Файл: Компьютерные технологии и математическое.pdf

52
Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков
(
̂ )за текущий и предыдущий моменты времени.
Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.
Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t.
От истинной автокорреляции в остатках следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.
Один из наиболее распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина – Уотсона:
∑
(
)
∑
Можно показать, что при больших значениях nсуществует следующее соотношение между критерием Дарбина - Уотсона d и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка
:
(
)
Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и
, то . Если в остатках полная отрицательная

53 автокорреляция, то
, и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то
, и . То есть .
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия
Дарбина– Уотсона:
Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков.
Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.
Далее по специальным таблицам определяются критические значения Дарбина – Уотсона и для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели mи уровня значимости .
По этим значениям числовой промежуток [ ]разбивают на пять отрезков.
Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:
–есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется; с вероятностью принимается гипотеза
;
– зона неопределенности;
– нет оснований отклонять
, то есть автокорреляция остатков отсутствует;
– зона неопределенности;
– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется; с вероятностью принимается гипотеза
Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу

54 10 25
:
9 3
2 1
:
t
y
t
Известно также, что
2552
;
3100
;
130 2
2 1








n
t
t
t
t
t
y
y
у
y
Определить для этого временного ряда значение коэффициента автокорреляции первого порядка.
Решение: Значение коэффициента определим по формуле:


















n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
y
y
y
y
y
y
y
y
r
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
1 1
)
(
Распишем все компоненты этой формулы. Числитель преобразуем следующим путем:



































n
t
t
n
t
t
n
t
t
t
n
t
t
t
t
t
t
n
t
t
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
2 2
1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
1 1
2 1
2 1
1
Здесь
,
9

n
значения средних вычисляем по соответствующим формулам; при этом значения сумм рассчитываются с учетом крайних значений временного ряда:










n
t
n
t
n
t
t
y
y
y
1 2
1 120 10 130









n
t
t
n
t
t
y
y
y
1 1
2 105 25 130 15 8
120
;
125
,
13 8
105 2
1




y
y
Отсюда:



105 15 120 125
,
13 2552 2
2 1
1










n
t
t
t
y
y
y
y
+
977 15 125
,
13 8




55
Аналогично рассчитываем каждый член в знаменателе:








87
,
1096 125
,
13 8
105 125
,
13 2
25 3100 1
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 1







































y
n
y
y
y
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
t
n
t
t
t
n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t








1200 15 8
120 15 2
10 3100 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2












































y
n
y
y
y
y
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
t
n
t
t
n
t
n
t
n
t
t
t
n
t
t
t
n
t
t
Результат определим по исходной расчетной формуле:
852
,
0 28
,
1147 977 1200 875
,
1096 977 1




r
Пример 2.На основе квартальных данных объемов продаж предприятия за 2015-2020 гг. была построена аддитивная модель временного ряда, трендовая компонента которой имеет вид:


,...
2
,
1 3
200




t
t
T
Показатели за 2019 г. приведены в таблице:
Квартал
Фактический объем продаж
Компонента аддитивной модели трендовая сезонная случайная
1 2
3 4
5 1
200
-11 2
15 5
3 250 32 4

56
Определить недостающие в таблице данные, учитывая что общий объем продаж за 2019 г. составил 1000 тыс. у.е.
Решение:В первую очередь определим все значения трендовой компоненты. Чтобы использовать имеющееся уравнение тренда, надо определить моменты времени, относящиеся к 2019 г. Поскольку модель относится к периоду 2015м – 2020 гг., т.е. охватывает 6 лет, квартальные временные отметки изменяются от 1 до 24. В этом случае 2019 г.
(предпоследний в исследуемом периоде) соответствует моментам времени
17, 18, 19 и 20.
Подставим в уравнение тренда, получим:
;
251 17 3
200 1




