Файл: Компьютерные технологии и математическое.pdf

Министерство внутренних дел Российской Федерации
Нижегородская академия
О.Ю. Бубнова, С.В. Крыгин, А.И. Кульпанов, Н.А. Миронов, Т.Е. Чикина
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебно-практическое пособие
Нижний Новгород
НА МВД России
2022

2
УДК 304
ББК 73
К85
Рецензенты:
А.В. Богатырев, доктор экономических наук, доцент
(Нижегородская академия МВД России)
В.Ю. Карпычев, доктор технических наук, профессор
(ФКУ НПО «Специальная техника и связь МВД России»)
К85
Компьютерные технологии и математическое моделирование:
Учебно-практическое пособие / О.Ю. Бубнова, С.В. Крыгин,
А.И. Кульпанов, Н.А. Миронов, Т.Е. Чикина. – Н. Новгород:
Нижегородская академия МВД РФ, 2022. – 84 с.
Учебно-практическое пособие посвящено рассмотрению приемов использования компьютерных технологий при построении и обработки моделей.
В учебно-практическом пособии рассмотрены основы построения математических моделей разработаны практические задания и упражнения по освоению технологии использования компьютерных технологий при моделировании.
Пособие рекомендуется курсантам и слушателям Нижегородской академии МВД
России, изучающим дисциплины: «Компьютерные технологии и математическое моделирование», «Эконометрика» и может быть использован для самостоятельного изучения основ компьютерного моделирования.
© Нижегородская академия МВД России, 2022

3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..................................................................................................... 5 1. Введение в математическое и компьютерное моделирование ......... 6 1.1. Понятие, классификация и свойства моделей ............................. 6 1.2. Классификация моделей ................................................................ 9 1.3. Свойства моделей ......................................................................... 15 1.4. Моделирование............................................................................. 17 2. Парная регрессия и корреляция ......................................................... 29 2.1. Выбор формы уравнения регрессии. Выборочное уравнение парной линейной регрессии ......................................................................... 29 2.2. Метод наименьших квадратов, его суть и применение для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии .............................. 34 2.3. Средняя ошибка аппроксимации ................................................ 38 2.4. Индексы корреляции и детерминации для парной нелинейной регрессии, их смысловое значение, оценки и значимость ........................ 42 3. Моделирование временных рядов ..................................................... 47 3.1. Моделирование временного ряда. Основные элементы и характеристики временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели. ............................................................................................................ 47 3.2. Основные этапы анализа временных рядов: ............................. 48 3.3. Задачи прогнозирования с помощью временных рядов. ......... 49 3.4. Примеры решения типовых задач по временным рядам: ........ 53 4. Компьютерное моделирование экономических и физических процессов ............................................................................................................ 60 4.1. Компьютерная модель свободного падения тела. .................... 60

4 4.2. Компьютерная модель колебаний маятника. ............................ 63 4.3. Компьютерная модель полета тела, брошенного под углом к горизонту. ....................................................................................................... 68 4.4. Модели развития популяции ...................................................... 71 4.5. Компьютерные модели систем массового обслуживания ....... 74
Заключение .............................................................................................. 83
Список использованных источников .................................................... 84

5
Введение
В настоящее время задачи, решаемые в различных областях науки и практики, требуют учета большого количества разнообразных факторов, поэтому получение результата в разумные сроки зачастую практически невозможно без использования математического моделирования исследуемых процессов. В свою очередь сами модели становятся настолько сложны, что для построения и особенно для их обработки требуется использовать современные компьютерные технологии и вычислительные мощности.
В деятельности органов внутренних дел при анализе оперативной обстановки, выявлении возможных изменений отдельных показателей преступности, прогнозировании количества преступлений также невозможно обойтись без моделирования преступной деятельности.
В данном пособии рассматриваются теоретические основы математического моделирования и практические задачи использования компьютерных технологий при обработке моделей.

6
1. Введение в математическое и компьютерное моделирование
1.1. Понятие, классификация и свойства моделей
Термин «модель» берет свое начало от латинского слова modulus, что означает мера, образец или норма. Термин модель широко стал использоваться в ХХ веке в различных сферах деятельности человека, отсюда и многообразие трактовок данного термина:

объект (макет) образец будущего изделия, с которого снимаются геометрические размеры для воспроизведения аналогичного объекта из другого материала (макет изделия из гипса, глины и т.п.) (рисунок 1);
Рисунок 1

изображаемый объект, натурщик, позирующий художнику
(рисунок 2);

7
Рисунок 2

объект, имитирующий строение или сооружение, механизм, предназначенный зачастую для визуализации или производственных испытаний. Например, модель гидроэлектростанции (рисунок 3);
Рисунок 3

аналог какого-либо процесса или явления (график, схема, чертеж). Например, процесс круговорота воды в природе (рисунок 4);

8
Рисунок 4.

тип какого-либо изделия (модель автомобиля, модель одежды), например автомобиль производства Волжского автомобильного завода, модели 2107 (рисунок 5).
Рисунок 5
Несмотря на множество смысловых значений, первоначальная область использования этого термина – строительство, где «модель» употреблялась для обозначения прообраза или объекта по тем или иным характеристикам сходным с другим объектом.

9
Помимо, описанных выше материальных моделей, существуют модели, представляющие отражение в мышлении человека, реальных объектов в виде мысленных образов.
Модель – создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.
Отличительной особенностью любой модели будет то, что она нетождественна оригиналу. Это обусловлено тем, что создатель модели учитывал лишь некоторые, важные с его точки зрения особенности оригинала. Поэтому любая модель является неполной.
1.2. Классификация моделей
Модели можно классифицировать по нескольким признакам:

по форме представления;

по поведению во времени.

