Файл: Лекция Общие вопросы изучения натуральных чисел.docx

Лекция 1. Общие вопросы изучения натуральных чисел

Вопросы лекции:

1. Основные понятия темы.

2. Различные подходы к изучению натуральных чисел.

1. 
   Основные понятия темы
   

Целые положительные число называются натуральными в связи с тем, что они были придуманы человечеством для счета элементов реальных множеств (животных, людей, предметов), а также для обозначения результатов процесса измерения величин (длины, массы, емкости, времени, площади и т.п.). Т.о. различают число как результат счета элементов множества и число как результат измерения величин.

Альтернативные программы по математике для начальной школы различаются главным образом способом знакомства с этими характеристиками числа.

Как и многие математические понятия, понятие натурального числа возникло из потребности практики. Уже в глубокой древности нужно было сравнивать между собой различные множества. Простейшим способом сравнения множеств было установление взаимно-однозначного соответствия между множествами, т.е. образование пар элементов из обоих множеств. Если такое соответствие имело место, то множества считались равночисленными. Если взаимно-однозначное соответствие устанавливалось между элементами одного множества и только частью другого, то считали, что в первом множестве элементов меньше, чем во втором. Со временем для сравнения стали применять множества посредники ( пальцы, камешки, узелки…)- их называют «числовые фигуры»; на следующем этапе в результате процесса абстрагирования от характера множеств-посредников появилось понятие числа: один, два, три,… .

Наука, изучающая числа и действия с ними, получила название «арифметика» (от греческого arithmos-число).

Число – это количественная характеристика множества предметов.

Цифра – это символ, с помощью которого записываются числа. Цифры от 1 до 9 называются значащими, а нуль является незначащим. Цифры имеют различное изображение. Общеупотребимы цифры, которые называются арабскими (хотя они имеют индийское происхождение): 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 и римские I,V,X,L,C,D,M. Римские цифры употребляются только в печатном изображении, а арабские цифры –в печатном (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0) и прописном изображении (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0).

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют

---

натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Отрезок натурального ряда чисел — это часть натурального ряда вида:1,2,3; или 1,2,3,4,5,6,7; и т.п. По определению, отрезок натурального ряда длиной а - это все числа, не превосходящие этого числа.

Числа первого десятка называются однозначными. Они обозначаются с помощью одной цифры. Для записи двузначного числа используются две цифры и т.д.

Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд – позиция цифры в записи числа).

Многозначные числа образуются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Класс объединяет три разряда.
2. Различные подходы к изучению натуральных чисел

I. Рассмотрим подход к изучению чисел в программе “Школа России».

Курс математики в этой программе построен концентрично, т.е. в нем выделены концентры «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа».

В концентре «Десяток» учащиеся знакомятся с однозначными числами и цифрами, которые используют в десятичной системе счисления. В этом же концентре вводится число 10, при записи которого используется две цифры. При этом с цифрой 0 знакомятся после того, как введено число 10.

Работа, целью которой является формирование представления о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня». Здесь выделяют две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Выделение первой ступени (11-20) объясняется тем, что в названии каждого числа второго десятка наблюдается одна закономерность, а в записи другая.

Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре «Тысяча». Особенности десятичной системы счисления позволяют младшим школьникам осуществить перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трехзначных. Появление нового разряда – сотен связывается в введением счетной единицы (сотни).

В концентре «Многозначные числа» дети учатся читать и записывать числа в пределах миллиона. Для усвоения структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в таблицу, которая называется таблицей разрядов и классов.

2.Рассмотрим подход к изучению чисел в программе «Гармония». В связи с тематическим построением курса в нем выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», « Трехзначные числа», «Четырехзначные числа» и «Пятизначные и шестизначные числа» в процессе изучения которых у учащихся формируются сознательные навыки чтения и записи чисел. Выделение тем, названия которых сориентированы на количество знаков в числе, способствуют пониманию детьми различий между цифрой и числом.

---

Лекция 2. Методика изучения чисел первого десятка

Вопросы лекции:
1.Задачи изучения темы.

2.Получение натурального числа. Разъяснение принципа образования натурального ряда чисел.

3.Знакомство с печатными и письменными цифрами.

4.Связь количества числа и цифры.

5.Разъяснение теоретико-множественного смысла натуральных чисел.

6.Усвоение состава однозначных чисел.

7.Обучение способам сравнения чисел.

8.Знакомство с числом и цифрой 0.

9.Знакомство с числом 10.

10.Наглядные пособия, используемые при изучении чисел первого десятка.
1.Задачи изучения темы

Цель изучения темы: познакомить учащихся как с каждым числом множества чисел {0,1,2, 3, …, 10}, так и со свойствами начального отрезка натурального ряда N₁₀.

Задачи изучения темы:

1.Разъяснить принцип образования натурального ряда чисел.

2.Разъяснить теоретико-множественный смысл натуральных чисел.

3.Вести целенаправленную работу по усвоению состава однозначных чисел.

4.Познакомить с печатными и письменными цифрами.

5.Научить сравнивать числа.

6. Познакомить с числом и цифрой 0.

7.Познакомить с числом 10.
2.Получение натурального числа. Разъяснение принципа образования натурального ряда чисел

Место числа в ряду определено способом его получения: каждое следующее становится в ряду справа от предыдущего. Для понимания такого порядка расположения ребенок должен предварительно освоиться с процессом перевода пространственного расположения объектов, подчиненных отношению «следовать за», в плоскость, где отношение «следовать за» подразумевает «ближайшее справа, а «предшествовать»- ближайшее слева.