T
;
254 18 3
200 2




T
;
257 19 3
200 3




T
260 20 3
200 4




T
Далее недостающие величины для первого, второго и третьего кварталов вычисляем по балансу из уравнения для аддитивной модели временного ряда:
;
40
)
11
(
251 200 1
1 1
1









E
T
y
S
;
274 5
15 254 2
2 2
2







E
S
T
y
39 32 257 250 3
3 3
3








S
T
y
E
Осталось определить только величины для четвертого квартала, где известно только значение трендовой компоненты. В условиях задачи задан общий объем продаж за год. Поскольку известны продажи за три первых квартала, четвертый определяется легко:




276 250 274 200 1000 1000 3
2 1
4









у
у
у
у
Для расчета сезонной компоненты за 4 – й квартал воспользуемся тем, что в аддитивной модели сумма сезонных компонент за один период должны равняться нулю:

57




7 32 15 40 3
2 1
4










S
S
S
S
Последнее значение в таблице – случайную компоненту за 4 – й квартал – вычисляем по балансу из уравнения аддитивной модели, поскольку все остальные компоненты уже известны:
23 7
260 276 4
4 4
4







S
Т
у
Е
Квартал
Фактический объем продаж
Компонента аддитивной модели трендовая сезонная случайная
1 2
3 4
5 1
200 251
- 40
-11 2
274 254 15 5
3 250 257 32
- 39 4
276 260
- 7 23
Пример 3.На основе поквартальных данных за 9 последних лет была построена мультипликативная модель некоторого временного ряда.
Уравнение тренда в этой модели имеет вид:
1
,
0 8
,
10 1
t
T



Скорректированные значения сезонной компоненты равны: в 1–м квартале – 1,5; в 3–м квартале – 0,6; в 4–м квартале – 0,8.
Определить сезонную компоненту за 2 – й квартал и прогноз моделируемого показателя за 2 – й и 3 – й кварталы следующего года.
Решение:В мультипликативной модели сумма скорректированных сезонных компонент за один период должны равняться количеству этих коэффициентов, т.е. четырем. Отсюда находим недостающую сезонную компоненту за 2–й квартал:




1
,
1 8
,
0 6
,
0 5
,
1 4
4 4
3 1
2









S
S
S
S
Для прогнозирования по мультипликативной модели воспользуемся соотношением (2), в котором не будем учитывать случайную компоненту.

58
При этом следует иметь в виду, что 2–й и 3–й кварталы будущего года будут относиться в рамках рассматриваемой модели соответственно к 38–й и 39–й отметкам времени соответственно:


;
06
,
16 1
,
1 38 1
,
0 8
,
10
ˆ
38





у


82
,
8 6
,
0 39 1
,
0 8
,
10
ˆ
39





у
Пример 4.На основе помесячных данных за последние 5 лет была построена аддитивная временная модель потребления тепла в районе.
Скорректированные значения сезонной компоненты приведены в таблице
Январь
+ 27
Май
- 20
Сентябрь
- 10
Февраль
+ 22
Июнь
- 34
Октябрь
+ 12
Март
+ 15
Июль
- 42
Ноябрь
+20
Апрель
- 2
Август
- 18
Декабрь
?
Уравнение тренда выглядит так:
1
,
1 300
t
T



Определить значение сезонной компоненты за декабрь, а также точечный прогноз потребления тепла на 2–й квартал следующего года.
Решение:В аддитивной модели временного ряда сумма скорректированных сезонных компонент за один период, в данном случае за год, должна равняться нулю. Отсюда значение сезонной компоненты за декабрь:


30 20 12 10 18 42 34 20 2
15 22 27 12
)
12
(
,
1 12


















i
i
i
S
S
Прогноз потребления тепла рассчитывается по формуле для детерминированной составляющей ряда, в которой не учитывается случайная составляющая, поскольку она не прогнозируется. Здесь для расчета трендовой компоненты следует иметь в виду, что второму кварталу следующего года (апрель, май, июнь) соответствуют отметки времени 64, 65 и 66. Прогноз за весь второй квартал складывается из прогнозов за апрель, май и июнь.