10
Классификация по форме представления (рисунок 6)
Рисунок 6
Материальные – отражают геометрические и физические особенности оригинала и всегда имеют реальное воплощение, то есть, осязаемы (модели транспортных средств, летательных аппаратов и др.).
Геометрические модели – это модели геометрически подобные, воспроизводящие пространственно-геометрические характеристики оригинала (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.). Зачастую геометрические модели выполняются в масштабе. Слишком большие объекты представляют в уменьшенном масштабе, например модели зданий и сооружений (рисунок 7).
Модели
Материальные
Геометрические
Физические
Информационные
Вербальные
Знаковые
Математические
Графические
Табличные

11
Рисунок 7
А слишком маленькие в увеличенном масштабе – модели молекул, атомов и т.п. (рисунок 8).
Рисунок 8
Физические модели – это модели, которые помимо геометрического подобия с оригиналом, подобны ему и с точки зрения протекающих в них физических процессов. Примером физической модели являются гидродинамические модели судов, модели летательных аппаратов и

12 транспортных средств, используемые для продувки в аэродинамических трубах (рисунок 9).
Рисунок 9
Информационные модели представляют собой обобщение всей информации, о свойствах и состоянии оригинала, а также их взаимосвязь с внешним миром. Эти модели не имеют материального воплощения, а имеют лишь абстрактную аналогию с оригиналом.
Вербальные – словесно описанные на естественном языке. Зачастую вербальная модель получается в ходе рассуждений и умозаключений человека. Воспоминания человека о просмотренных кинофильмах или прочитанных книгах, это и есть вербальные образы этих кинофильмов и книг.
Знаковые – выраженные посредством специальных символов и знаков, то есть, используя символы любого формального языка.
Знаковые модели можно классифицировать следующим образом:
Математические модели – это модели, описанные математическими методами, представляющие отношения между параметрами объекта

13 моделирования. Например, уравнение затухающих колебаний (рисунок
10).
Рисунок 10
Графические модели представляют собой карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы. Например, схема электрической цепи (рисунок 11).
Рисунок 11
Табличные модели представлены в виде таблиц, двоичных матриц и т.д.
Классификация моделей по поведению во времени (рисунок 12)
Рисунок 12
Модели
Статические
Динамические

14
Модель называется статической, когда входные и выходные данные объекта постоянны во времени. Статическая модель описывает состояние объекта в конкретный фиксированный момент времени. Например, статическая модель ядерного взрыва (рисунок 13).
Рисунок 13
Отличительная особенность динамической модели, заключается в том, что она может отследить или спрогнозировать изменение объекта во времени. В качестве примера динамической модели можно привести процесс роста растений (рисунок 14)
Рисунок 14

15
Применяя динамические модели можно рассчитывать планы и программы работы производственных организаций, прогнозировать работу автоматизированных систем.
Для математического описания динамических моделей используются системы линейных дифференцированных уравнений.
1.3. Свойства моделей
Рисунок 15
Свойства модели
Точность
Экономичность
Адекватность
Универсально сть
Адаптивность
Устойчивость
Непротивореч ивость
Целенаправле нность
Простота

16
Универсальность. Свойство, дающее возможность описания с помощью одной модели как можно большего числа объектов.
Адаптивность или возможность редактирования. Свойство, предоставляющее возможность совершенствования модели, с целью ее улучшения, при изменении некоторых параметров.
Устойчивость. Свойство, характеризующее низкую чувствительность к погрешностям, используемых параметров.
Непротиворечивость. Говорит об отсутствии противоречий между выводами, полученными в результате реализации модели и выводами, полученными экспериментально.
Целенаправленность. Говорит об обязательном присутствии в модели параметров описывающих цель моделирования, а также параметров, изменения которых приводят к достижению целей моделирования.
Простота. Модель, дающая возможность достижения необходимого результата за аналогичное время с аналогичной точностью при учете меньшегоколичества факторов в расчѐтах, будет считаться простой.
Точность характеризуется величинами систематических и случайных погрешностей, которые влияют на выходные данные. Достаточная точность результатов решения задачи, говорит о надежности функционирования модели.
Экономичность. Создание и дальнейшая реализация модели сопровождается затратами временных (время необходимое для проведения расчетов) и вычислительных ресурсов. Данное свойство предполагает минимизацию описанных выше затрат.
Адекватность модели представляет собой собирательное свойство, которое, по сути, объединяет ряд ранее описанных свойств. При условии удовлетворения свойств модели заданным требованиям, ее считают адекватной объекту, если нет, то модель не адекватна. Процесс

17 определения адекватности сложная задача, для еѐ выполнения необходимызначительные вычислительные затраты, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров.
1.4. Моделирование
Познание действительности довольно сложно представить без моделирования. Тем не менее моделирование далеко не единственный метод изучения закономерностей окружающего мира. Изучению познавательных подходов научного исследования посвящена целая область знания – методология.
Из общефилософских методов познания в первую очередь можно выделить два: диалектический и метафизический. Диалектический метод, исходя из принципа всеобщей взаимосвязи предметов и процессов в окружающем мире, с середины XIX века стал все сильнее вытеснять метафизический.
Общенаучные методы и их классификация неразрывны с понятием уровней научного познания. Научное познание включает в себя два основных уровня: эмпирический и теоретический.
Некоторые общенаучные методы применяются только на эмпирическом уровне познания, например наблюдение и измерение, а некоторые – только на теоретическом, например идеализация и формализация.
Тем не менее, существуют такие общенаучные методы, которые применяются и на эмпирическом и на теоретическом уровне. Одним из таких общенаучных методов познания являетсямоделирование.
В научных исследованиях метод моделирования применялся еще в глубокой древности, но постепенно применение этого метода охватывало все новые области знаний: строительство, архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию, техническое проектирование и,