Файл: Компьютерные технологии и математическое.pdf

64
Тогда смещение груза x(t) от положения равновесия в момент времени t, скорость движения груза V(t) и его ускорение a(t) можно определить по следующим формуле:
( )
(√
)
( )
√
(√
)
( )
(√
)
Следует отметить, что данные формулы будут справедливы для движения груза без учета сопротивления, а, следовательно, без затуханий.
Для определения периода колебаний Tичастоты колебаний f следует использовать формулы:
√
√
Задача 2. Определить период и частоту колебания груза массой 2900 грамм, прикрепленного к пружине, жесткостью 120 Н/м, находящегося на расстоянии 50 см от начала отсчета. Постройте графики смещения груза, изменения его скорости и ускорения.
Период и частоту колебаний следует определить из приведенных выше формул. Исходные данные: m = 2900 гр = 2,9 кг k= 120 Н/м x
0
= 50 см = 0,5 м

65
Произведем расчет:
√
√
√
√
Для построения графиков необходимо рассмотреть процесс колебаний в течении какого-то промежутка времени, например, в течение
10 секунд. Тогда определим ∆t = 10/100 = 0,1 c.
Подготовим расчетную таблицу (рисунок 26).
Рисунок 26
В ячейку A3введите формулу:
=A2+$E$2
Используя маркер заполнения скопируйте формулу в ячейки
A4:A102.
Введите формулу и скопируйте ее в ячейки B3:B102 ячейку
B2введите формулу:
=0,5*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2)
Выделите диапазон A2:B102 и постройте график изменения положения груза относительно начала координат. Оформите график в соответствии с образцом (рисунок 27).

66
Рисунок 27
Рассчитаем скорость груза в каждый момент времени. Для этого в ячейку C2 введем формулу расчета скорости:
=0,5*КОРЕНЬ(120/2,9)*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2+3,14/2)
В ячейку D2введем формулу ускорения:
=0,5*120/2,9*COS(КОРЕНЬ(120/2,9)*A2+3,14)
Используя маркер заполнения скопируйте полученные формулы для каждого отчета времени.
Постройте графики изменения скорости и ускорения за 10 секунд.
Результаты построения сверьте с образцами (рисунок 28 и рисунок 29).

67
Рисунок 28
Рисунок 29
В начальном положении пружина растянута и груз сдвинут на максимальное расстояние относительно начала отсчета. Расстояние x
0
– положительное число и движение груза начнется по направлению сжатия пружины. Поэтому, на графиках мы можем наблюдать отрицательную скорость и отрицательное ускорение.
-4
-3
-2
-1 0
1 2
3 4
0 2
4 6
8 10 12
V(
t)
- ско р
ость t - время в секундах
График изменения скорости во времени
-25
-20
-15
-10
-5 0
5 10 15 20 25 0
2 4
6 8
10 12
a(t
)
- уск о
р ен ие t - время в секундах
График изменения ускорения во времени

68
4.3. Компьютерная модель полета тела,
брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим математическую модель полета тела, брошенного под углом к горизонту. Движение тела происходит по параболе.
Коэффициенты квадратного выражения, а также сами координаты можно определить из следующих уравнений:
( )
( )
( )
При рассмотрении модели полета тела, брошенного под углом к горизонту, следует рассчитать важные константы, зависящие от начальной скорости V
0
и начального углаα–максимальная высота подъема тела h max
, дальность полета тела S
max и время продолжительности полетаt max
:

Задача 3. Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту, с начальной скоростью 20 метров в секунду. Определите максимальную высоту подъема тела,дальность полета тела ивремя продолжительности полета. Постройте траекторию движения тела y(x) и исследуйте как изменится траектория движения при начальных углах 30 и 45 градусов и той же начальной скорости.
Определим максимальную высоту подъема тела, дальность полета тела и время продолжительности полета:

