.
8. Окончательный результат записать в виде g
g g



или
g
g
g



Контрольные вопросы
1. Какое ускорение называют ускорением свободного падения?
2. Что такое математический маятник?
3. Что такое физический маятник?
4. Что называют периодом колебаний?
5. Что называют приведенной длиной оборотного маятника?
6. По какой формуле определяется период колебаний математического маятника?
7. По какой формуле определяется период колебаний оборотного маятника?
8. Почему с помощью маятников можно измерить ускорение свободного падения?
9. С чем связана погрешность определения g с помощью математического маятника?
С чем связана погрешность определения g с помощью оборотного маятника и, как ее устранить?
45
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

РАБОТА 4. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С
ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы - определить скорость полета пули с помощью крутильных колебаний баллистического маятника.
Теоретические основы лабораторной работы
Скорость полета пули может достигать значительной величины в зависимости от стреляющего устройства. Ее прямое измерение, то есть определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, в учебной лаборатории не представляется возможным.
Для лабораторной работы разработана методика косвенного измерения скорости полета пули с помощью баллистического маятника.
В основе эксперимента лежит явление неупругого соударения тел, в результате которого баллистический маятник совершает крутильные колебания.
Если летящая пуля испытывает неупругий удар с неподвижным телом большей массы, то скорость тела после удара будет существенно меньше первоначальной скорости пули и ее можно будет измерить достаточно простыми методами.
Баллистический
маятник
представляет собой два стержня 1,
подвешенных на вертикально натянутой проволоке 3 (рис.1). На стержнях закреплены мисочки с пластилином 2 и перемещаемые грузы 4. При попадании пули в мисочку с пластилином, маятник начинает поворачиваться вокруг своей вертикальной оси, совершая крутильные колебания.
При выводе расчётных формул использованы формулы для момента
1 2
2 3
4 4
Рис.1 46
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

инерции и периода крутильных колебаний физического маятника, а также законы сохранения момента импульса и полной механической энергии. Принято допущение при этом о малости неконсервативных сил.
На основании закона сохранения момента импульса можно написать


)
(
2
ml
J
l
m


,
(1) где m - масса пули;

- величина скорости пули; l - расстояние от оси вращения маятника до точки удара пули;
 - величина угловой скорости маятника; J - момент инерции маятника.
Согласно закону сохранения полной механической энергии при повороте маятника кинетическая энергия маятника переходит в потенциальную энергию закручивающейся проволоки


2
max
2 2
2 1
2 1


D
ml
J


,
(2)
где

max
- наибольший угол поворота маятника; D - модуль кручения проволоки.
Учитывая, что момент инерции пули
ml
2
существенно меньше момента инерции маятника J , из уравнений (1) и (2) получим
)
/(
2 2
2
max
2
l
m
J
D



(3)
Модуль кручения проволоки D можно определить, измерив период крутильных колебаний маятника Т.
При малых углах отклонения период крутильных колебаний маятника определяется по формуле
D
J
T
/
2


(4)
Модуль кручения проволоки
2 2
4
T
J
D


(5)
Подставив выражение (5) в уравнение (3), выразим величину скорости пули
DJ
ml
max



=
max
2


ml
J
T
(6)
47
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Чтобы исключить измерения момента инерции J, запишем периоды колебаний маятника Т
1
и Т
2
при различных положениях грузов R
1
и R
2
:
D
J
T
1 1
2


D
J
T
2 2
2


(7)
отсюда
2 2
2 1
2 1
T
T
J
J 
(8)
В силу того, что момент инерции величина аддитивная,
момент инерции баллистического маятника с грузами выразим в виде суммы
2 0
M
2 R
J
J


(9)
где М - масса двух неподвижных грузов; R - расстояние от центра масс груза до оси вращения; J
0
- момент инерции маятника без грузов.
Для различных положений грузов на расстояниях R
1
и R
2
: в первом положении
2 1
0 1
M
2 R
J
J


; во втором положении
2 2
0 2
M
2 R
J
J


Разность моментов инерции
)
M(
2 2
2 2
1 2
1
R
R
J
J



(10)
Решая уравнение (8) и (10) относительно J
1
найдем
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
1
)
(
2
T
T
T
R
R
M
J



(11)
Подставив в формулу (6) период T
1
и момент инерции J
1
для положения грузов на расстоянии R
1
, получим окончательную формулу для расчета величины скорости пули



2 2
2 1
2 2
2 1
1
max
4
R
R
T
T
l
m
T
M








(12)
48
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943