Файл: Задача 3 Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис. Рис. 1.doc
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 91
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задача №3
Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис. 3.1.
Рис. 3.1
Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:
= 1∙10-4 1/час, 
= 1∙10-4 1/час, 
= 1∙10-3 1/часПредполагается,
1) что последствие отказов элементов отсутствует, то есть элементы работают и отказывают независимо друг от друга,
2) для элементов надежности работы описывается экспоненциальной моделью распределения.
Необходимо найти:
1) вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов;
2) среднюю наработку до первого отказа.
Решение:
1) Определим вероятность безотказной работы устройства в течение 100 часов.
При последовательном соединении,
, (3.1)где
Подставляя значения
в выражение (3.1), получим
=
– 3
– 3
+ 3
++ 9
+ 3
– 9
– 9
++ 9
Так как
, 
, 
, то
– 3
– 3
++ 3
+ 9
+ 3
– 9
–– 9
+ 9
= 
– 3
– 3
+ + 3
+ 9
+ 3 – 9
– 9 + + 9
При t = 100 получим
0,9048 2) Определим среднюю наработку до первого отказа.
(3.2)После интегрирования получим
–
– 
+ 
++
+ 
– 
– 
+ 
Подставляя в данное выражение для
значение интенсивности отказов из условия задачи, получим
– 
– 
++
+ 
+ 
––
– 
+ 
час.Задача №4
Составить систему уравнений Колмогорова А.Н. для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 4.1. В данном случае
и 
– работоспособные состояния системы; 
– неработоспособное состояние; 
– вероятность нахождения системы в i-ом состоянии; λ – интенсивность отказа; μ – интенсивность восстановления. Найти коэффициент готовности системы
, решив полученную систему уравнений.
= 1∙10-4 1/час; μ = 1∙10-4 1/час;Найти предельный коэффициент готовности, применяя теорему А.А. Маркова. Сделать проверку, используя ранее найденный коэффициент готовности
. Построить график коэффициента готовности .
Рис. 4.1
Решение:
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова по следующему правилу:
1) Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием.
2) Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.
3) Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние.
(4.1)Из последнего уравнения следует, что
(4.2)и
(4.3) Исключаем из второго уравнения
с помощью (4.2):
(4.4)Далее находим общее решение системы дифференциальных уравнений
(4.5)Составим характеристическое уравнение матрицы системы
Корни характеристического уравнения
При λ = 1∙10-4 1/ч; µ = 1∙10-4 1/ч. Получим
(4.5к12)Из уравнения
получим собственные векторы 
, соответствующие собственным числам 
и 
, 
Следовательно, общее решение однородной части системы (4.5) имеет вид
Частное решение системы (4.5) найдем в виде
После подстановки в систему (4.5) получим
Из второго уравнения получим
Следовательно,
Общее решение системы (4.5) имеет вид
(4.6)В начальный момент времени система находится в работоспособном состоянии