69
( )
( )
( )
Для моделирования процесса полета тела разобьем время полета на временные интервалы ∆t = 0,01t max
.Подготовьте таблицу по образцу
(рисунок 30).
Рисунок 30
Скопируйте введенную формулу в ячейки A3:A101.В столбце
Bрассчитаем координату xв каждый момент времени t:
( )
Для этого в ячейку B1 введем формулу:
=20*A1*COS(ПИ()/3)
Формула приняла такой вид за счет вычисления угла в радианах, где
ПИ радиан соответствуют 180 градусам. Скопируем формулу до ячейки
B101. Конечное значение равно 35,3 – что совпадает с определением максимальной дальности полета. Зная координату xв каждый момент времени можно определить траекторию движения y(x). Для этого в ячейку
C1вводим:
=B1*TAN(ПИ()/3)-9,8*B1^2/(2*20^2*(COS(ПИ()/3))^2)

70
После копирования формулы через маркер заполнения выделите ячейки B1:C101 и постройте траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту. Приведите диаграмму к образцу
(рисунок 31).
Рисунок 31
Для определения траектории полета тела, брошенного под углом 45 градусов в ячейку D1введите:
=20*A1*COS(ПИ()/4)
И в ячейку E1:
= D1*TAN(ПИ()/4)-9,8*D1^2/(2*20^2*(COS(ПИ()/4))^2)
Сравните формулы траекторий движения при углах 60 и 45 градусов и самостоятельно постройте траекторию движения тела, брошенного под углом 30 градусов (рисунок 32).
Анализируя полученные графики можно сделать вывод о том, что чем больше угол к горизонту – тем тело поднимается выше, а дальность полета, наоборот, уменьшается.

71
Рисунок 32
4.4. Модели развития популяции
Рассмотрим модель неограниченного роста численности популяции, известной как модель Мальтуса. Данная модель связывает коэффициенты рождаемости η и смертности θ с численностью популяции N(t) в определенный момент времени. N(0) = N
0
– численность популяции в момент времени t =0. Зависимость численности популяции от времени задается следующей формулой:
( )
( )
Следует отметить, что в случае если коэффициент рождаемости равен коэффициенту смертности, то N(t) = N
0
и численность во времени не изменяется.

72
Задача 4. Построить график зависимости численности популяции при коэффициенте рождаемости η = 1,34 и коэффициенте смертности θ =
1,24 за 30 лет. Сделайте вывод. На том же графике отобразите зависимость при других коэффициентах: η = 1,38 и коэффициенте смертности θ = 1,42.
Исходные данные по численности популяции взять за 1000, временной интервал – 1 год.
Заполните таблицу по образцу (рисунок 33).
Рисунок 33
Зададим временные интервалы. Для этого в ячейку A5 введите время, в ячейку A6введите 0, в ячейку A7введите формулу:
=A6+1.
Используем маркер заполнения и копируем формулу в ячейки
A8:A66.
Рассчитаем численность для первого набора коэффициентов и построим график. В ячейку B5введите заголовок: «численность
(1 вариант)». В ячейку B6вводим формулу для расчета численности популяции:
=$D$2*EXP(($B$2-$C$2)*A6).
Копируем формулу в ячейки B8:B36 (рисунок 34).

73
Рисунок 34
Рассчитаем численность для второго набора коэффициентов и построим график. В ячейку B5введите заголовок: «численность (2 вариант)». В ячейку С6вводим формулу для расчета численности популяции:
=$D$2*EXP(($B$3-$C$3)*A6).
Копируем формулу в ячейки С8:С36. Добавляем ячейки С8:С36на диаграмму и оформляем диаграмму в соответствии с образцом (рисунок
35).