Последовательное увеличение изучаемых отрезков натурального ряда чисел позволяет осознать принцип его образования. Каждый раз рассматривается весь ранее изученный отрезок натурального ряда и каждое новое число выступает как его продолжение (1; 1,2; 1,2,3; 1,2,3, 4; …).

Получение каждого следующего числа в натуральном ряду сначала разъясняется на наглядном материале, а затем записывается с помощью знаков +, -. При этом на каждом отрезке натурального ряда выполняются однотипные упражнения.

Например: [1,2,3,4].

- Положите 2 круга.

Ниже положите столько же треугольников.

Придвиньте еще один треугольник.

Сколько стало треугольников?

Как получили 3 треугольника?

Каких фигур больше, треугольников или кругов? На сколько?

- Положите в следующий ряд столько квадратов, сколько треугольников.

---

Что надо сделать, чтобы квадратов стало на 1 больше, чем треугольников? Сколько стало квадратов?

Как получили 4 квадрата?

- Если к трем флажкам присоединить еще один флажок, сколько станет флажков?

Если к трем ученикам подойдет еще один, сколько их будет?

Если к числу 3 прибавить 1, какое число получится?

Запишем это: 3 + 1 = 4.

- Положите 4 кружка.

Ниже положите столько же квадратов.

Уберите 1 квадрат.

Сколько получилось квадратов?

Как получилось 3 квадрата?

От 4 флажков убрали 1. Сколько осталось?

От 4 учеников отходит 1. Сколько осталось?

Из числа 4 вычли 1. Сколько получится?

4 – 1 = 3.

Аналогичная работа проводится при изучении всех отрезков натурального ряда. В результате выполнения однообразных упражнений на каждом отрезке, связанных с получением следующего и предыдущего чисел, дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине: после числа 1 называют при счете число 2, которое больше его на 1; после числа 2 называют число 3, которое больше на 1 и т.д. Перед числом 4 называют число 3, которое меньше на 1, и т.д.

Математическую основу действий учащихся при изучении отрезка натурального ряда от 1 до10 составляет связь чисел с конечными множествами. Для усвоения принципа образования натурального ряда чисел они постоянно обращаются к действиям с предметами, рассматривая различны ситуации.

Линейка с нанесенной на ней сантиметровой шкалой является хорошим наглядным пособием, для рассмотрения вопросов нумерации, в частности получения числа, последовательности чисел в натуральном ряду.
3.Разъяснение теоретико-множественный смысл количественного натурального числа.
В начальном курсе математики количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Поэтому, когда учащиеся изучают число «один», на странице учебника приводятся изображения предметов по одному: одно ведро, одна девочка, один стол и т.д., когда изучается число «три» на странице учебника приводятся изображения различных совокупностей, содержащих по три элемента: три кубика, три палочки и т.д. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве определяется путем пересчета. Демонстрируя различные, но равномощные множества, учитель раскрывает теоретико-множественный смысл натурального числа.

Изучаемые числа обозначаются сначала печатными цифрами, которые выставляют на наборном полотне рядом с соответствующими множествами предметов. Учитель поясняет: можно сказать - три стула, три человека, а можно обозначить число 3 таким знаком, такой цифрой.

---

4.Связь количеств числа и цифры можно раскрыть с помощью упражнений:
1. К заданному количеству предметов подобрать нужную цифру. «Мама купила 4 апельсина. Покажите цифрой, сколько апельсинов купила мама. Проверим. Посчитаем хором и прикрепим цифру 4».

2. К цифре подобрать соответствующее количество предметов. «Эта кукла не умет говорить, но знает цифры. Смотрите, какую цифру она показала (3). Это она просит конфеты. Сколько конфет она просит? Дадим кукле 3 конфеты».

3. Игра «Найди нужные картинки». Ученики получают коробочки с набором картинок. (5-6) картинок и цифру. К цифре они должны подобрать все картинки с соответствующим количеством предметов. Затем к каждой картинке ученик подбирает нужную цифру.

4.На полоске отложить мерку 4 раза. Какое число получилось? Измерить количество воды в баке стаканами. Отсыпать из пачки 4 ложки соли. Написать цифрой. Сколько соли отсыпали?
5.Усвоение состава однозначных чисел
Термин «состав однозначных чисел» подразумевает обучение ребенка умению представлять данную количественную совокупность в виде составных частей, обозначая их количественные характеристики словом (числом) или другими символами (числовыми фигурами):

-состав числа на числовых фигурах:

Не следует торопиться вводить цифровую символику при изучении состава числа:

5	1	2	3	4
	4	3	2	1

При раннем введении цифровой символики ребенок механически запоминает пары изображенных цифр, не осознавая количественный смысл соотношения. В дальнейшем это может привести к непониманию смысла закона перестановки слагаемых и неиспользование знания состава однозначных чисел при изучении табличных случаев сложения и вычитания в пределах 10.

При изучении нумерации рассматриваются все возможные составляющие чисел первого пятка, и отдельные для чисел 6 -10.
6.Знакомство с печатными и письменными цифрами
Изучаемые числа обозначаются сначала печатными цифрами, которые выставляют на наборном полотне рядом с соответствующими множествами предметов.

---