59


;
4
,
368 2
64 1
,
1 300
)
(
ˆ





апрель
у


;
5
,
351 20 65 1
,
1 300
)
(
ˆ





май
у


;
6
,
338 34 66 1
,
1 300
)
(
ˆ





июнь
у
5
,
1058 6
,
338 5
,
351 4
,
368
)
2
(
ˆ





квартал
й
у
В случае рассматриваемого временного ряда для расчета отдельных составляющих, зависящих от того, как найдены выровненные данные, отражающие тенденцию, применяется подход исключения сезонности из данных. При этом подходе вначале производится выравнивание динамического ряда методом скользящих средних для выделения сезонных колебаний, а далее, исключив их, определяется тренд без сезонных колебаний.
Методика построения аддитивной модели при наличии тенденции:
1. Нахождение сглаженных уровней динамического ряда методом скользящих средних.
2. Оценка сезонной компоненты и ее корректировка.
3. Элиминирование сезонной компоненты из исходных данных временного ряда, то есть проводится десезонализация уровней динамического ряда.
4. Построение уравнения линейного тренда по уровням ряда с элиминированием сезонности.
5. Расчет выровненных значений трендовой составляющей.
6. Расчет теоретических уровней ряда с учетом сезонности.
7. Расчет случайной компоненты, позволяющей оценить далее качество построенной модели.

60
4. Компьютерное моделирование экономических и физических
процессов
Цель моделирования – получить математическое соотношение, связывающее исходные данные и результат. Целью же компьютерного моделирования является реализация данных математических соотношений с использованием средств вычислительной техники. Рассмотрим математические и компьютерные модели некоторых физических процессов [1].
4.1. Компьютерная модель свободного падения тела
Рассмотрим падение тела в среде без сопротивления. Все тела падают на Землю с одинаковымускорением. Это ускорениеназывают ускорением свободного падения и обозначают g≈ 9.8 м/с
2
. Движение тела – равноускоренное, это означает что скорость будет изменяться:
Данная формула позволяет вычислить скорость движения в любой момент времени.
Следующая формула позволяет вычислить высоту, на которой находиться тело в момент времени t:
( )
H – высота, с которой свободно падает тело.
Если приравнять h(t) = 0 можно определить время падения тела:
√
Задача 1. Определить время свободного падения тела с высоты 30 метров. Построить график зависимости h(t) – положения тела от времени.

61
Для определения времени свободного падения подставим H = 30 м в формулу:
√
( )
(
)
( )
Для того, чтобы смоделировать процесс падения тела и построить график разобьем время падения на 100 интервалов:
( )
Подготовьте таблицу в соответствии с образцом (рисунок 21):
Рисунок 21
В ячейке B2число 30 – результат работы формулы:
=30-9,8*(A2^2)/2.
В ячейку A3введем формулу:
=A2+$C$2.
Ссылка на ячейку C2 – абсолютная, так как к каждому следующему моменту времени t i
= t i-1
+ ∆t должен прибавляться один и тот же шаг.
Используя маркер заполнения скопируйте ячейку A3до ячейки A102 и ячейку B2 до ячейкиB102.
Выделите ячейки A2:B102 и вставьте точечную диаграмму (рисунок
22).

62
Рисунок 22
Оформите график в соответствии с образцом (рисунок 23).
Рисунок 23

63
Дополнительное задание. Постройте график зависимости скорости падения тела от времени для задачи 1. Для решения используйте формулу
V = gt. Сравните результат с образцом (рисунок 24).
Рисунок 24
4.2. Компьютерная модель колебаний маятника
Рассмотрим математическую модель колебаний пружинного маятника и на ее основе построим компьютерную модель. Представим, что в начальный момент времени груз массы m, соединен с пружиной жесткостью k и находится на расстоянии x
0
от начала отсчета (рисунок 25).
Рисунок 25[1]