74
Рисунок 35
Анализируя полученные зависимости, мы можем сделать вывод о том, что если коэффициент рождаемости больше коэффициента смертности, то мы наблюдаем экспоненциальный рост численности популяции. В случае, если коэффициент рождаемости меньше коэффициента смертности, то мы наблюдаем постепенное уменьшение численности до нуля.
4.5. Компьютерные модели систем массового обслуживания
Система массового обслуживания – это некий объект, содержащий один или несколько каналов, обслуживающих заявки, поступающие в систему и накопитель. В накопителе находятся заявки, образующие

75 очередь и ожидающие обслуживание. На рисунке 36 приведена такая система.
Рисунок 36
Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где деятельность обслуживания (среднее время обслуживания t об
) является случайной величиной и подчиняется показательному закону распределения (a – случайная величина) [2]:
(
)
В данной формуле λ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. Данный показатель можно определить из следующего соотношения:
Логарифмируя соотношение показательного закона, можно получить более простое соотношение:
Рассмотрим простую систему массового обслуживания: число каналов равноединице, время ожидания неограниченно, время между

76 заявками и времяобслуживания заявок являются случайными величинами с показательнымзаконом распределения (среднее значение времени обслуживания равно t об
,среднее время между заявками - t зав
). В качестве примера здесь можно рассмотреть работу одного окна в банке, где один специалист обслуживает одного человека. Простейшая схема такой системы приведена на рисунке 37. Человек берет талон с номером – ожидает, когда его пригласят к специалисту, далее работа со специалистом и после завершения операции человек покидает банк.
Рисунок 37 [3]
Задача 5. Поступает 10 заявок в систему. Среднее значение времени обслуживания равно 1 час,среднее время между заявками – 12 минут.
Построить диаграмму заявок системы массового обслуживания с учетом времени ожидания и обслуживания заявок.
Поскольку t об
= 1, то и интенсивность потока обслуживания, как обратная величина, будет равна единице. Это приведет к тому, что время обслуживания каждой заявки Dи время между заявками Zможно рассчитать по следующим формулам (aи b– случайные числа):

77
Тогда для расчета времени ожидания каждой следующей (время ожидания первой заявки равно 0 минут) заявки P можно использовать формулу:
Перейдем непосредственно к моделированию: подготовьте таблицу в соответствии с образцом (рисунок 38).
Рисунок 38
Среднее время между заявками по условию задачи равно 12 минут, что составляет 1/5 часа или 0,2 часа (ячейка C2).
В ячейку С5 введем вышеупомянутую формулу:
=-$C$1*LN(СЛЧИС())
В ячейку D5 введем формулу:
=-$C$2*LN(СЛЧИС())
Применим маркер заполнения и скопируем рассчитанные формулы
(рисунок 39).

78
Рисунок 39
В ячейку E5 введем формулу:
=B5+C5-D5
Сделаем ссылку на данную ячейку – в ячейку B6 введите =E5.
Скопируйте формулу в столбцах Bи Eи заполните таблицу (рисунок
40).

79
Рисунок 40
Ваши расчеты будут отличаться, так как в формулах используется генератор случайных чисел СЛЧИС(). Время ожидания не может быть отрицательным, а это значит, что необходимо использовать условие
ЕСЛИ: в случае, если время ожидания отрицательно – введите 0. Исправим формулу в ячейкеB6:
=ЕСЛИ(E5>0;E5;0)
Для создания диаграммы выберите диапазон ячеек A4:C14 и выберите тип диаграммы «Объемная линейчатая с накоплением» (рисунок
41).
Рисунок 41
Оформите результат в соответствие с образцом (рисунок 42).

80
Рисунок 42
Далее, используя генератор случайных чисел, изменим диаграмму.
Для этого достаточно 2 раза нажать по любой ячейке таблицы, например
E5, и нажать Enter. Убедитесь, что результат изменился (рисунок 43).
Рисунок 43 0
1 2
3 4
5 1
3 5
7 9
Время в часах
Н
о
мер
зая
вки
Результат моделирования системы
массового обслуживания
P - время ожидания
D - время обслуживания
0 1
2 3
4 5
6 7
1 3
5 7
9
Время в часах
Н
о
мер
зая
вки
Результат моделирования системы
массового обслуживания
P - время ожидания
D - время обслуживания